張守首 郭思源

基于子域分析模型的實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)磁場解析

張守首1郭思源2

（1. 中南林業(yè)科技大學(xué)班戈學(xué)院 長沙 410018 2. 國網(wǎng)湖南省電力有限公司電力科學(xué)研究院 長沙 410007）

子域分析技術(shù)作為一種簡捷高效的磁場解析方法，已在電機(jī)恒定磁場解析領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。該文以實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)為例，將子域分析技術(shù)拓展到電機(jī)磁準(zhǔn)靜態(tài)場解析領(lǐng)域。在二維極坐標(biāo)平面內(nèi)，將實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)求解區(qū)域劃分為定子槽子域、氣隙子域和實心轉(zhuǎn)子子域，從而在復(fù)頻域建立考慮定子開槽影響的實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)精確子域解析模型。該解析模型著重求解實心轉(zhuǎn)子子域的偏微分方程，根據(jù)運(yùn)行方式的不同，分別給出同步運(yùn)行和異步運(yùn)行兩種工況下的解析表達(dá)式。在解析計算結(jié)果的基礎(chǔ)上，根據(jù)磁鏈法計算實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的運(yùn)算電感。最后，通過二維時諧有限元分析驗證了解析模型的準(zhǔn)確性。

實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī) 精確子域模型 磁場解析 定子開槽 運(yùn)算電感

0 引言

實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的研究可以追溯到19世紀(jì)末，因其具備結(jié)構(gòu)簡單、機(jī)械可靠性高、熱穩(wěn)定性優(yōu)良和起動性能好等特點，非常適合于重載起動等頻繁起停和空氣壓縮機(jī)等高速運(yùn)行領(lǐng)域[1-2]。與常規(guī)籠型感應(yīng)電機(jī)不同，實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)子鐵心是一個連續(xù)的整體，既作為電機(jī)磁路的一部分，又是轉(zhuǎn)子的電流通路。實心轉(zhuǎn)子里的渦流分布與定子電流頻率、轉(zhuǎn)子電阻率及轉(zhuǎn)差率都相關(guān)，其磁場是一個典型的磁準(zhǔn)靜態(tài)場，因此其研究方法需要借助電機(jī)電磁場理論。

光滑表面實心轉(zhuǎn)子是實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的最基本結(jié)構(gòu)，國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了大量的磁場解析研究工作[3-10]。在文獻(xiàn)[3]中，首先忽略定子開槽，以分布于定子和氣隙交界面的正弦電流片表示定子繞組電流，建立了直角坐標(biāo)系下的經(jīng)典二維解析模型，然而該經(jīng)典模型的激勵中僅包含占主導(dǎo)地位的基波空間分量。不考慮定子的開槽，學(xué)者們在極坐標(biāo)下分別解析求解了實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的電磁功率與轉(zhuǎn)矩[4]、等效電路參數(shù)[5]以及運(yùn)算電抗與勵磁電抗[6]等問題。不同于文獻(xiàn)[3-6]中解析模型的電磁場場量傳遞表達(dá)方式，文獻(xiàn)[7-10]基于分層阻抗理論推導(dǎo)實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的電磁場問題，其特點在于用表面阻抗表達(dá)求解域內(nèi)各子層的方程解析解，然而其定子磁動勢仍采用正弦分布于定子內(nèi)表面的電流片，無法計及定子開槽的影響。

各式各樣新型電機(jī)的提出以及電機(jī)工程中新問題的出現(xiàn)，帶動了電機(jī)電磁場解析法的發(fā)展。近年來，以分離變量法為基礎(chǔ)的子域解析模型[11]在預(yù)測電機(jī)電磁性能上獲得了媲美有限元的精度，其中，在永磁電機(jī)方面獲得了豐富的技術(shù)成果，主要有表貼式永磁同步電機(jī)[12-17]、磁性齒輪[18-19]、表面埋入式永磁電機(jī)[20]、雙定子交替極永磁電機(jī)[21]和直線式永磁電機(jī)[22]等多種電磁裝置。然而，以上子域解析模型的應(yīng)用主要體現(xiàn)為恒定磁場問題，在運(yùn)動導(dǎo)體中感應(yīng)產(chǎn)生的時變渦流等磁準(zhǔn)靜態(tài)場的解析計算領(lǐng)域[23-25]還有待發(fā)展和完善。文獻(xiàn)[23]以無槽型表面埋入式永磁電機(jī)為研究對象，在極坐標(biāo)下建立了永磁體渦流損耗的精確子域解析模型，然而其定子激勵為附著于定子內(nèi)表面槽開口處的電流片，無法處理定子開槽的結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[24]建立了一個帶有轉(zhuǎn)子屏蔽套的開口槽表貼式永磁電機(jī)精確子域模型，分析了屏蔽套感應(yīng)渦流對電磁轉(zhuǎn)矩的影響，但該模型的槽子域通解存在明顯缺陷，不能在復(fù)頻域內(nèi)統(tǒng)一求解復(fù)相量形式的諧波系數(shù)方程。文獻(xiàn)[25]盡管建立了一個實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的精確子域模型，但該模型僅能處理異步運(yùn)行工況，且實心轉(zhuǎn)子和轉(zhuǎn)軸子域的解析解中復(fù)傳播常數(shù)未考慮磁場諧波階數(shù)的影響。

