王迎迎 程 紅

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）機(jī)電與信息工程學(xué)院 北京 100083）

0 引言

功率變換器中的變壓器工作在多種勵(lì)磁狀態(tài)下，其等效電路模型以及非線性電感、漏感和電容參數(shù)影響了功率變換器的仿真精度。尤其在高頻電力電子變換器中，變壓器往往包含多個(gè)繞組，其繞制方法也復(fù)雜多樣，確定多繞組高頻變壓器的等效電路模型及參數(shù)有一定困難。多年來國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)變壓器的精確建模進(jìn)行了研究。T.Vu基于測(cè)量數(shù)據(jù)分析繞組的非線性特性和建模方法[1]。O.Mohammed通過對(duì)雙繞組變壓器實(shí)施電路——有限元的耦合分析提出了變壓器模型[2]。Xianming,Deng和C.Park利用有限元方法（Finite Element Method,FEM）研究變壓器的等效電路參數(shù)，并表明FEM適合分析幾何特性復(fù)雜的變壓器的非線性參數(shù)[3-4]。F.Starr和A.Boyajian研究了多繞組變壓器等效電路的建模，他們的等效模型被稱為星形等效電路[5-6]。星形電路中的元件參數(shù)可由端口測(cè)試結(jié)果確定。星形多繞組變壓器模型通常含有負(fù)電感，負(fù)電感并沒有物理意義。在過去的三十年中，負(fù)電感也一直被認(rèn)為是引起數(shù)值振蕩的原因[7]。事實(shí)上，數(shù)值振蕩問題本質(zhì)上是由于變壓器的勵(lì)磁支路并未正確連接導(dǎo)致的[8]。

在研究電磁瞬態(tài)問題時(shí)，BCTRAN是最常用的多繞組變壓器，電力系統(tǒng)仿真軟件EMTP中包含該模型[9]。該模型在確定參數(shù)時(shí)是基于端口測(cè)量結(jié)果計(jì)算漏磁阻抗的逆矩陣，從而避免矩陣求逆可能導(dǎo)致的病態(tài)矩陣問題。該模型在高頻下具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性，但BCTRAN變壓器模型的缺點(diǎn)在于沒有精確考慮變壓器的幾何形狀，且將表征磁心損耗的電阻只是簡(jiǎn)單地并聯(lián)到最靠近磁心的繞組的勵(lì)磁支路上[10]。

對(duì)偶模型源于電路和磁路之間的對(duì)偶關(guān)系，其本質(zhì)是將回路磁通方程轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)電壓方程，亦即實(shí)現(xiàn)了磁路到電路的轉(zhuǎn)換[11-12]。對(duì)偶模型的拓?fù)漭^復(fù)雜，電路參數(shù)數(shù)量多，很難根據(jù)端口測(cè)量結(jié)果確定電路參數(shù)值，特別是對(duì)于包含大量磁化電感分支的多繞組變壓器。因此，本文考慮利用數(shù)值方法確定電路參數(shù)。

無論是端口模型（可以通過端口測(cè)量結(jié)果反推其參數(shù)的模型，例如星形電路和BCTRAN），還是對(duì)偶模型，研究人員面臨的最大的困難是如何準(zhǔn)確地確定等效電路的參數(shù)。F.de León提出了一種新的用于低頻電磁瞬態(tài)分析的多繞組變壓器對(duì)偶模型[7]。在確定模型的漏感參數(shù)時(shí)，F(xiàn).de León的做法是在傳統(tǒng)的對(duì)偶模型中增加互感和漏感，以此實(shí)現(xiàn)利用端口測(cè)量的信息確定對(duì)偶等效電路模型中的漏感參數(shù)。由于傳統(tǒng)的對(duì)偶模型中的漏感參數(shù)無法與多繞組變壓器短路測(cè)量得到的漏感參數(shù)個(gè)數(shù)相匹配，因此F.de León提出的基于短路測(cè)量結(jié)果計(jì)算互漏感的方法可以解決此問題。然而，對(duì)于繞組采用三明治繞法且跨層的多繞組變壓器，F(xiàn).de León的參數(shù)確定方法不容易實(shí)現(xiàn)。

