王春暉，孫朝陽，郭祥如，魏云燦，蔡 旺

1) 北京科技大學機械工程學院,北京 100083 2) 北京科技大學金屬輕量化成形制造北京市重點實驗室,北京 100083 3) 北京科技大學順德研究生院,佛山 528000 4) 天津理工大學天津市先進機電系統(tǒng)設計與智能控制重點實驗室,天津 300384

隨著以傳感器和激勵器為代表的微機械微電子元器件的廣泛應用和發(fā)展，亞微米尺度晶體材料表現(xiàn)出明顯區(qū)別于宏觀尺度材料的力學行為[1?2]，如尺寸效應[3?5]、時空不連續(xù)性[6?7]以及應變率敏感性[8?9].為了評估并預測亞微米尺度晶體元器件在加工和服役中的性能，需要搭建起反常力學響應與微結構演化的橋梁，分析其在不同加載方式和應變率下的力學響應和位錯機制.

實驗研究表明，單向壓縮的亞微米尺度單晶在不同加載方式下呈現(xiàn)顯著的時空不連續(xù)性：在力加載時，應力?應變曲線呈現(xiàn)臺階狀；在位移加載時，應力?應變曲線呈現(xiàn)鋸齒狀.離散位錯則以類似“雪崩”的方式貢獻塑性應變，在晶體表面形成很多滑移帶和滑移線[10?11].Papanikolaou 等[12]和Maa?等[13]通過實驗發(fā)現(xiàn)了非常規(guī)的準周期性雪崩式應變爆發(fā).Csikor 等[14]通過三維位錯動力學（Three-dimensional discrete dislocation dynamics,3D?DDD）模擬和相應變形行為的統(tǒng)計分析，確定了位錯雪崩過程中應變變化的分布，并建立了其對微晶尺寸的依賴關系.上述研究揭示了發(fā)生應變突增或者應力陡降的內(nèi)在原因，并基于模型和理論表征其規(guī)律性，然而未分析加載方式對間歇性行為的影響.Cui 等[15?16]在3D?DDD 模擬中通過調(diào)整外部加載方式，發(fā)現(xiàn)單晶銅微柱的力學行為從力控制下的應變爆發(fā)轉(zhuǎn)變到位移控制下的準周期振蕩.上述工作尚未分析不同加載方式下力學特征轉(zhuǎn)變的位錯機理.

在類似碰撞和沖擊的高應變率服役環(huán)境中，亞微米單晶銅應變率相關的位錯基動態(tài)變形機制已成為重要的研究方向[17?18].Jennings 等[19]通過實驗研究納米單晶銅在不同應變率下的拉伸和壓縮行為，發(fā)現(xiàn)了流動應力的應變率敏感性隨著晶體尺寸的減小和應變率的上升出現(xiàn)轉(zhuǎn)變，其原理被認為是位錯機制從單臂位錯源增殖變化到表面形核.Zheng 等[20]在傳統(tǒng)二維離散位錯動力學（Twodimensional discrete dislocation dynamics,2D?DDD）模型中引入熱激活位錯逃逸機制，分析了應力松弛和蠕變過程中鈦合金的應變率敏感性行為.然而，上述研究僅僅聚焦納米尺度晶體和低應變率下變形行為.郭祥如等[21]基于3D?DDD 分析單晶鎳壓縮變形過程中流動應力和變形機制的應變率效應，揭示了更高應變率下有效應力代替位錯源激活應力成為流動應力的主要部分這一機理.Agnihotri 與Van der Giessen [22]的多晶銅拉伸變形的工作也表達相同的觀點，但是沒有基于理論解析的具體量化分析.

傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)力學理論缺乏材料的內(nèi)稟長度參數(shù)，無法描述亞微米尺度位錯形核、運動、湮滅等一系列演化反應[23]，為了簡化計算模型，提高處理晶體材料的計算效率，本文主要采用2D?DDD 模型來研究單晶銅不同加載方式和應變率的塑性流動問題.通過與微壓縮的位移加載實驗結果對照，驗證了模型的可行性.在此基礎上，將加載方式與位錯演化聯(lián)系起來，解釋了不同加載方式對應的特征應力?應變曲線，揭示了高應變率對單晶銅位錯演化和屈服應力的影響，確定了應變率敏感性行為轉(zhuǎn)變機制.