本文以開口槽實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)為研究對象，在二維極坐標(biāo)平面內(nèi)將電機(jī)求解區(qū)域劃分為定子槽、氣隙和實心轉(zhuǎn)子三類子域，從而在復(fù)頻域建立了實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的精確子域解析模型。該模型中源量和場量既是空間又是時間的函數(shù)，能夠更好地揭示電機(jī)運(yùn)行的物理本質(zhì)。對于實心轉(zhuǎn)子子域，詳細(xì)推導(dǎo)了由于源量交變和轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)引起的導(dǎo)體感應(yīng)渦流擴(kuò)散方程的產(chǎn)生，將電機(jī)同步和異步運(yùn)行狀態(tài)統(tǒng)一在方程中表達(dá)。利用子域解析模型固有的諧波分解特點，以一臺整數(shù)槽實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)為例，從磁場角度闡述了三相旋轉(zhuǎn)磁動勢產(chǎn)生的諧波，最后用二維時諧有限元驗證了解析模型計算氣隙磁場和運(yùn)算電感的準(zhǔn)確性。

1 子域解析模型

1.1 基本假設(shè)條件

本文以一個開口槽結(jié)構(gòu)的實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)進(jìn)行推導(dǎo)和分析，其橫截面如圖1所示。為了便于子域模型的解析計算，需要進(jìn)行如下基本假設(shè)：

圖1 實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)橫截面

（1）定子鐵心為無窮大的磁導(dǎo)率。

（2）實心轉(zhuǎn)子為各向同性均勻介質(zhì)，磁導(dǎo)率為R，電導(dǎo)率為R。

（3）解析區(qū)域在二維極坐標(biāo)（,）平面內(nèi)，忽略端部效應(yīng)。

（4）定子槽為徑向開口槽，本例是一個單層繞組，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

取定子坐標(biāo)系為解析模型參考系，且以第1槽的中心作為周向0位置。定子槽寬角為，定子槽數(shù)為，則第槽的中心位置角為

圖2 定子槽

為了便于各子域諧波系數(shù)的求解，本文采用文獻(xiàn)[16]定義的兩個函數(shù)，有

實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)結(jié)構(gòu)模型可劃分為三類子域：定子槽、氣隙和實心轉(zhuǎn)子。以矢量磁位作為電磁場方程的求解變量，則在二維極坐標(biāo)平面僅存在軸分量。時變磁場同時是空間變量、和時間變量的函數(shù)，且是正弦交變的，有

式中，為各類子域的磁場諧波階數(shù)；1為時諧磁場的交變角頻率；f為對應(yīng)階次諧波磁場的相位。因此，復(fù)頻域矢量磁位可歸結(jié)為包含時間因子的復(fù)相量表示形式，有

1.2 定子槽子域

該解析模型中，實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的定子繞組通有三相對稱的正弦交變電流，因此，定子槽子域（=1～）是源量區(qū)，滿足泊松方程，有

式中，2為定子內(nèi)表面半徑；3為定子槽底面半徑；J為第槽電流密度，是一個包含時間因子的復(fù)相量，其相位根據(jù)ABC相序不同而錯開120°，有

根據(jù)圖1和圖2，第個定子槽子域在、方向的邊界條件分別為

由分離變量法[11, 13]可得滿足以上邊界條件的第個定子槽子域的解為

由式（11）中槽底面半徑=3處的鐵磁邊界條件可知

1.3 氣隙子域

氣隙子域為無源區(qū)，滿足拉普拉斯方程，轉(zhuǎn)子外表面半徑為1，有

其邊界條件為

其中

求解拉普拉斯方程，氣隙子域通解[13]為

1.4 實心轉(zhuǎn)子子域

根據(jù)感應(yīng)電機(jī)運(yùn)行原理，實心轉(zhuǎn)子中由于三相定子磁動勢交變和轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)會產(chǎn)生感應(yīng)渦流。首先推導(dǎo)實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)異步運(yùn)行的工況，此時該子域滿足亥姆霍茲方程，有