對(duì)于電路模型中的磁化電感，可以利用端口測(cè)量信息反推，也可利用解析公式計(jì)算，不過兩種方法在磁心非線性程度明顯時(shí)的計(jì)算誤差會(huì)增加[13]，尤其在磁心上開有氣隙時(shí)精度較差。多繞組變壓器對(duì)偶模型的拓?fù)鋸?fù)雜、參數(shù)多，端口測(cè)量信息及解析計(jì)算方法都不能確定模型的參數(shù)，因此本文提出利用有限元方法確定電路參數(shù)。為計(jì)算磁化電感，可在一次繞組端口施加多幅值的電流激勵(lì)，分析不同電流激勵(lì)下變壓器內(nèi)部的磁場(chǎng)分布，確定變壓器磁路中的磁阻與通過的磁通的關(guān)系，磁阻的計(jì)算方法將在第3節(jié)中描述。根據(jù)計(jì)算的磁阻得到非線性磁化電感。為計(jì)算漏感，在所有繞組上施加低幅值激勵(lì)電流，然后基于磁場(chǎng)能量計(jì)算漏感參數(shù)，基于電場(chǎng)的數(shù)值仿真計(jì)算寄生電容參數(shù)。

利用本文提出的模型和參數(shù)確定方法建立用于反激變換器中的四繞組變壓器對(duì)偶模型，并將對(duì)偶電路仿真結(jié)果與多邊形模型仿真結(jié)果進(jìn)行比較[14]。將提出的等效電路模型應(yīng)用于反激變換電路中并進(jìn)行電路仿真，將電路仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。

1 對(duì)偶模型的建立

基于對(duì)偶原理建立的電路模型中的電路元件與變壓器繞組和磁心有對(duì)應(yīng)的物理關(guān)系[12]。在建立對(duì)偶模型時(shí)，首先需要描繪變壓器的集總磁路模型，用集總磁路中的各部分磁阻來表征磁心、繞組和空氣中流過的磁通?；诿枥L的集總磁路，通過方程轉(zhuǎn)換或者繪圖法便可得到電路模型。因此，電路模型中的參數(shù)與物理結(jié)構(gòu)一一對(duì)應(yīng)。

本文以反激變換器中的四繞組變壓器為例，闡述等效電路模型的建立方法。四繞組變壓器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，變壓器選用平面磁心，以實(shí)現(xiàn)緊湊結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和工藝穩(wěn)定性。一次繞組用P48表示，分為四層，采用串聯(lián)連接；二次繞組用S15、S5和Vcc15表示，分別由兩層線圈串聯(lián)連接。表1給出了四繞組變壓器的參數(shù)。磁心選用牌號(hào)為PC90的鐵氧體材料，當(dāng)頻率小于1MHz且溫度在40～280℃范圍時(shí)，該材料具有相對(duì)穩(wěn)定的磁導(dǎo)率和較低的損耗。用于反激變換器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變壓器應(yīng)具有存儲(chǔ)能量的能力，為避免磁心飽和，布置0.5mm的氣隙。繞組印制在印制電路板（Printed Circuit Board,PCB）中，以提高變換器的功率密度。

圖1 四繞組反激變壓器模型與結(jié)構(gòu)Fig.1 Prototype and model of a four-winding fly-back transformer

