劉利民 李豪欣 李 琦* 韓壯志 高振斌

①(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)電子與光學(xué)工程系 石家莊 050003)

②(河北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院 天津 300401)

1 引言

線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號(hào)是一種頻率隨時(shí)間線性變化的信號(hào)，在通信、雷達(dá)、聲吶等領(lǐng)域中的應(yīng)用較為普遍，其參數(shù)估計(jì)和信號(hào)檢測(cè)是研究熱點(diǎn)之一。目前，針對(duì)LFM信號(hào)的處理方法主要有短時(shí)傅里葉變換和Wigner-Ville分布。其中，短時(shí)傅里葉變換[1—3]無法同時(shí)兼顧較好的時(shí)域分辨率和頻域分辨率，且在低信噪比情況下估計(jì)效果不佳；而Wigner-Ville分布[4—6]在需要對(duì)多個(gè)分量的信號(hào)進(jìn)行處理的情況下，容易出現(xiàn)交叉項(xiàng)干擾問題，且運(yùn)算較為復(fù)雜。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換[7—11](FRactional Fourier Transform,FRFT)是一種新興的時(shí)頻分析工具，它不同于傳統(tǒng)的傅里葉變換，而是將變換階次作為自變量，使得線性調(diào)頻信號(hào)在匹配的FRFT階次下表現(xiàn)為沖激信號(hào)，故能量聚集性較強(qiáng)。正是利用這一特性，F(xiàn)RFT可用來對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)，但是由于需要運(yùn)用2維搜索確定最佳旋轉(zhuǎn)角度，因此計(jì)算量較大。

針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)[12]提出一種欠采樣快速檢測(cè)算法，通過減少采樣點(diǎn)數(shù)提升FRFT的運(yùn)算速度，但該算法在信噪比較低時(shí)無法實(shí)現(xiàn)信號(hào)參數(shù)的正確估計(jì)。文獻(xiàn)[13]提出一種基于分?jǐn)?shù)階域的黃金分割的搜索方法，雖然可以降低計(jì)算成本，但也不適用于信噪比較低的情況。文獻(xiàn)[14]提出一種基于修正的功率譜平滑濾波的高效FRFT算法，該算法雖然能夠較快地實(shí)現(xiàn)LFM信號(hào)的檢測(cè)和估計(jì)，但是對(duì)于信噪比小于—3 dB的信號(hào)參數(shù)估計(jì)效果欠佳。文獻(xiàn)[15]基于分?jǐn)?shù)階功率譜幅值與旋轉(zhuǎn)角度之間的變換規(guī)律，提出一種瞄準(zhǔn)搜索方法，盡管可以快速地搜尋到最佳旋轉(zhuǎn)角度，但當(dāng)信噪比較低時(shí)，存在局部最優(yōu)問題，還是無法保證參數(shù)的估計(jì)精度。

在以上研究的背景下，針對(duì)低信噪比情況下線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)快速估計(jì)問題，本文提出一種基于高效FRFT和分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩聯(lián)合估計(jì)算法。本算法在高效FRFT算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)LFM信號(hào)的時(shí)頻分布與FRFT之間的關(guān)系特點(diǎn)，確定初始旋轉(zhuǎn)階次和區(qū)間，并結(jié)合信號(hào)分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩良好的抗噪聲性能和沖激特性，精準(zhǔn)選擇合適的搜索區(qū)間和搜索步長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)低信噪比LFM信號(hào)參數(shù)精確且快速的估計(jì)。

2 LFM信號(hào)分?jǐn)?shù)階頻譜特性分析

2.1 分?jǐn)?shù)階頻譜幅度特性

設(shè)線性調(diào)頻信號(hào)模型為

其中，f0為線性調(diào)頻信號(hào)的初始頻率，k為調(diào)頻斜率，n(t)為高斯白噪聲。對(duì)該信號(hào)在角度α(α=p×π/2,p為階次)下作FRFT可得頻譜幅度表達(dá)式為

