吳靜宇

摘 要：“學(xué)科核心素養(yǎng)”已成為學(xué)科教學(xué)中最為熱鬧的關(guān)鍵詞。筆者按照讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的要求實(shí)施教學(xué)，采用問(wèn)題串的形式讓學(xué)生自主探究，真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);問(wèn)題;情境

隨著新的學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布和新一輪課程改革的推進(jìn)，“學(xué)科核心素養(yǎng)”已成為學(xué)科教學(xué)中最為熱鬧的關(guān)鍵詞。2019年江蘇省高中數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)班在南京中華中學(xué)舉辦，筆者有幸參加了這次培訓(xùn)活動(dòng)，并在活動(dòng)中展示了蘇教版《數(shù)學(xué)》（必修4）三角函數(shù)的章節(jié)起始課。在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，筆者基于“學(xué)科核心素養(yǎng)”的視角進(jìn)行設(shè)計(jì)，受到了聽(tīng)課教師的肯定和好評(píng)。下面是本節(jié)課的部分教學(xué)實(shí)錄，與大家分享。

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

本節(jié)作為章節(jié)的起始課，它引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入三角函數(shù)的全新領(lǐng)域，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有重要的作用，其發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)難得的素材[1]，需要我們好好地加以把握和利用。本節(jié)課以問(wèn)題和活動(dòng)為抓手，圍繞“設(shè)置情境——提出問(wèn)題——引領(lǐng)活動(dòng)——形成概念——深化理解”展開(kāi)，讓學(xué)生在實(shí)際情境中認(rèn)識(shí)“角”的概念推廣的必要性，體會(huì)在平面直角坐標(biāo)系中研究“角”的好處，學(xué)會(huì)在平面直角坐標(biāo)系中研究任意“角”的三角函數(shù)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂(lè);培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和構(gòu)建知識(shí)的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：首先請(qǐng)大家欣賞這兩張圖，月相圖，潮起潮落（潮汐現(xiàn)象）圖。

問(wèn)題1：以上現(xiàn)象有什么共同特征？

生：它們都重復(fù)出現(xiàn)。

師：非常好！日出日落，寒來(lái)暑往……自然界中有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，這種按一定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱(chēng)為周期現(xiàn)象.你能舉出生活中具有周期現(xiàn)象的例子嗎？

生：教室里的掛鐘，分針和時(shí)針在周而復(fù)始地轉(zhuǎn)動(dòng)，自行車(chē)車(chē)輪，摩天輪……

師：很棒！生活中有很多具有周期現(xiàn)象的例子，一個(gè)典型的例子便是圓周運(yùn)動(dòng)。今天就讓我們坐上摩天輪來(lái)開(kāi)啟一段探究之旅。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)播放有關(guān)周期現(xiàn)象的動(dòng)圖，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，生活中的情境舉例，讓學(xué)生深切感受到周期現(xiàn)象，有效的問(wèn)題切入，讓學(xué)生在興趣的引領(lǐng)下快速進(jìn)入新知探究的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活實(shí)際，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界。

（二）組織活動(dòng)，探索新知

問(wèn)題2：如圖，摩天輪的半徑為r，逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每8分鐘轉(zhuǎn)一圈。（以水平方向OP0為起始位置）

1.1分鐘后，4分鐘后，8分鐘后OP轉(zhuǎn)過(guò)的角分別是什么？

2.9分鐘后，12分鐘后，16分鐘后轉(zhuǎn)過(guò)的角分別是什么？

師：請(qǐng)大家思考一下.然后積極地來(lái)回答。

生1：第（1）問(wèn)逆時(shí)針?lè)謩e轉(zhuǎn)過(guò)45°，180°，360°。

生2：第（2）問(wèn)逆時(shí)針?lè)謩e轉(zhuǎn)過(guò)405°，540°，720°。

師：非常好！那這個(gè)第（2）小題大家說(shuō)的角已經(jīng)超出了初中角的范圍0°～360°。可見(jiàn)，初中的角具有局限性，我們非常有必要對(duì)角進(jìn)行推廣。