表1 四繞組變壓器參數(shù)Tab.1 Specifications of the four-winding transformer

多繞組變壓器的磁路拓?fù)淙鐖D2所示。其中，流經(jīng)磁心柱的磁通路徑用Rm表示，流經(jīng)鐵軛的磁通路徑用Rmu和Rmd表示；流經(jīng)氣隙的磁通路徑由Rmair表示；漏磁通路徑由R1～R8表示。由于中間兩層繞組是串聯(lián)連接，可忽略它們之間的漏磁通。由磁路轉(zhuǎn)換為電路時(shí)，在每個(gè)磁阻上設(shè)置電感，并在磁路的每個(gè)網(wǎng)格中設(shè)置節(jié)點(diǎn)[12]，進(jìn)而得到如圖3所示的對(duì)偶電路模型。其中，磁化電感用Lm表示，漏感用L表示。將繞組之間的寄生電容加到相應(yīng)的繞組間。

圖2 多繞組變壓器磁路拓?fù)銯ig.2 Reluctance circuit for the multi-winding transformer

2 模型參數(shù)確定

得到圖3所示的電路模型后，需要確定模型參數(shù)，包括磁化電感、漏感、電容參數(shù)。磁心損耗不是本文研究的重點(diǎn)，故在圖3中并未給出表征磁心損耗的電阻。對(duì)于考慮磁心損耗的情況，將表征磁心損耗的電阻與各磁化電感并聯(lián)即可。考慮利用有限元數(shù)值方法分析平面變壓器的磁場(chǎng)和電場(chǎng)，基于磁場(chǎng)的分布確定圖3中所示的磁化電感和漏感，基于電場(chǎng)分布確定分布電容參數(shù)。

圖3 基于對(duì)偶關(guān)系的電路模型Fig.3 Equivalent electric circuit based on the principle of duality

2.1 磁化電感參數(shù)的確定

由于端口的測(cè)量信息不足以確定多個(gè)磁化電感，因此考慮先確定各個(gè)磁阻值，再轉(zhuǎn)換得到電感值。在確定磁阻參數(shù)時(shí)，可利用有限元數(shù)值計(jì)算的磁場(chǎng)分布結(jié)果計(jì)算磁阻。

建立三維變壓器模型，設(shè)置磁心材料時(shí)選擇溫度為100°C時(shí)的單極磁化曲線。在初級(jí)繞組端口施加電流激勵(lì)。得到的磁場(chǎng)能量密度如圖4所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度如圖5所示。圖4中，變壓器磁心被分成多個(gè)部分，同時(shí)各部分磁阻的磁通積分面如圖5所示。利用各部分磁阻內(nèi)部的磁場(chǎng)能量W和流過磁阻的磁通Φ計(jì)算磁阻值為

圖4 四繞組變壓器內(nèi)部的磁場(chǎng)能量密度Fig.4 Magnetic energy density of the four-winding transformer

圖5 磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布Fig.5 Distribution of the magnetic flux density

在式（1）中，通過對(duì)磁心各部分的能量進(jìn)行積分計(jì)算磁場(chǎng)能量W，通過對(duì)磁心各部分中間橫截面的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行積分近似計(jì)算流經(jīng)磁阻的磁通Φ。

表2所示為激勵(lì)電流等于4A時(shí)磁心各部分磁阻Rmi的磁場(chǎng)能量Wmi。表3所示為在此激勵(lì)下流經(jīng)各部分磁阻的磁通Φmi。此激勵(lì)下各個(gè)磁阻的Rmi值見表4。相應(yīng)的磁化電感Lmi計(jì)算式為

表2 各部分磁阻的能量Tab.2 Energy of each section

表3 積分截面的磁通Tab.3 Flux of the integral surface

表4 多繞組變壓器的磁阻Tab.4 Reluctance of the multi-winding transformer

式中，N為已轉(zhuǎn)換為一次繞組的匝數(shù)，計(jì)算的磁化電感見表5。

表5 額定電流下變壓器的電感Tab.5 Magnetizing inductance of the multi-winding transformer when applying rated current