1 單晶銅二維離散位錯動力學模型

1.1 二維離散位錯動力學框架

離散位錯動力學是以晶體材料彈性連續(xù)介質(zhì)中線缺陷-位錯為研究對象，通過對滑移系中大量位錯的集群運動和相互反應的顯式表達，描述塑性變形特征的微尺度力學建模方法.2D?DDD 模型，如圖1（a），忽略三維位錯交割和螺位錯交滑移等交互作用機制，將三維位錯線投影到二維平面上，簡化為平面模型中一個伏爾特拉（Volterra）奇異點，通過關注刃型位錯點的受力、運動和演化，研究微尺度晶體塑性變形行為.

圖1 位錯的二維簡化及其應力場.（a）位錯線在二維平面的投影示意圖；（b）水平方向和（c）傾斜45°方向正刃型位錯剪切應力場Fig.1 Two dimensional simplification of and stress field of dislocation:(a) planar representation of the dislocation line on a 2D plane;stress field (σxy)around a positive edge dislocation in the (b) horizontal direction and (c) tilt direction with an angle of 45°

晶體中位錯受到的應力來源主要是外部作用和模擬區(qū)域內(nèi)位錯間的相互作用.根據(jù)施密特（Schmid）定律，計算外部載荷在滑移系上對位錯的分解剪切應力[24]，位錯間的相互作用是通過位錯彈性應力場起作用，2D?DDD 中刃型位錯在無限大介質(zhì)中的應力場公式如下[25?26]：

其中，σxx,σyy,σxy分別是位錯在x方向、y方向的正應力以及剪切應力，Pa；ν是泊松比，量綱為一；（x,y）是模擬區(qū)域任意點相對位錯的位置，（m，m）；G和b分別為晶體材料的剪切模量(Pa)和位錯的伯格斯（Burgers）矢量的模，m.由于位錯間的相互作用的計算基于水平且平行的兩滑移面，在傾轉(zhuǎn)滑移系下應力場的計算需要考慮坐標系x?y和滑移坐標系x′?y′兩個系統(tǒng)應力張量的變換，具體公式如下[26]：

其中，σ為坐標系x?y下的應力張量，σ′為滑移坐標系x′?y′下的應力張量，R(α)為產(chǎn)生應力場的位錯所在滑移系α的坐標旋轉(zhuǎn)矩陣：

其中，φα是滑移系α中x′方向相對x方向的傾斜角度，（°）；應力場旋轉(zhuǎn)結果如圖1（b）和圖1（c）所示.圖中，n代表位錯環(huán)所在滑移面的單位法向，b表示位錯的Burgers 矢量.

由于位錯與邊界以及位錯之間強相互作用，位錯結構熱力學不平衡態(tài)驅(qū)動位錯沿滑移系運動并重新分布，基于最小勢能原理，位錯運動的熱力學構型力，即位錯皮奇?凱勒（Peach?Koehler）力為：

其中，ni表示位錯i所在滑移面單位法向，bi表示位錯i的Burgers 矢量，σapp表示外部作用應力張量，求和項表示所有N個位錯j對位錯i的長程作用應力張量.

當施加在位錯上的驅(qū)動力大于阻礙力時，位錯開始運動，主要包括滑移和攀移.位錯滑移是連續(xù)彈性介質(zhì)場中位錯沿晶體特定滑移系運動的保守運動，而位錯攀移是在垂直滑移面通過吸收和釋放點缺陷實現(xiàn)位錯擴散運動的非保守運動[27].通常在非高溫變形環(huán)境下，位錯運動形式以滑移為主.在Peach?Koehler 力作用下，考慮到位錯運動處于過阻尼狀態(tài)，每個位錯段的速度由作用在其上的總力和黏滯阻尼系數(shù)決定，即位錯i的滑移速度表示為[24,28]：

其中，vi是位錯i的滑移速度，m·s?1；B為位錯滑移的黏性阻尼系數(shù)，N·s·m?1；fi為作用在位錯i上的Peach?Koehler 力.vˉ是位錯平均速度，m·s?1；vs為剪切波速，m·s?1.當位錯運動速度較低時，采用靜態(tài)黏性阻尼系數(shù)B0，N·s·m?1.

