覃立，陳榮梅，郭勤濤

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016；2. 南京安維士傳動(dòng)技術(shù)股份有限公司，江蘇 南京 210019)

0 引言

在大型風(fēng)電傳動(dòng)系統(tǒng)中，行星架承擔(dān)著主軸傳遞過(guò)來(lái)的轉(zhuǎn)矩，是風(fēng)電齒輪箱中承載最大的零部件，在工程應(yīng)用中前臂和前軸聯(lián)接處時(shí)常會(huì)發(fā)生斷裂、疲勞等故障[1]。行星架作為齒輪箱中最重要的零部件之一，為了保證風(fēng)力發(fā)電機(jī)20年的運(yùn)行壽命，須保證行星架具有足夠的極限強(qiáng)度和疲勞強(qiáng)度[2]，因此行星架的強(qiáng)度設(shè)計(jì)研究具有重要意義。

在某些雙臂行星架中，在前臂和前軸聯(lián)接處設(shè)置有階梯軸結(jié)構(gòu)，如圖1所示，以便于對(duì)支承行星架的滾動(dòng)軸承軸向定位。顯然，在階梯軸的1、2兩處存在應(yīng)力集中現(xiàn)象。在機(jī)械零部件中，通常采用過(guò)渡圓弧來(lái)改善該現(xiàn)象，常見過(guò)渡圓弧構(gòu)型有單圓弧、雙圓弧和三圓弧等[3-4]。鑒于采用單圓弧過(guò)渡影響軸承裝配且應(yīng)力降低效果不明顯。過(guò)渡多圓弧被作為一種低應(yīng)力設(shè)計(jì)方案，但如何實(shí)現(xiàn)多圓弧參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)并提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率成為一個(gè)研究問(wèn)題。

圖1 階梯軸結(jié)構(gòu)

本文以兩種圓弧構(gòu)型即圖1中1處采用雙圓弧、2處采用三圓弧為例進(jìn)行多圓弧結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。首先對(duì)多圓弧參數(shù)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究，利用有限元和編程軟件實(shí)現(xiàn)行星架多圓弧結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模，最后進(jìn)行了優(yōu)化方法的探討。

1 多圓弧曲線的參數(shù)設(shè)計(jì)

為了準(zhǔn)確描述多圓弧曲線的形狀和位置并保證設(shè)計(jì)參數(shù)之間相互獨(dú)立，以三圓弧曲線為例，推導(dǎo)其通用的幾何關(guān)系[5-8]，提取出設(shè)計(jì)參數(shù)。然后，利用該方法確定多圓弧結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，為其優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1.1 三圓弧曲線的參數(shù)設(shè)計(jì)

圖2 三圓弧參數(shù)的示意圖

根據(jù)幾何關(guān)系，可以推出圓心O1(xO1,yO1)、O2(xO2,yO2)、O3(xO3,yO3)的坐標(biāo)：

(1)

(2)

(3)

根據(jù)三圓弧的相切條件，可得

(4)

在圖2中，線段ED為與多圓弧相接的已知結(jié)構(gòu)，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，ED為x軸，建立坐標(biāo)系x1Dy1，α為兩坐標(biāo)系y軸相交形成的銳角。在三圓弧形狀確定時(shí)，α可以控制三圓弧結(jié)構(gòu)的位置，需將其作為獨(dú)立變量，用公式(5)可將圓弧上點(diǎn)的坐標(biāo)從坐標(biāo)系x2Oy2轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系x1Dy1上，即將坐標(biāo)(x2,y2)轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)(x1,y1)。

(5)

因此，為了確定三圓弧曲線的位置和形狀，共需采用6個(gè)獨(dú)立變量。應(yīng)用該參數(shù)設(shè)計(jì)方法，單圓弧和雙圓弧的獨(dú)立變量數(shù)目分別為3個(gè)和4個(gè)。此外，圓弧段數(shù)>3的多圓弧曲線也可利用上述方法確定獨(dú)立變量。

1.2 多圓弧結(jié)構(gòu)的參數(shù)設(shè)計(jì)

多圓弧結(jié)構(gòu)的母線如圖3所示，結(jié)合上一節(jié)的參數(shù)設(shè)計(jì)方法和實(shí)際位置約束(點(diǎn)A、D、F、H均固定不動(dòng))，該母線可用8個(gè)獨(dú)立參數(shù)描述，其中三圓弧段5個(gè)，兩圓弧段3個(gè)，其參數(shù)范圍如表1所示。

