潮鐘雪媛

【摘要】人教版高中數(shù)學(xué)新教材已在部分省市推行。新教材要為學(xué)生提供學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)思維，按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，還需要在教學(xué)過程中加以引導(dǎo)。作者以人教版高中數(shù)學(xué)新教材“立體幾何初步”為例，結(jié)合2021年新高考全國I卷立體幾何來解讀新教材，對于學(xué)生高中數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)提供一點教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】新教材;立體幾何;新高考;數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

立體幾何作為高中數(shù)學(xué)不可或缺的一部分，也是讓學(xué)生“恐懼”的內(nèi)容，特別是對于空間想象能力比較弱的學(xué)生來說，即使通過直觀圖，也無法在腦海中形成立體與平面的轉(zhuǎn)換。而作為高考必考的一個重要內(nèi)容，學(xué)生在立體幾何上花了很多功夫，但是，通過考試顯現(xiàn)出來的效果卻是比較微弱的。所以，作為教師要結(jié)合新高考解讀新教材，利用信息技術(shù)，注重學(xué)生在空間視覺的鍛煉，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，運用合理的方式來彌補學(xué)生的短板，從而更好地學(xué)習(xí)立體幾何知識。本文以人教A版數(shù)學(xué)必修二“立體幾何初步”為例，領(lǐng)會教材編寫者的設(shè)計意圖，從而更好地開展教學(xué)。

一、新教材分析——以立體幾何初步為例

1.知識的整體性與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的聯(lián)系

舊教材關(guān)注知識點與基本技能的傳授已滿足不了現(xiàn)代社會的發(fā)展需求，知識是不斷進(jìn)步的，新課標(biāo)的教學(xué)不能止步于知識點的傳授，而應(yīng)適應(yīng)社會，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，關(guān)注數(shù)學(xué)的學(xué)科思想與思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力中，立體幾何的學(xué)習(xí)主要依賴于數(shù)學(xué)抽象能力和直觀想象與化歸能力。相比舊教材，2019年人教A版新教材搭建了全新的知識架構(gòu)，凸顯了知識的整體性，也打破老教材松散的知識體系;彌補了這個缺陷，梳理出一條清晰的教學(xué)主線，把舊教材中“空間幾何體”與“點、直線、平面的位置關(guān)系”兩章合并為一章，組成了新教材必修二第八章，讓內(nèi)容更連貫統(tǒng)一，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

原本從研究立體幾何的數(shù)學(xué)邏輯來看，應(yīng)該從點線面出發(fā)來研究其概念和基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上再研究點線面的位置關(guān)系，再由特殊關(guān)系（垂直和平行）出發(fā)研究由這些基本元素組成的幾何體，繼而研究它們的結(jié)構(gòu)特征和面積體積。這種從局部到整體，這種學(xué)習(xí)的思路結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，但卻與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相悖。新舊教材都認(rèn)識到這一點，而新教材更加凸顯了學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。學(xué)生觀察世界，首先接觸的是具體的幾何體，因而學(xué)習(xí)立體幾何也應(yīng)從幾何體的整體性入手。而對于那些與教學(xué)主線聯(lián)系不緊密的，可有可無的內(nèi)容或者學(xué)生暫且掌握不了的內(nèi)容，新教材進(jìn)行了刪減。本章內(nèi)容的主線如圖1，將現(xiàn)實生活中的“基本立體圖形”在平面上表示需要用到直觀圖，求幾何體的表面積體積也需要用直觀圖來表示，所以，直觀圖起到了承上啟下的作用。而三視圖在輔助學(xué)生認(rèn)識立體圖形的作用甚微，為體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的整體性，對“三視圖”內(nèi)容進(jìn)行了刪除，在課后習(xí)題通過兩道習(xí)題考查學(xué)生的直觀想象力，但高考不作要求。這樣的安排使得第一節(jié)內(nèi)容更為連貫統(tǒng)一。同時，對于一些存在研究價值但又干擾主線內(nèi)容的進(jìn)行調(diào)整。例如，在點線面的位置關(guān)系中，將公理表述為基本事實，新教材將舊教材“直線與直線的位置關(guān)系”中的公理4、等角定理放在“空間直線、平面平行中直線與直線平行”這一節(jié)，使得“點、直線、平面的位置關(guān)系”這一節(jié)更加清晰順暢。把舊教材中公理1和公理2調(diào)換順序，由不共線三點確定一個平面再到直線與直線外一點確定一個平面即從點點再到點線，探究層層深入。而對于原來舊教材中“點、直線、平面的位置關(guān)系”的習(xí)題作為3個推論放在基本事實3后，這也反映了新教材更加符合培養(yǎng)學(xué)生化歸能力?；臼聦?、推論1、推論2和推論3都可以確定有且只有一個平面，而以上結(jié)論在研究后續(xù)的平行垂直也經(jīng)常用到，總結(jié)升華。