問(wèn)題3：摩天輪的半徑為r，作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每8分鐘轉(zhuǎn)一圈。（以水平方向OP0為起始位置）

（1）1分鐘后，4分鐘后，8分鐘后OP轉(zhuǎn)過(guò)的角分別是什么？

（2）9分鐘后，12分鐘后，16分鐘后轉(zhuǎn)過(guò)的角分別是什么？

生：要分類(lèi)討論，分逆時(shí)針和順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，答案是……

師：很好！大家對(duì)角有了新的認(rèn)識(shí)，角的范圍不僅僅局限在0°～360°，而且發(fā)現(xiàn)角還跟旋轉(zhuǎn)方向有關(guān)。

問(wèn)題4：你能對(duì)我們初中學(xué)過(guò)的角的概念進(jìn)行推廣嗎？

生：一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。

師：這就是這一章里研究的角的定義。并且規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角為正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角為負(fù)角，如果射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，就叫作零角。有了這一定義后，我們就把角推廣到了任意角。

問(wèn)題5：圓周上的點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，你可以用哪些數(shù)學(xué)量來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)P的位置呢？

生1：可以建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)（x，y）來(lái)表示，如圖1。

生2：可以用（r，α）來(lái)表示，如圖2。

生3：可以用（r，l）來(lái)表示，如圖3。

師：大家的數(shù)學(xué)功底非常好，主要是這三種表示方法。那么既然能用點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）很好地刻畫(huà)點(diǎn)P的位置，我們剛剛為什么要來(lái)推廣角呢？

生：用坐標(biāo)來(lái)表示點(diǎn)的位置不能體現(xiàn)周期現(xiàn)象。

師：回答得漂亮！點(diǎn)P在進(jìn)行周而復(fù)始的圓周運(yùn)動(dòng)，角和弧長(zhǎng)能反映出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的周期性。

問(wèn)題6：這些量x，y，l，r，α之間有什么內(nèi)在的聯(lián)系？

生1：構(gòu)造直角三角形，當(dāng)角α是銳角時(shí)，根據(jù)初中知識(shí)得r2=x2+y2，，。

生2：弧長(zhǎng)。

師：這個(gè)代數(shù)形式就是高中里對(duì)任意角α的正弦、余弦、正切的定義，即，，。從而我們把銳角的三角函數(shù)值推廣到了任意角的三角函數(shù)值。

問(wèn)題7：能否看成是關(guān)于α的函數(shù)呢？cosα，tanα呢？

生：sinα是函數(shù)。因?yàn)榻铅链_定后，由相似三角形的知識(shí)可得比值唯一確定，根據(jù)函數(shù)的定義可得正弦sinα是α的函數(shù)。類(lèi)似的，余弦和正切也是函數(shù)。

師：這就是本章我們要研究的三角函數(shù)，即正弦函數(shù)，余弦函數(shù)和正切函數(shù)。有了新的函數(shù)后，接下來(lái)我們往往會(huì)去做哪些工作？

問(wèn)題8：怎樣作出三角函數(shù)的圖像以及三角函數(shù)有哪些性質(zhì)呢？

生：結(jié)合周期我們可以用描點(diǎn)法先作出一個(gè)周期上的圖像，由圖像去研究函數(shù)的性質(zhì)，比如：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性。

師：非常好！這些內(nèi)容我們將在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中逐一去進(jìn)行詳細(xì)的研究。

[設(shè)計(jì)意圖]借助問(wèn)題串引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)探究活動(dòng)，層層深入，探索解決問(wèn)題的方法和策略，實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)。教師通過(guò)有效設(shè)問(wèn)，啟迪學(xué)生的思維，讓學(xué)生真切地參與和經(jīng)歷角概念、三角函數(shù)值的形成過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)到三角函數(shù)是刻畫(huà)圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要函數(shù)模型，經(jīng)歷從有所“知”到有所“悟”，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題，從而提高學(xué)生的理性思考的自主探究的能力。