其邊界條件為

式中，為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)機(jī)械角速度；為感應(yīng)電機(jī)運(yùn)行轉(zhuǎn)差率；1為電機(jī)極對數(shù)。根據(jù)解析模型基本假設(shè)，整理式（19）可得

其中

感應(yīng)電機(jī)運(yùn)行于同步速時，根據(jù)電機(jī)學(xué)原理，定子旋轉(zhuǎn)磁動勢基波磁場與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速保持相對靜止，且忽略定子旋轉(zhuǎn)磁動勢高次諧波，則式（19）無需考慮定子磁動勢交變和轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的影響，即實心轉(zhuǎn)子子域中無感應(yīng)渦流，此時亥姆霍茲方程退化為拉普拉斯方程，有

根據(jù)分離變量法，可得同步運(yùn)行時實心轉(zhuǎn)子子域的通解為

同樣地，考慮到=0處矢量磁位為有限值，式（27）可簡化為

2 復(fù)諧波系數(shù)求解

在求解出三類子域復(fù)頻域內(nèi)通解的基礎(chǔ)上，需要在方向交界面上根據(jù)法向磁通密度相等和切向磁場強(qiáng)度相等求解各階次復(fù)諧波系數(shù)。為了簡化表達(dá)，本節(jié)各子域復(fù)矢量磁位采用隱去時間因子的形式，有

2.1 定子槽與氣隙子域交界面

在=2處，根據(jù)式（11）中定子槽與氣隙兩類子域法向磁通密度相等，有

結(jié)合式（12）定子槽通解，根據(jù)傅里葉級數(shù)展開式可得諧波系數(shù)數(shù)學(xué)關(guān)系為

在=2處，根據(jù)式（16）中定子槽與氣隙兩類子域切向磁場強(qiáng)度相等，有

結(jié)合式（18）氣隙子域通解，根據(jù)傅里葉級數(shù)展開式可得諧波系數(shù)數(shù)學(xué)關(guān)系為

2.2 氣隙與實心轉(zhuǎn)子子域交界面

在=1處，根據(jù)氣隙與實心轉(zhuǎn)子兩類子域法向磁通密度相等，有

結(jié)合式（25）、式（28）實心轉(zhuǎn)子子域通解，根據(jù)傅里葉級數(shù)展開式可得諧波系數(shù)數(shù)學(xué)關(guān)系為

在=1處，根據(jù)氣隙與實心轉(zhuǎn)子兩類子域切向磁場強(qiáng)度相等，有

結(jié)合式（18）氣隙子槽通解，根據(jù)傅里葉級數(shù)展開式可得諧波系數(shù)數(shù)學(xué)關(guān)系為

以上三類子域各階次復(fù)諧波系數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系展開過程和求解方法見附錄。

3 仿真分析與驗證

3.1 樣機(jī)參數(shù)與繞組分布

本文以一臺實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)為例進(jìn)行磁場計算分析，實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)參數(shù)見表1，定子繞組分布如圖3所示。該樣機(jī)由2對極組成，圖3是電機(jī)一個極下的繞組分布，每極每相槽數(shù)=3。

表1 實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)參數(shù)

Tab.1 Parameters of solid rotor induction machine

圖3 定子繞組分布

3.2 同步運(yùn)行工況

時變的磁場在導(dǎo)體中感應(yīng)出渦流的電磁場問題可通過二維時諧有限元進(jìn)行仿真分析，要求所有電磁量均具有相同的交變頻率。本文中的實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)采用電流源作為激勵，模擬同步運(yùn)行工況時將忽略轉(zhuǎn)子電導(dǎo)率。圖4為二維時諧有限元得出的=0時刻的磁場分布，可見，磁力線由定子軛穿過氣隙經(jīng)轉(zhuǎn)子形成閉合回路，是一個典型的4極磁場，符合三相交流繞組建立的磁動勢分布。