其中

對(duì)信噪比分別為8 dB,0 dB,—8 dB的線性調(diào)頻信號(hào)在[0,2]的階次區(qū)間內(nèi)作FRFT運(yùn)算，并對(duì)不同階次下的分?jǐn)?shù)階頻譜幅度最大值歸一化處理，得到的分?jǐn)?shù)階頻譜幅度與階次關(guān)系曲線如圖1所示。

由圖1可以看出：

圖1 FRFT頻譜幅度與階次關(guān)系圖

(1)對(duì)于同一線性調(diào)頻信號(hào)，不同信噪比情況下的最優(yōu)旋轉(zhuǎn)階次保持不變；當(dāng)旋轉(zhuǎn)階次等于最優(yōu)階次時(shí)，線性調(diào)頻信號(hào)的能量得到充分集中，其分?jǐn)?shù)階頻譜幅值最大，呈現(xiàn)沖激函數(shù)特性。

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)階次距離最優(yōu)旋轉(zhuǎn)階次較遠(yuǎn)時(shí)，信號(hào)的能量被平均的分散在頻譜中，其分?jǐn)?shù)階頻譜幅度變小，且幅度變化速率較慢；隨著旋轉(zhuǎn)階次逐漸靠近最優(yōu)旋轉(zhuǎn)階次，分?jǐn)?shù)階頻譜幅度的變化速率越來越快。

(3)當(dāng)信噪比較低時(shí)，由于噪聲能量較大且呈現(xiàn)隨機(jī)特性，導(dǎo)致歸一化分?jǐn)?shù)階頻譜幅度變化不再呈現(xiàn)明顯分布規(guī)律。

2.2 分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩

信號(hào)x(t)的分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩[16]定義為

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為最佳旋轉(zhuǎn)角α0時(shí)，分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩為

其中，A為信號(hào)幅值，T為信號(hào)調(diào)頻周期。此時(shí)，LFM信號(hào)的分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩取得最大值，能量聚集效果最好。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α/α0時(shí)，LFM信號(hào)的分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩為

其中

其中，td為觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)，fs為采樣頻率。當(dāng)α距 離α0越近，η(α)越大。圖2給出了信噪比為8 dB,0 dB和—8 dB情況下信號(hào)的分?jǐn)?shù)階頻譜幅度和分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩對(duì)比情況，相比于分?jǐn)?shù)階頻譜幅度特性，分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩具有以下優(yōu)點(diǎn)：

圖2 歸一化幅度對(duì)比圖

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)階次向最優(yōu)階次變化時(shí)，分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩的變化速率更快。

(2)當(dāng)信噪比較大時(shí)，分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩幅度變化更為平滑，且表現(xiàn)出更強(qiáng)的沖擊性。

綜上所述，信號(hào)的分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩具有良好的抗噪聲性能，因此更適合用于低信噪比情況下最優(yōu)階次的快速估計(jì)。

2.3 高效FRFT

(1)基本原理。如圖3所示，φ為L(zhǎng)FM信號(hào)的W-V分布和時(shí)間軸之間的夾角，Lφ為歸一化時(shí)頻長(zhǎng)度，則該LFM信號(hào)做FRFT的最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角為φ，設(shè)在旋轉(zhuǎn)角度為α下對(duì)信號(hào)作FRFT處理，此時(shí)的LFM信號(hào)歸一化FRFT長(zhǎng)度為L(zhǎng)α。

圖3 FRFT與W-V分布關(guān)系圖

分析圖4可得，LFM信號(hào)的歸一化FRFT長(zhǎng)度與W-V分布的時(shí)頻長(zhǎng)度之間的幾何關(guān)系為

圖4 LFM信號(hào)時(shí)頻分布

當(dāng)α=φ時(shí)，Lα=0，說明此時(shí)LFM信號(hào)在該α旋轉(zhuǎn)角度下作FRFT得到的頻譜表現(xiàn)為沖激函數(shù)，即為最佳旋轉(zhuǎn)角度。因此，選取兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角度α1和α2，并求出和，可得最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角為

LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率的估計(jì)值為

(2)算法不足。高效FRFT算法只需進(jìn)行3次FRFT就可實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)的檢測(cè)，使得計(jì)算量大大減小，但其容易受到噪聲的影響。旋轉(zhuǎn)階次的估計(jì)精度取決于在兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角度下估計(jì)出的頻譜寬度和的精度。當(dāng)信噪比較低時(shí)，噪聲會(huì)對(duì)和的估計(jì)精度產(chǎn)生一定影響，導(dǎo)致最終LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)出現(xiàn)較大偏差。文獻(xiàn)[14]中指出該算法能在信噪比大于等于—3 dB時(shí)對(duì)信號(hào)調(diào)頻斜率和中心頻率實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確估計(jì)，而在信噪比為—3 dB 以下時(shí)參數(shù)的估計(jì)誤差較大。

3 改進(jìn)LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法

本文利用分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩的良好特性，結(jié)合高效FRFT算法對(duì)最優(yōu)階次進(jìn)行精準(zhǔn)搜索，實(shí)現(xiàn)對(duì)低信噪比情況下LFM信號(hào)參數(shù)精確且快速的估計(jì)。

3.1 改進(jìn)算法基本原理

根據(jù)2.2節(jié)的分析可知，在低信噪比情況下，分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩相較于分?jǐn)?shù)階頻譜幅度性能更佳，因此，本文利用分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩對(duì)FRFT的最佳階次進(jìn)行估計(jì)。

(1)確定初始區(qū)間和初始旋轉(zhuǎn)階次。圖4為L(zhǎng)FM信號(hào)的時(shí)頻分布與最佳旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系圖，根據(jù)FRFT性質(zhì)可知，當(dāng)LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率為正時(shí)，最佳旋轉(zhuǎn)角度α0處 于[π/2,π]內(nèi)，即對(duì)應(yīng)階次所在區(qū)間應(yīng)為[1,2]；當(dāng)LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率為負(fù)時(shí)，最佳階次所在區(qū)間應(yīng)為[0,1]。因此，可對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行一次短時(shí)傅里葉變換判斷調(diào)頻斜率的正負(fù)，確定最佳階次所在的初始區(qū)間。選取窗函數(shù)為矩形窗函數(shù)，其公式表示為

式中，M為窗口寬度。本文設(shè)置窗函數(shù)的窗口寬度為N/2，其中N為一個(gè)調(diào)頻周期的采樣點(diǎn)數(shù)。為保證準(zhǔn)確性，在短時(shí)傅里葉變換后，分別對(duì)得到的兩段LFM信號(hào)的功率譜進(jìn)行平滑濾波，采用的平滑濾波公式為

其中，Ps(n)為平滑之后的功率譜，P(n)為信號(hào)的頻譜，M為平滑窗長(zhǎng)度，N為信號(hào)長(zhǎng)度。經(jīng)過平滑濾波后分別找出頻譜最大值所對(duì)應(yīng)的頻率分量f1和f2，并進(jìn)行比較，若f2＞f1，則說明調(diào)頻斜率為正，反之說明調(diào)頻斜率為負(fù)，即可確定初始區(qū)間。確定初始區(qū)間后，利用高效FRFT估計(jì)旋轉(zhuǎn)階次p0，并令其為初始搜索中心。

(2)精準(zhǔn)搜索。確定初始區(qū)間和初始階次后，需要進(jìn)一步搜索來獲得最優(yōu)估計(jì)階次。在這一過程中，搜索區(qū)間和搜索步長(zhǎng)的選取至關(guān)重要。由分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩特性可知，若p0距離最佳階次較近，該階次下的分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩幅值較大；若p0距離最佳階次較遠(yuǎn)，該階次下的分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩幅值較小。因此，為實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)搜索，本文采用以下方法確定區(qū)間和步長(zhǎng)。