圖1

2.注重方法引領(lǐng)

新教材從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，注重研究路徑的構(gòu)建。直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算是認(rèn)識立體圖形的基本辦法，也是學(xué)習(xí)研究立體幾何的基本路徑。所以，新教材從整體性出發(fā)的排序也是：基本立體圖形（直觀感知）—立體直觀圖（操作確認(rèn)）—表面積體積（度量計算）—平行垂直關(guān)系（推理論證），有整體認(rèn)知到局部學(xué)習(xí)再到整體，這對于學(xué)生研究解決立體幾何問題是很有幫助的。

首先，基本立體圖形，從現(xiàn)實世界中抽象出立體圖形，數(shù)學(xué)抽象能力在這里得到體現(xiàn)，新教材從局部出發(fā)，在內(nèi)容調(diào)整上也注重學(xué)生平時學(xué)習(xí)中的總結(jié)分類。如，舊教材把表面積體積分為“柱體、錐體、臺體的表面積和體積”與“球的體積和表面積”兩類。新教材從簡單幾何體—多面體和旋轉(zhuǎn)體出發(fā)，分為“棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積”和“圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積體積”兩類，首尾呼應(yīng)。同時，新教材進(jìn)而再通過圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積公式和體積公式探究公式與立體圖形的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓臺上底面積增大變?yōu)閳A柱，反之縮小變?yōu)閳A錐，深入挖掘數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，再精彩不過。舊教材也有對此進(jìn)行探究，但沒有給出結(jié)論。新教材，提供了生活化的語言讓學(xué)生探究后，感知結(jié)論，學(xué)生在預(yù)習(xí)的過程中即能得到引導(dǎo)。這也是我們需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象與化歸能力。對于球的體積、表面積，新舊教材在處理的過程中有明顯的不同。新教材直接給出球的表面積公式，并利用表面積類比圓周長求圓面積的方法，利用球的表面積求體積。在教學(xué)參考中也給出舊教材的方法即利用祖暅原理從體積再推回表面積。簡化學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的壓力，教師可根據(jù)學(xué)情安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時也突出了教材表達(dá)的數(shù)學(xué)極限思想。體積計算又與前面學(xué)習(xí)錐體體積串聯(lián)，更加完整統(tǒng)一。

學(xué)習(xí)幾何體從按照數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)圖形—文字描述—符號語言探究路徑展開，學(xué)生可以舉一反三，學(xué)習(xí)過程也可以得到知識概念的鞏固。

細(xì)節(jié)上，新教材把“公理”改為“基本事實”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.學(xué)科關(guān)鍵能力培養(yǎng)的體現(xiàn)

新舊教材的變化還體現(xiàn)在選修的內(nèi)容安排上。新教材將舊教材中關(guān)于空間角、空間距離的概念從原來的選修2-1中與空間向量結(jié)合，提前放到新教材必修二中的“空間直線、平面的垂直”，與立體幾何初步合為一章。雖說缺少了以向量作為工具來解決空間角的問題對于有些題目而言，難度還是有的，但從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象與化歸能力而言，卻是更勝一籌的?？臻g角概念的確立離不開垂直，只有當(dāng)學(xué)生對概念理解透徹，才能在空間中形成對空間角的直觀圖形，強化空間角的由來及其與垂直的關(guān)系與利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考與想象的意識。再從高二數(shù)學(xué)選修中利用向量工具形成數(shù)與形的緊密聯(lián)系，避免造成學(xué)生對于空間角的理解只停留在利用向量工具解題的層面上。從形到數(shù)，簡化問題，再由數(shù)到形發(fā)現(xiàn)形新的規(guī)律和特點，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想與邏輯推理能力得到鞏固。