圖3 多圓弧結(jié)構(gòu)的示意圖

表1 多圓弧結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)及范圍

2 行星架的應(yīng)力分析

2.1 參數(shù)化建模及應(yīng)力分析過(guò)程

圖4為聯(lián)合MATLAB和HyperWorks兩種軟件對(duì)多圓弧結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模的方法：利用MATLAB編程，用設(shè)計(jì)變量控制多圓弧曲線的形狀和位置，并調(diào)用MESH2D工具箱[9]生成多圓弧結(jié)構(gòu)截面的二維網(wǎng)格模型，在HyperMesh中建立多圓弧結(jié)構(gòu)和整體行星架的三維網(wǎng)格模型，此外還需利用MATLAB程序和HyperWorks的二次開發(fā)功能[10]保證參數(shù)化建模過(guò)程的可重復(fù)性。

圖4 行星架參數(shù)化建模及應(yīng)力計(jì)算過(guò)程

圖5為行星架的有限元模型及邊界條件。許多學(xué)者對(duì)行星架的極限強(qiáng)度分析做了大量的工作[11-12]，本文不再贅述該過(guò)程。行星架的材料為QT700-2A，其疲勞極限為380MPa，材料局部安全系數(shù)為1.1，其他安全系數(shù)均考慮在載荷中，此時(shí)疲勞強(qiáng)度許用應(yīng)力[σ]為345MPa。同時(shí)，分析應(yīng)力類型為最大主應(yīng)力[13]，且需用許用應(yīng)力評(píng)判結(jié)構(gòu)是否滿足強(qiáng)度要求。

圖5 行星架的有限元模型及邊界條件

2.2 多圓弧參數(shù)與應(yīng)力、質(zhì)量的變化關(guān)系

基于表1中的設(shè)計(jì)參數(shù)和圖4的應(yīng)力分析過(guò)程，可以開展多圓弧參數(shù)與多圓弧結(jié)構(gòu)上最大應(yīng)力、質(zhì)量之間的變化關(guān)系研究。

三圓弧的形狀和位置由5個(gè)獨(dú)立設(shè)計(jì)參數(shù)R1、R2、R3、α1和β1確定，固定兩圓弧的設(shè)計(jì)參數(shù)，此時(shí)可取R5=18mm，α2=80°，β2=18°。在設(shè)計(jì)參數(shù)的取值范圍內(nèi)取等距的7個(gè)值，探究σl,max、σs,max和質(zhì)量隨單一參數(shù)的變化規(guī)律，如圖6-圖8所示。

圖6 兩圓弧處最大應(yīng)力與參數(shù)的變化關(guān)系

圖7 三圓弧處最大應(yīng)力與參數(shù)的變化關(guān)系

圖8 參數(shù)化部分質(zhì)量與參數(shù)的變化關(guān)系

從圖6-圖8中可以看出，兩圓弧處的應(yīng)力值明顯高于三圓弧處，并可能超過(guò)許用應(yīng)力值；質(zhì)量和σl,max應(yīng)力隨著參數(shù)R2、β1的增大而增大，隨著參數(shù)R1、R3、α1的增大而減小，σs,max的變化規(guī)律與之相反；5個(gè)參數(shù)對(duì)兩個(gè)圓弧段上的應(yīng)力均有影響。其中，σl,max表示兩圓弧段上最大應(yīng)力，σs,max表示三圓弧段上最大應(yīng)力。另外，兩圓弧的參數(shù)也符合類似規(guī)律。

3 多圓弧結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化問(wèn)題的建立

基于2.2節(jié)中多圓弧參數(shù)與質(zhì)量的變化規(guī)律可知，當(dāng)R1=35mm，R2=15mm，R3=8mm，α1=65°，β1=7°，R5=14mm，α2=60°和β2=40°時(shí)，質(zhì)量取最小值0.231 8 t，此時(shí)應(yīng)力σl,max=375.3MPa，σs,max=261.7MPa。σl,max超出了許用應(yīng)力，因此不滿足疲勞強(qiáng)度要求。為了對(duì)多圓弧結(jié)構(gòu)進(jìn)行低應(yīng)力和低質(zhì)量設(shè)計(jì)，本文以多圓弧結(jié)構(gòu)的8個(gè)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，應(yīng)力滿足疲勞強(qiáng)度要求作為約束條件和參數(shù)化部分質(zhì)量最小作為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型如下所示。