（三）總結(jié)反思，深化理解

師：這節(jié)課就是我們研究的“三角函數(shù)章節(jié)起始課”。任意“角”的概念，任意“角”的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是本章我們研究的三大知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)這節(jié)課的共同探究，我們還學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法呢？

生：從特殊到一般、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

師：說(shuō)得太好了。我們不僅要學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是要從知識(shí)建構(gòu)中發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在這些數(shù)學(xué)知識(shí)之中的數(shù)學(xué)思想方法，只有掌握了數(shù)學(xué)思想方法，我們才會(huì)學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)交流討論發(fā)言，學(xué)生更清晰地了解本章要學(xué)的知識(shí)，并真切地感受到在知識(shí)建構(gòu)過(guò)程中隱性的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析問(wèn)題、學(xué)會(huì)歸納和總結(jié)的同時(shí)，深化對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

三、教學(xué)實(shí)踐的思考

（一）設(shè)置情境，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

讓學(xué)生“學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”是數(shù)學(xué)課程的最終目標(biāo)之一，而實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)就需要在平時(shí)課堂上結(jié)合生活實(shí)際，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去擦亮他們的數(shù)學(xué)之眼[2]。這一點(diǎn)，在章節(jié)起始課的教學(xué)中顯得尤為重要。本節(jié)課的教學(xué)，筆者設(shè)置了兩個(gè)不同形式的情境：一是視頻和多媒體的展示，強(qiáng)調(diào)視覺(jué)形象;二是摩天輪的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景，強(qiáng)調(diào)動(dòng)手操作。從學(xué)生熟悉的生活環(huán)境和感興趣的話題出發(fā)，為學(xué)生提供生活中的問(wèn)題，并能從中抽象出數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，既激發(fā)了學(xué)生對(duì)“三角函數(shù)”這一全新的數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力，又“自然而然”“水到渠成”地向?qū)W生展示了本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)做到心中有數(shù)，在學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的同時(shí)，提升了邏輯推理和邏輯思維的能力。

（二）問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）明確要求“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”，而思維能力的提升離不開(kāi)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式[3]。在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了八個(gè)問(wèn)題，組成問(wèn)題串，運(yùn)用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法，引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)，讓思維從問(wèn)題開(kāi)始，問(wèn)題的設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣，不斷促進(jìn)思維的深入。整個(gè)過(guò)程中教師始終處于引導(dǎo)地位，讓學(xué)生自主探究、合作討論，展示交流，親身體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的魅力，使學(xué)生在這樣的過(guò)程中，學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，提升了核心素養(yǎng)。

（三）合作交流，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界

王尚志教授在解讀核心素養(yǎng)的報(bào)告中指出：每個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的闡述，都會(huì)涉及思維與表達(dá)、交流與反思。筆者以為，學(xué)生要表達(dá)自己對(duì)某個(gè)問(wèn)題的想法，就要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等處理，而在聽(tīng)取他人的表達(dá)時(shí)又需要理解別人的表達(dá)并進(jìn)行分析。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維層次可以得到明顯的提升，數(shù)學(xué)素養(yǎng)可以得到有效地發(fā)展。三角函數(shù)的章節(jié)起始課將初中的角推廣到任意角后，在數(shù)學(xué)中如何刻畫(huà)，怎樣描述更加合理、方便，任意角以及任意角的三角函數(shù)這些概念如何用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)加以表述，如何使學(xué)生能夠得到有效的認(rèn)識(shí)和理解，需要我們?cè)诮虒W(xué)中給學(xué)生留下足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在自我發(fā)現(xiàn)、自主探究、合作交流的過(guò)程中，充分感受數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值。學(xué)生只有經(jīng)歷了質(zhì)疑、判斷、比較、選擇、思辨以及相應(yīng)的分析、綜合、歸納、概括和表達(dá)等認(rèn)知活動(dòng)，才能真正理解和鞏固所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，從而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處。

參考文獻(xiàn)

[1]曹瑞彬.“任意角”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（4）：1-2.

[2]狄理磊.起始課中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐與反思：以“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法”為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（下旬），2018（5）：13-14.

[3]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：6.