經(jīng)歷劇烈塑性變形后的金屬晶體，其位錯密度可增加4～5 個數(shù)量級，說明晶體在塑性變形過程中必然發(fā)生著位錯增殖.其中，弗蘭克?瑞德（Frank?Read）位錯源形核是內(nèi)部位錯增殖的一種主要方式.2D?DDD 方法將位錯源簡化和近似成滑移面上一點，當作用在點源上的分切應力τ大于臨界形核強度τnuc并保持臨界發(fā)育時間tnuc后，一對帶有異號Burgers 矢量位錯偶極子形核在位錯源點兩側，其分布極性與分切應力方向?qū)?為使位錯源開動，作用在位錯源的分解切應力需克服位錯線彎曲時的線張力.根據(jù)奧羅萬（Orowan）應力判據(jù)[21]，位錯源靜態(tài)平衡破壞需要的臨界切應力為：

其中，β為一個量化參數(shù)，對Frank?Read 源，β≈1，l0為位錯源初始長度，m；與晶體尺寸有關.l0滿足一個均值和標準差Δl0的高斯分布，以確保位錯源強度在一定范圍內(nèi)變動.

位錯臨界形核時間為[22,29]：

其中，η1是描述位錯從半橢圓到完全位錯環(huán)的增強因子，η2為與黏性阻尼系數(shù)B有關的常數(shù)，Pa·s.

一對偶極子的臨界形核距離Lnuc由臨界形核應力確定[25]，從而確保當一對位錯偶極子產(chǎn)生，作用偶極子上外部分解切應力正好與偶極子之的間互相吸引應力平衡：

當同一滑移面中一對異號位錯互相吸引并靠近會發(fā)生湮滅，在2D?DDD 模型中，設置當正負位錯相互距離小于臨界距離Lanni，位錯發(fā)生湮滅.Lanni是材料相關參數(shù)，m；在計算中一般取Lanni=6b[30].

1.2 離散位錯動力學模型的數(shù)值實現(xiàn)

本研究中離散位錯動力學模型計算流程如圖2 所示，采用前向歐拉積分算法以時間增量步的方式進行.在每個增量步中，需要的計算主要是：①確定當前位錯的構型、應力和應變狀態(tài)；②根據(jù)位錯所處應力狀態(tài)計算位錯運動Peach?Koehler 力；③根據(jù)式（7）～（11）的本構法則處理位錯運動、Frank?Read 源形核、異號湮滅等短程位錯構型的變化.為了提高計算效率，節(jié)約計算成本，根據(jù)應變率和計算總應變確定固定時間步增量.同時，為了考慮實際情況位錯不會超過前面位錯的特點，計算中需要對相鄰位錯判斷，若當前時間步內(nèi)發(fā)生位錯越過現(xiàn)象則需要對位錯速度進行修正.本文主程序基于Matlab 平臺編寫，使用C 語言編寫的mex 子程序計算位錯間相互作用.

圖2 2D?DDD 模型的模擬流程Fig.2 Flow chart of the 2D?DDD model

小應變假設下的2D?DDD 模型，忽略了試樣有限變形誘導晶格轉(zhuǎn)動和形狀改變對滑移動量平衡的影響，因此計算過程中應變一般不超過0.01.總塑性應變率是所有滑移系位錯運動的貢獻之和：

其中，ρ(α)為滑移系α上位錯密度，m?2；vˉ(α)為滑移系α上位錯平均速度，m·s?1.

1.3 單晶銅塑性變形過程2D?DDD 模型的建立

為了分析不同加載方式和應變率對位錯運動的影響，并且驗證2D?DDD 模型的準確性，本文以崔一南建立的3D?DDD 模型[15?16]為參照，并與之進行對比并建立2D?DDD 模型.初始化設置主要包含材料參數(shù)和模型計算參數(shù)初始化，以及幾何構型初始化兩個部分.本研究對象單晶銅具體的模擬參數(shù)如表1 所示.幾何構型初始化主要是確定模擬區(qū)域的尺寸、滑移面取向與排列、位錯源的位置分布以及邊界條件等方面.

表1 單晶銅2D?DDD 模擬參數(shù)Table 1 Model parameters used in the 2D?DDD model for single crystal copper

如圖3 所示，模擬區(qū)域晶體尺寸為1 μm×3 μm.單晶銅是面心立方（Face?centred cubic,FCC）材料，模擬系統(tǒng)的x軸和y軸分別沿著和[001]方向[31]，考慮到平面應變狀態(tài)的3 種主動滑移系的相對夾角近似為{0°,±60°}，由于0°取向的滑移系的Schmid 因子為0，因此忽略0°滑移系，選取的滑移方向分別與x軸成±60°，滑移面間距設定為150b.模擬平面內(nèi)無初始位錯，位錯源隨機分布在滑移系上，為保證多滑移系變形均勻，兩個滑移系上的位錯源數(shù)目設置相當.對于單晶微柱試樣，模擬區(qū)域的左右邊界視作不可逾越的障礙.為了避免數(shù)值計算的復雜性，參考通用的模型簡化方法和實驗微柱壓縮形態(tài)[31?32]，與左右約束端相交的滑移面在模型中沒有考慮，而上下邊界對應為微柱的自由表面，位錯運動到上下邊界不僅要計算位錯所受鏡像應力還要考慮位錯的湮滅.