步長(zhǎng)的確定方法：為使搜索結(jié)果更加精確，先選取一個(gè)較大的步長(zhǎng)作為初始值，本文選取的初始階次步長(zhǎng)為Δp=0.1。在p0兩 側(cè)分別取值p1=p0-Δp和p2=p0+Δp，計(jì)算這3個(gè)階次下的分?jǐn)?shù)階頻譜4階中心矩并比較大小，判斷p0與最佳階次之間的誤差是否小于 Δp，進(jìn)而確定該步長(zhǎng)是否滿足搜索要求。若p0處幅值最大，則說明誤差小于Δp，該步長(zhǎng)已不適用于本次搜索需求，因此保持搜索中心不變，并縮小步長(zhǎng) Δp；否則說明Δp為適合的搜索步長(zhǎng)，同時(shí)確定搜索區(qū)間，以該步長(zhǎng)進(jìn)行最大值搜索，確定新的搜索中心。

區(qū)間的確定方法：若依次遞增，則說明最佳階次位于p0右 側(cè)，所在區(qū)間為[p0,p0+10Δp]；反之最佳階次位于p0左 側(cè)，所在區(qū)間為[p0-10Δp,p0]。

3.2 改進(jìn)算法流程及步驟

根據(jù)上述原理，改進(jìn)算法流程如圖5所示。其具體步驟如下：

圖5 改進(jìn)算法流程圖

步驟1 確定初始區(qū)間。利用短時(shí)傅里葉變換判斷LFM信號(hào)調(diào)頻斜率的正負(fù)，確定初始區(qū)間為[0,1]或[1,2]。

步驟2 確定初始搜索中心和精度。利用高效FRFT估計(jì)旋轉(zhuǎn)階次p0，確定初始搜索中心。

步驟3 確定搜索區(qū)間和步長(zhǎng)。令步長(zhǎng)Δp的初始值為0.1，并計(jì)算p0-Δp,p0,p0+Δp3個(gè)階次下的4階中心矩。若p0處的值最大,則轉(zhuǎn)向步驟4；若依次遞增，則搜索區(qū)間為[p0,p0+10Δp]；若依次遞減，則搜索區(qū)間為[p0-10Δp,p0]，遞增和遞減兩種情況轉(zhuǎn)步驟5。

步驟4 搜索中心保持不變，更新搜索步長(zhǎng)Δp=Δp/10，重復(fù)步驟3。

步驟5 在滿足初始區(qū)間的前提下，根據(jù)步長(zhǎng)Δp，在搜索區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩最大值搜索，對(duì)搜索中心p0進(jìn)行更新，并將搜索步長(zhǎng)改變?yōu)棣=Δp/10，重復(fù)步驟3。

步驟6 重復(fù)步驟3—步驟5，直至滿足誤差要求。

3.3 改進(jìn)算法運(yùn)算量分析

算法的運(yùn)算量與所需階次精度有關(guān)。首先，利用高效FRFT算法估計(jì)初始搜索中心需要進(jìn)行2次FRFT；其次，每次確定搜索區(qū)間需要進(jìn)行3次FRFT和3次4階中心矩計(jì)算；最后，每次區(qū)間搜索需要進(jìn)行10次FRFT和10次4階中心矩計(jì)算。設(shè)信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)為N，則進(jìn)行1次FRFT變換需要的計(jì)算量為O(Nlog2N)，進(jìn)行1次FRFT變換并求4階原點(diǎn)矩需要的運(yùn)算量為O(Nlog2N+N)。在最高階次精度要求下，算法最多需要的運(yùn)算量為O(54Nlog2N+52N)。對(duì)于傳統(tǒng)的FRFT 2維搜索算法，達(dá)到0.0001的精度需要2000次FRFT運(yùn)算，計(jì)算量為O(2000Nlog2N)，可見相比于傳統(tǒng)的FRFT 2維搜索算法，改進(jìn)算法的運(yùn)算量大大減少，可對(duì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)較為快速的估計(jì)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文對(duì)改進(jìn)算法的抗噪聲性能、參數(shù)估計(jì)性能和計(jì)算量進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，并進(jìn)行結(jié)果分析。