3.2 多種代理模型的實(shí)現(xiàn)

行星架有限元模型每進(jìn)行一次靜力學(xué)分析需耗費(fèi)時(shí)間為5 min左右。由于涉及8個(gè)設(shè)計(jì)變量，在優(yōu)化過(guò)程中可能會(huì)迭代計(jì)算成千上萬(wàn)次，若基于有限元模型反復(fù)計(jì)算響應(yīng)，必將產(chǎn)生巨大的時(shí)間成本。為了減少仿真計(jì)算時(shí)間，可采用代理模型技術(shù)[14]，它可以代替實(shí)際物理模型的計(jì)算過(guò)程。

在建立代理模型時(shí)，試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和近似模型直接影響代理模型的精度[15]，可對(duì)比不同試驗(yàn)設(shè)計(jì)和近似模型下代理模型的精度選出最優(yōu)方案。采用正交設(shè)計(jì)、拉丁超立方和優(yōu)化超立方三種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法獲取模型樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)數(shù)如表2所示，并利用該樣本點(diǎn)分別構(gòu)建多項(xiàng)式響應(yīng)面模型、Kriging模型和徑向基模型，然后使用測(cè)試點(diǎn)驗(yàn)證方法[15]對(duì)模型精度進(jìn)行檢驗(yàn)，其中驗(yàn)證樣本點(diǎn)為同一組拉丁超立方抽樣的樣本點(diǎn)。圖9為σl,max應(yīng)力代理模型精度對(duì)比圖。在模型樣本點(diǎn)數(shù)相當(dāng)?shù)那闆r下，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的代理模型精度明顯優(yōu)于其他兩種設(shè)計(jì)方法，所以試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選用正交設(shè)計(jì)。在正交設(shè)計(jì)下，σl,max應(yīng)力的三階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型精度最高，σs,max應(yīng)力的徑向基模型精度最高，質(zhì)量的徑向基模型精度最高，依此可以確定各目標(biāo)量最優(yōu)的近似模型。各目標(biāo)量代理模型的優(yōu)選方案如表3所示。

表2 試驗(yàn)和驗(yàn)證的樣本點(diǎn)數(shù)

圖9 σl,max應(yīng)力代理模型的精度對(duì)比

表3 各目標(biāo)量代理模型的優(yōu)選方案及精度

3.3 基于粒子群算法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

在建立高精度的代理模型后，可采用優(yōu)化算法求解優(yōu)化模型的最優(yōu)解。粒子群算法在求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出良好的尋優(yōu)能力，通過(guò)迭代尋優(yōu)計(jì)算能夠迅速找到最優(yōu)解，因此粒子群算法在工程計(jì)算中廣泛應(yīng)用[16]。本文將質(zhì)量最小時(shí)的參數(shù)作為優(yōu)化初始值，采用粒子群算法對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。

優(yōu)化前后的結(jié)果比較如表4所示。從表中可以看出，優(yōu)化后兩圓弧段的應(yīng)力值為338.5MPa，比優(yōu)化前降低了9.8%，三圓弧段應(yīng)力變化不大，均滿足疲勞強(qiáng)度條件，同時(shí)多圓弧結(jié)構(gòu)質(zhì)量降低了5.7%。

表4 優(yōu)化前后的變量值及變化量

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了基于代理模型和粒子群算法的多圓弧結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并將其應(yīng)用在風(fēng)電齒輪箱中行星架上，具體的研究?jī)?nèi)容及后續(xù)研究任務(wù)如下：

1)推導(dǎo)了雙圓弧和三圓弧通用的幾何關(guān)系，為多圓弧結(jié)構(gòu)的參數(shù)設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)，并基于MATLAB和HyperWorks聯(lián)合建模方法建立了多圓弧結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模型；

2)結(jié)合粒子群算法和代理模型進(jìn)行多圓弧結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低了多圓弧結(jié)構(gòu)上應(yīng)力的最大值，并顯著提高了優(yōu)化效率；

3)由于時(shí)間和經(jīng)濟(jì)等原因，尚未制造出優(yōu)化后的物理模型以對(duì)該套方法進(jìn)行驗(yàn)證，之后可進(jìn)一步研究試驗(yàn)驗(yàn)證的工作。