由于磁心的非線性特性，當(dāng)勵(lì)磁電流變化時(shí)，磁阻的值隨磁通量變化。因此，假如端口施加不同的激勵(lì)電流，就可得到磁阻和磁通之間的非線性關(guān)系。非線性磁阻可以用以磁通為自變量的函數(shù)來表示，然后，經(jīng)過轉(zhuǎn)換可得到以電流為自變量的非線性磁化電感。圖6給出了幾個(gè)典型的非線性電感。非線性電感可由Φ和i之間的關(guān)系表示。本質(zhì)上，本文在確定變壓器等效電路參數(shù)的非線性曲線時(shí)，使用的是“打點(diǎn)法”，即每施加一個(gè)幅值一定的直流電流進(jìn)行靜態(tài)場(chǎng)分析，可得到“非線性曲線上的一個(gè)點(diǎn)”。通過分析多個(gè)幅值下的磁場(chǎng)獲得多個(gè)點(diǎn)，進(jìn)而描述非線性曲線。靜態(tài)場(chǎng)的單點(diǎn)分析可保證較高的精度。

圖6 典型電感的非線性曲線Fig.6 Nonlinear curves for several typical inductances

本文提出的確定參數(shù)的方法沒有在激勵(lì)方式中體現(xiàn)頻率對(duì)模型參數(shù)的影響，但在數(shù)值仿真的材料設(shè)置時(shí)體現(xiàn)了頻率的影響。頻率對(duì)參數(shù)的影響體現(xiàn)在對(duì)磁心和導(dǎo)線的影響。磁心的磁化曲線和損耗曲線都隨著頻率變化，本文在用數(shù)值仿真確定參數(shù)時(shí)，設(shè)置的磁心材料曲線為表6所示的非線性曲線（頻率為100kHz），以提高參數(shù)在高頻時(shí)的準(zhǔn)確性。

表6 磁心磁化曲線的典型數(shù)據(jù)Tab.6 Typical data of magnetization curve of the core

2.2 漏感參數(shù)的確定

對(duì)于傳統(tǒng)的變壓器，漏感通常通過變壓器端口的短路測(cè)試獲得。對(duì)于含有N個(gè)繞組的變壓器，存在N(N-1)/2對(duì)不同的短路情況。對(duì)于四繞組變壓器，通過短路測(cè)試可獲得六個(gè)漏電感，見表7。然而，繞組之間的這六個(gè)漏電感不能直接與圖3中所示的八個(gè)漏感匹配。為了解決這個(gè)問題，可使用耦合電感將測(cè)得的漏電感與對(duì)偶模型中的漏電感匹配[7]。然而，漏感的這種表示方法并不適用于包含跨層繞組結(jié)構(gòu)的變壓器。

表7 短路測(cè)量的繞組間漏感Tab.7 Leakage inductances between windings obtained by short-circuit tests

本文考慮利用數(shù)值計(jì)算確定變壓器模型的漏感參數(shù)。在一次繞組和二次繞組同時(shí)施加激勵(lì)電流，保持一次繞組和二次繞組的磁通勢(shì)相同。設(shè)置一次繞組的勵(lì)磁電流為3A，二次繞組S15、S5和Vcc的勵(lì)磁電流分別為1A、3A和1A。變壓器中的漏磁能量分布如圖7所示，同時(shí)漏磁能量值Wi在表8中給出。由于層間絕緣介質(zhì)的磁阻遠(yuǎn)大于鐵氧體磁心，因此可認(rèn)為磁通勢(shì)全部集中在絕緣介質(zhì)的磁阻上?；诼┐拍芰亢痛磐▌?shì)，可以得到層間的漏電感。將層間漏感Li轉(zhuǎn)換到一次側(cè)，其值見表9。