4.1 算法的抗噪聲性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)算法的抗噪聲性能，實(shí)驗(yàn)中選取的LFM信號(hào)為：x(t)=expt∈[-0.25,+0.25]，采樣頻率為5000 Hz。在實(shí)驗(yàn)過程中，設(shè)置虛警概率為10—6，分別采用改進(jìn)算法和文獻(xiàn)[14]中的高效FRFT算法在—15～10 dB的信噪比區(qū)間內(nèi)對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行仿真分析，且在每個(gè)信噪比條件下均進(jìn)行1000次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，得到的檢測(cè)性能曲線為圖6。仿真結(jié)果表明，相比于高效FRFT算法，改進(jìn)算法的檢測(cè)性能得到有效改善。當(dāng)信噪比大于等于—10 dB時(shí)，檢測(cè)概率在95%以上，可基本實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)的檢測(cè)。

圖6 算法檢測(cè)性能曲線

4.2 算法參數(shù)估計(jì)性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)算法的參數(shù)估計(jì)性能，選取LFM信號(hào)為：x(t)=expt∈[-0.25,+0.25]，采樣頻率為5000 Hz。對(duì)信號(hào)在—15～10 dB的信噪比區(qū)間內(nèi)采用高效FRFT算法和改進(jìn)算法進(jìn)行仿真比較分析。圖7為兩種算法估計(jì)出的調(diào)頻斜率誤差對(duì)比圖和中心頻率誤差對(duì)比圖。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與高效FRFT算法相比，改進(jìn)算法能提升調(diào)頻斜率和中心頻率的估計(jì)精度，且在信噪比較低情況下，提升效果更加明顯；當(dāng)信噪比為—10 dB時(shí)，仍能較為準(zhǔn)確地估計(jì)出LFM信號(hào)的參數(shù)。

圖7 兩種算法對(duì)比

4.3 算法運(yùn)算量驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)算法的運(yùn)算量，該實(shí)驗(yàn)將信噪比設(shè)為—5dB,選取LFM信號(hào)為：,t∈[-0.25,+0.25]，采樣頻率為5000Hz。在允許階次誤差分別為0.01,0.001,0.0001 3種情況下，對(duì)信號(hào)采用高效FRFT,FRFT 2維搜索算法與改進(jìn)算法進(jìn)行對(duì)比研究。仿真結(jié)果如表1所示，其中，分別為調(diào)頻斜率和中心頻率的估計(jì)值，kerror和ferror分別為調(diào)頻斜率相對(duì)誤差和中心頻率相對(duì)誤差。

表1 3種算法對(duì)比仿真結(jié)果

從運(yùn)算速度角度分析，改進(jìn)算法的運(yùn)算量大于高效FRFT，但相對(duì)于2維搜索算法大幅度減小，具有實(shí)時(shí)檢測(cè)性能。從參數(shù)估計(jì)精度角度分析，采用高效FRFT算法估計(jì)的調(diào)頻斜率和中心頻率誤差過大，失去估計(jì)作用；隨著允許階次誤差的縮小，F(xiàn)RFT 2維搜索算法和改進(jìn)算法估計(jì)的參數(shù)誤差均有所下降，但相比較于FRFT 2維搜索算法，改進(jìn)算法的參數(shù)估計(jì)誤差更低，更適用于需要高精度估計(jì)參數(shù)的情況。

5 結(jié)論

本文提出一種LFM信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)快速估計(jì)方法，通過判斷LFM信號(hào)調(diào)頻斜率正負(fù)確定最佳階次所在初始區(qū)間，并結(jié)合分?jǐn)?shù)階頻譜4階原點(diǎn)矩性質(zhì)，對(duì)高效FRFT估計(jì)的旋轉(zhuǎn)階次所在區(qū)間進(jìn)行判斷，精準(zhǔn)確定合適的搜索區(qū)間和步長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)最佳階次的快速搜索。本文所提算法能夠?qū)π旁氡葹椤?0 dB及以上的信號(hào)實(shí)現(xiàn)參數(shù)的高精度估計(jì)，且運(yùn)算量較低，在需要對(duì)低信噪比LFM信號(hào)參數(shù)進(jìn)行精確估計(jì)的情況下，算法的實(shí)時(shí)處理性能更好。