圖4 同步運(yùn)行工況下t =0時刻的磁場分布

從實際運(yùn)行來講，感應(yīng)電機(jī)不能運(yùn)行于同步工況，即對應(yīng)=0的空載狀態(tài)。然而，虛擬的同步運(yùn)行工況對于分析氣隙磁通密度有重要意義。本文建立的子域解析模型同時考慮了時間和空間分量，氣隙子域中任意時刻和位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向與切向分量可表示為

圖5為實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)同步運(yùn)行工況下=0時刻的g=(2+3)/2處徑向和切向磁感應(yīng)強(qiáng)度計算結(jié)果對比?？傻?，解析解與有限元解的整體趨勢較為吻合。不同之處在于，有限元解在定子開槽處的徑向磁通密度“凹陷”更深、切向磁通密度“凸起”更高，即整體上有限元解在氣隙磁導(dǎo)顯著變化的區(qū)域突變更劇烈，這一現(xiàn)象與前人工作相同[14, 20]。原因在于，有限元法計算的場量在跨越不同介質(zhì)邊界的剖分網(wǎng)格處，其連續(xù)性相比解析解要相對偏弱。

將式（18）代入式（43），可得氣隙磁通密度徑向分量為

圖5 同步運(yùn)行工況下t =0時刻的徑向和切向磁感應(yīng)強(qiáng)度

由式（45）可知，氣隙磁通密度徑向分量是一個傅里葉級數(shù)疊加的形式，在已知各階次復(fù)諧波系數(shù)時，可方便繪制氣隙子域磁場諧波階數(shù)n與諧波幅值的關(guān)系如圖6所示，對氣隙磁通密度影響最大的是一階齒諧波n=(Q/p1±1)p1。根據(jù)電機(jī)繞組理論，整數(shù)槽繞組的空間諧波階次主要是1±6l（l=0,1, 2,…），其在子域解析模型中對應(yīng)的諧波階數(shù) ，這與圖6子域解析模型的結(jié)果相符合。除n=p1是電機(jī)基波磁場外，圖6中主要的諧波分量包括n 階齒諧波n=(nQ/p1±1)p1、正向n=7p1及反向n= 5p1旋轉(zhuǎn)諧波，其空間分布分別如圖7a～圖7c所示。

3.3 異步運(yùn)行工況

當(dāng)實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)運(yùn)行于=0.03的異步工況，需要將二維時諧有限元模型的實心轉(zhuǎn)子區(qū)域進(jìn)行頻率折算，以保證電機(jī)整個求解域具有相同的交變頻率。圖8為異步運(yùn)行工況下=0時刻的磁場分布，可見定子繞組磁動勢在實心轉(zhuǎn)子中產(chǎn)生感應(yīng)渦流，在轉(zhuǎn)子表面有較明顯的趨膚效應(yīng)，實心轉(zhuǎn)子中是一個感應(yīng)產(chǎn)生的4極磁場。

圖9為實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)=0.03異步工況下= 0時刻的g處徑向和切向氣隙磁通密度求解結(jié)果對比，可見，解析解與有限元解兩者的磁通密度波形較為一致，再次表明，基于復(fù)頻域的子域解析模型能夠較好地預(yù)測磁場分布。

圖7 同步運(yùn)行工況下氣隙磁通密度徑向分量的諧波分析

圖8 異步運(yùn)行工況下t =0時刻的磁場分布

3.4 制動工況

感應(yīng)型電動機(jī)的電氣制動主要包括能耗制動、反接制動和回饋制動等。在制動工況下，感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)向與旋轉(zhuǎn)磁場方向相反，電磁轉(zhuǎn)矩表現(xiàn)為制動轉(zhuǎn)矩，即轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速r＜0，轉(zhuǎn)差率＞1。假設(shè)實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)運(yùn)行于=0.03的異步工況，此時將電源任意兩相的相序反接，則電機(jī)的旋轉(zhuǎn)磁場將發(fā)生反轉(zhuǎn)。因機(jī)械慣性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)向不變，則電磁轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速方向相反，從而進(jìn)入制動工況下的轉(zhuǎn)差率b= 1.97的制動狀態(tài)。

圖9 異步運(yùn)行工況下t =0時刻的徑向和切向磁感應(yīng)強(qiáng)度

圖10為實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)b=1.97制動工況下氣隙磁通密度計算結(jié)果對比，表明本文的解析模型在制動工況下能夠較好地預(yù)測氣隙磁場分布。

（a）徑向分量

（b）切向分量

圖10 制動工況下=0時刻的徑向和切向磁感應(yīng)強(qiáng)度

Fig.10 Radial and tangential components of magnetic flux density at=0 under braking