圖7 漏磁能量分布Fig.7 Distribution of the leakage energy

表8 漏磁部分的能量Tab.8 Energy of each leakage region

表9 層間漏感Tab.9 Leakage inductance between layers

得到磁化電感和層間漏感后，可對(duì)圖3所示的等效電路進(jìn)行電路仿真。對(duì)幾個(gè)繞組的端口分別設(shè)置短路，利用電路仿真可以模擬端口試驗(yàn)，據(jù)此可以得出繞組之間的漏電感。例如，如果對(duì)一次繞組P施加電壓激勵(lì)并使繞組S15短路，同時(shí)保持繞組S5和繞組Vcc斷開，則可以獲得繞組P和繞組S15之間的漏電感。變壓器中有四個(gè)繞組，最終可在繞組之間獲得6個(gè)漏電感，見表10中第三行所示。將變壓器端子上的短路測(cè)試結(jié)果列于表10第二行。比較發(fā)現(xiàn)，模擬和測(cè)試的結(jié)果之間的差異低于7%。通過這種方式，也驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算確定的漏感值的準(zhǔn)確性。

表10 四繞組之間的漏感Tab.10 Leakage inductances between 4 windings

2.3 分布電容參數(shù)的確定

多繞組變壓器的分布電容包括接地磁心和繞組之間的電容、繞組之間的電容及同一繞組各層之間的電容。確定電容參數(shù)時(shí)可用能量法，即根據(jù)變壓器中的電場(chǎng)能量計(jì)算寄生電容參數(shù)。利用三維有限元法仿真分析變壓器內(nèi)部的電場(chǎng)，電場(chǎng)能量分布的情況如圖8所示，進(jìn)而確定四繞組之間分布電容參數(shù)，見表11。

圖8 四繞組變壓器內(nèi)部的電場(chǎng)能量密度Fig.8 Electric energy density of the four-winding transformer

表11 繞組間電容Tab.11 Capacitances between windings

3 模型的驗(yàn)證

3.1 對(duì)偶電路仿真與場(chǎng)路耦合仿真的比較

由于在場(chǎng)路耦合分析時(shí)，變壓器的瞬態(tài)場(chǎng)數(shù)值計(jì)算中不能考慮內(nèi)部的寄生電容，所以為了保持一致性，在利用場(chǎng)路耦合的分析結(jié)果驗(yàn)證電路模型時(shí)，電路仿真并未考慮圖3中的各個(gè)電容分支。利用場(chǎng)路耦合分析的結(jié)果僅可驗(yàn)證對(duì)偶等效電路中電感參數(shù)的準(zhǔn)確性。

仿真時(shí)，變壓器的一次側(cè)由脈沖電壓源（100kHz,15V）供電。圖9所示為場(chǎng)路耦合和對(duì)偶模型得到的輸出波形，匹配良好的前沿波形說明了等效電路中勵(lì)磁電感和漏電感具有較好的精度。

圖9 場(chǎng)路耦合模型和對(duì)偶模型仿真得到的輸出波形Fig.9 Output waveforms obtained by the field-circuit coupled analysis and the duality model simulations

3.2 對(duì)偶電路仿真與多邊形模型仿真的比較

圖10中所示為四繞組變壓器的多邊形模型，利用端口的測(cè)試結(jié)果可確定多邊形模型中的電感值，電容值可直接采用有限元分析得到的分布電容值[15-17]。如圖10中所示，多邊形模型的電感參數(shù)存在負(fù)值，這是由端口結(jié)果反推產(chǎn)生的，沒有物理意義，負(fù)電感在一些情況下會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜電路仿真發(fā)生振蕩。

圖10 四繞組變壓器的多邊形模型Fig.10 Polygon model for the four-winding transformer

在變壓器的一次側(cè)設(shè)置脈沖電壓源（100kHz，15V），比較包含電容的對(duì)偶模型的電路仿真結(jié)果與多邊形模型的仿真結(jié)果。圖11所示為兩種模型的輸出波形，波形的過沖匹配良好。由于漏感和寄生電容是影響過沖的關(guān)鍵參數(shù)[18-19]，因此匹配良好的過沖波形驗(yàn)證了等效電路中的漏感和電容參數(shù)的精度。