二、新高考對于學(xué)生關(guān)鍵能力的考查

今年是山東實行新高考的第二年，是廣東實行新高考的第一年。這兩年新高考試題與新教材內(nèi)容的融合對于我們的教學(xué)具有較強的參考價值。

1.真題再現(xiàn)

（1）試題問題分析

2020年新高考全國1卷第20題以四棱錐為載體，底面為正方形，一條側(cè)棱和底面垂直，是學(xué)生非常熟悉的幾何體。第（1）問考查線面垂直，但是該條直線卻是圖形沒有出現(xiàn)的平面PAD與平面PBC的交線，找出這條交線是解決本題的關(guān)鍵點。第二問在需要依賴這條交線的動點Q，構(gòu)造平面QCD，要找到定直線PB與動平面QCD所成角，并求出該角的正弦值。

2021年新高考全國卷1卷的第（1）問則考查線線垂直，利用面面垂直的性質(zhì)證明。第（2）問則是求體積由二面角轉(zhuǎn)化為所求三棱錐的高，在這里也是其命題的創(chuàng)新點。該題運用向量法或幾何法都可以解決，幾何法難度稍大但相較以往的立體幾何大題還是比較簡單的，特別是對比學(xué)生在此之前參加的八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷中的立體幾何大題。在題目設(shè)置上，我們都感受到了新高考數(shù)學(xué)試題明顯的“反常規(guī)”“反套路”、創(chuàng)新之中求穩(wěn)的特點。通過創(chuàng)新的設(shè)問，增加了題目的靈活度，注重考查學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新意識，但也注重學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也體現(xiàn)了新高考新教材的理念。

（2）試題關(guān)鍵能力考查分析

2020年新高考1卷考查空間想象力、運算求解能力和邏輯思維能力，學(xué)生需要從題目給出的圖形中延伸到兩個平面的交線，需要學(xué)生在腦海中有兩個平面的直觀圖的概念、發(fā)現(xiàn)，并尋找線面垂直的條件，進(jìn)而把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言。靈活選擇向量或者幾何法解決空間角的問題，這也需要學(xué)生有扎實的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。

2021年新高考1卷考查學(xué)生的邏輯推理能力、直觀想象能力、運算求解能力。學(xué)生在此題目中尋找線線垂直的條件，需要對“直線與平面垂直”的各個判定定理與性質(zhì)具有清晰的邏輯判斷。第二小問則需要靈活地選擇幾何法或者向量中求出體積。這里都需要一定的運算能力。若能從幾何法入手解決，則對學(xué)生關(guān)于空間角與垂直與體積的關(guān)系的空間想象力要求是比較高的，若用空間向量解決，則對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力也有一定的要求。

2.結(jié)合新高考，立體幾何中學(xué)生需要突破的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

相比八省聯(lián)考，新高考全國卷本著“新中求穩(wěn)”的節(jié)奏出題，從高考題可看出，一定量的練習(xí)確實對于考試頗有益處。但八省聯(lián)考的立體幾何大題也是一個啟示，學(xué)生要能適應(yīng)新變化，則更能在學(xué)習(xí)當(dāng)中拔得頭籌。高考在立體幾何中考查學(xué)生的關(guān)鍵能力主要在于數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象與化歸能力、運算能力、邏輯推理能力。其中，直觀想象與化歸能力是學(xué)生所需要突破的難點。

三、教學(xué)建議

領(lǐng)會新教材的編寫設(shè)計意圖，我們應(yīng)注重數(shù)學(xué)模型對于解題的應(yīng)用，從模型入手認(rèn)識立體模型。此處，教師若能通過信息技術(shù)來幫助學(xué)生認(rèn)識，在腦海中形成立體圖形的認(rèn)識是很重要的。注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，將教學(xué)引向概念本質(zhì)的學(xué)習(xí)，從概念探究路徑的教學(xué)，引導(dǎo)鼓勵學(xué)生在解決問題時要注重探究方法與分析問題，而解決問題有多種途徑，也應(yīng)能靈活應(yīng)用。同時，在表達(dá)過程中如何有條理地表達(dá)自己的思維過程，也是教師在教學(xué)過程所要注重引導(dǎo)的，即符號語言，自然語言與圖形語言的轉(zhuǎn)換。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱立明.高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力研究的追溯與前瞻[J].天津師范大學(xué)學(xué)報（基礎(chǔ)教育版），2019.