3.5 運(yùn)算電感求解

在B. Adkins所著《交流電機(jī)統(tǒng)一理論》[26]中，將微分算子與拉氏算子合為一體，即在時域內(nèi)把作為一個普通代數(shù)量進(jìn)行運(yùn)算，而在頻域內(nèi)是一個代數(shù)復(fù)變量。本文采用文獻(xiàn)[26]中的規(guī)范，對于實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的運(yùn)算電感()，當(dāng)j時表示運(yùn)算電感的頻率特性(j)。

根據(jù)子域解析法的定子槽子域復(fù)矢量磁位，實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的運(yùn)算電感可表示為

其中

對于表1中的實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)樣機(jī)，圖11所示為不同轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)差率下的運(yùn)算電感計算結(jié)果對比。可見，解析解與有限元解結(jié)果相當(dāng)吻合，包括運(yùn)算電感實部（見圖11a）和虛部（見圖11b）。此時解析模型中考慮定子開槽影響，經(jīng)二維時諧有限元分析驗證獲得了極高的計算精度。

圖11 異步運(yùn)行工況下運(yùn)算電感計算對比

4 結(jié)論

本文以實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)為研究對象，在二維極坐標(biāo)平面內(nèi)，建立了一個典型磁準(zhǔn)靜態(tài)場問題的精確子域解析模型。該解析模型包括定子槽、氣隙和實心轉(zhuǎn)子三類子域，各電磁量均為包含空間和時間變量的復(fù)相量形式，從而將子域模型求解從恒定磁場拓展到磁準(zhǔn)靜態(tài)場解析領(lǐng)域。該模型考慮了實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)同步運(yùn)行和異步運(yùn)行兩種工況，為三相對稱交流繞組建立的氣隙磁場提供了一種準(zhǔn)確高效的分析方法。最后，以一臺樣機(jī)在兩種運(yùn)行工況下的氣隙磁通密度波形以及異步運(yùn)行下的運(yùn)算電感計算，經(jīng)解析法和二維時諧有限元結(jié)果對比，兩者的一致性驗證了該解析模型的有效性。

附 錄

以下推導(dǎo)過程中各子域復(fù)矢量磁位采用隱去時間因子的形式，同第2節(jié)。

將式（18）代入式（31）、式（32），有

其中

當(dāng)1時，有

當(dāng)=時，有

將式（12）代入式（35）、式（36），有

將式（18）代入式（38）、式（39），有

將式（25）代入式（41）、式（42），對應(yīng)實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)異步運(yùn)行工況，有

將式（28）代入式（41）、式（42），對應(yīng)實心轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)同步運(yùn)行工況，有

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Analytical Solution of Magnetic Field in Solid Rotor Induction Machine Based on Subdomain Model

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（1. Bangor College Central South University of Forestry and Technology Changsha 410018 China 2. State Grid Hunan Electric Power Company Limited Research Institute Changsha 410007 China）

As a simple and efficient method of magnetic field analysis, subdomain techniques have been widely used in the analytical calculation of constant magnetic field analysis for electrical machines. Taking the solid rotor induction machine as an example, the subdomain technique is extended to the field of magnetic quasi-static field analysis in this paper. The solver region of the solid rotor induction machine is divided into the stator slot domain, the air-gap domain and the solid rotor domain in the two-dimensional polar coordinate plane, thereby establishing an accurate subdomain model of the solid rotor induction machine considering the stator slotting effect in the complex frequency domain. The analytical model focuses on solving the partial differential equations of the solid rotor subdomain. According to the different operating modes, the analytical expressions for synchronous operation and asynchronous operation are given. Then, the operational inductance of the solid rotor induction machine is calculated by the flux linkage method. Finally, the accuracy of the analytical model is verified by two-dimensional harmonic finite element analysis.

Solid rotor induction machine, accurate subdomain model, analytical solution of magnetic field, stator slotting, operational inductance

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210492

TM351

張守首 女，1987年生，博士，講師，研究方向為電磁場及電磁波理論、信號處理技術(shù)等。E-mail: sszhang@whu.edu.cn（通信作者）

郭思源 男，1986年生，博士，高級工程師，研究方向為發(fā)電機(jī)勵磁系統(tǒng)及其控制、電機(jī)電磁場等。E-mail: siyuanguo2001@163.com

2021-04-11

2021-06-06

湖南省自然科學(xué)基金資助項目（2020JJ5988）。

（編輯 崔文靜）