圖11 多邊形和對(duì)偶模型仿真得到的輸出波形Fig.11 Output waveforms obtained by the polygon model and the duality model simulations

3.3 對(duì)偶模型在反激變換器中的應(yīng)用

本文搭建了一個(gè)反激變換器以驗(yàn)證對(duì)偶模型的適用性。反激變換器的電路拓?fù)淙鐖D12所示。激勵(lì)源是輸出為48V的直流電源。剩余電流裝置（Residual Current Device,RCD）吸收電路中的電容為1nF，吸收電阻為500?。變換器設(shè)置在非連續(xù)導(dǎo)通模式（Discontinuous Conduotion Mode,DCM）下工作，占空比設(shè)置為0.26。三個(gè)二次繞組的負(fù)載設(shè)置分別為RS5=10?，RS15=19?，RVcc=19?。圖13給出部分試驗(yàn)結(jié)果，包括MOSFET的漏極和源極之間的電壓Vds和一次電流iP。圖14是等效電路拓?fù)涞姆抡娼Y(jié)果，其與測(cè)量結(jié)果的一致性好。

圖12 驗(yàn)證對(duì)偶模型的反激變換電路Fig.12 Circuit prototype of a fly-back converter for verification of the duality model

圖13 DCM狀態(tài)下測(cè)量的電壓VdsFig.13 Measured voltage Vds under DCM

圖14 DCM狀態(tài)下電路仿真得到的電壓VdsFig.14 Simulated voltage Vds under DCM

當(dāng)MOSFET關(guān)斷時(shí)，流過漏感的電流不會(huì)突然改變，電流的變化將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。如測(cè)量和仿真結(jié)果所示，當(dāng)MOSFET關(guān)斷時(shí)，由于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和二次反射電壓，Vds遠(yuǎn)大于48V的輸入電壓。存儲(chǔ)在漏感中的能量將通過RCD吸收電路釋放[20]。圖15比較了MOSFET關(guān)斷時(shí)Vds前沿波形的過沖和振蕩。關(guān)斷MOSFET時(shí)，Vds的過沖和振蕩與漏感和寄生電容參數(shù)密切相關(guān)。因此，比較測(cè)量和仿真得到的Vds的過沖波形，可以驗(yàn)證對(duì)偶變壓器等效電路的有效性。觀察到測(cè)量和模擬結(jié)果在幅度和振蕩周期中匹配得較好，電路仿真波形振蕩時(shí)間比測(cè)量波形略短，其振蕩的階數(shù)比測(cè)量結(jié)果略低。提出的高階等效電路模型及參數(shù)確定方法在分析高頻問題時(shí)可保證較好的準(zhǔn)確性。

圖15 測(cè)量結(jié)果和仿真結(jié)果的比較Fig.15 Comparison of measured and simulated waveforms

此外，在MOSFET導(dǎo)通之前，二次電流已降至零，Vds大于輸入電壓。它使MOSFET的結(jié)電容和磁化電感產(chǎn)生共振。從圖13和圖14中可以看出，在MOSFET導(dǎo)通之前Vds波形在衰減系數(shù)和頻率方面略有不同。這是因?yàn)槲茨芫_地估計(jì)MOSFET的漏極-源極電容和引線電感。

4 結(jié)論

本文提出了應(yīng)用于功率變換器中的多繞組且含跨層繞組結(jié)構(gòu)時(shí)高頻變壓器的等效電路模型，并提出了利用有限元場(chǎng)分布結(jié)果確定非線性電感、漏感及電容參數(shù)的方法。提出的方法很好地解決了跨層繞組的參數(shù)確定問題。通過與多邊形模型仿真及試驗(yàn)分析結(jié)果的比較驗(yàn)證了多繞組高頻變壓器等效電路的準(zhǔn)確性。本文為對(duì)偶模型在多繞組高頻變壓器的應(yīng)用提供了方法基礎(chǔ)。