圖3 單晶銅晶體學取向及計算模型.（a）FCC 晶體滑移系取向；（b）壓縮載荷下2D-DDD 計算模型Fig.3 Crystallographic orientation and calculation model of single crystal copper:(a) slip system orientation for the FCC crystal;(b) the 2D?DDD model under compression

初始化完成后，沿著[001]方向進行壓縮加載，以實現(xiàn)多滑移條件.為對比不同加載方式的作用效果，分別采用位移加載和力加載方式.位移控制加載時選擇恒定應變率為1000 s?1，根據(jù)胡克定律可將其轉(zhuǎn)變?yōu)橥饬υ鲩L率 σ˙app：

其中，E*為二維模型在平面應變條件下的/楊(氏模)量，Pa；考慮到平面應變的情況，E?=E1?ν2，E為一般楊氏模量，Pa；為加載應變率，s?1；是塑性應變率，s?1.

力控制加載時，設定力增加率為一個恒定值，對應式（14）位移控制加載方式，初始塑性應變率為0.在離散位錯動力學模擬中，Rao 等[33]提出了一種利用截斷塑性應變率控制力加載的方式，將其與材料內(nèi)部位錯的運動聯(lián)系起來.即對位錯的運動設置一個塑性應變率閾值，當位錯運動引起的塑性應變率低于該閾值時，以恒定應力速率加載，反之，外加作用應力不再增加，即力增加率為0.這種方式需要確定臨界塑性應變率和應力增量的大小，可能會影響位錯雪崩的大小.本文中利用加權位錯速度的方式[15?16]來控制應力的加載，與塑性應變率控制類似，存在一個加權位錯速度閾值vth，當加權位錯速度vw低于該臨界值時，力加載正常進行.反之，當位錯爆發(fā)式運動，加權位錯速度vw高于該臨界值時，應力保持恒定不變.位錯速度閾值vth和加權位錯速度vw的計算公式如下：

其中，ρ0為初始位錯密度，m?2；這里采用位錯源密度表示，li表示位錯段i的長度，m；vi表示位錯段i的速度，m·s?1.在2D?DDD 模型中，每個位錯均是等效的無限長，加權位錯速度vw即是平均位錯速度，m·s?1.

2 模型驗證

基于不同加載方式的單晶銅2D?DDD 模型計算得出力控制和位移控制加載的力學曲線，如圖4所示.兩種加載方式下，單晶銅的最高應力水平均在100～120 MPa 范圍內(nèi)，初始塑性變形應力在90 MPa左右，近似與Frank?Read 位錯源形核應力的均值（99 MPa）對應，說明此時位錯開始以位錯源激活的方式增殖并貢獻塑性應變.在經(jīng)歷一段純彈性變形行為后，塑性階段流動響應都呈現(xiàn)很強的不連續(xù)性，并且這種不連續(xù)的應力?應變曲線的形狀不同：位移加載時，應力?應變曲線呈現(xiàn)準周期的鋸齒狀；力加載時，應力?應變曲線呈現(xiàn)應力單調(diào)增加的臺階狀.這些不連續(xù)性的力學特征反映為微觀的位錯劇烈演化，隨著位錯增殖或運動顯著，真實的塑性應變呈現(xiàn)爆發(fā)式增長.

這種現(xiàn)象已經(jīng)在很多微拉壓實驗和模擬中被發(fā)現(xiàn)[34?35]，通過與Cui 等[16]3D?DDD 模型中力加載和實驗[36]中位移加載穩(wěn)定流動應力范圍的對比，模型預測在誤差允許范圍內(nèi)吻合良好，定量化地驗證本模型的可靠性.本工作將應變率為103s?1時2D?DDD 的預測結果與實驗的準靜態(tài)壓縮結果相對比，遠遠高于實驗中采用的應變率，因為在離散位錯動力學中，應變率小于103s?1時均可認為準靜態(tài)條件，應變率可以在一個很寬范圍并且計算結果不再受應變率的影響[21].由于單晶銅單軸壓縮實驗的微柱尺寸（800 nm）和3D?DDD 模型尺寸（3000b）小于本模擬尺寸參數(shù)，而且2D?DDD 模擬忽略了位錯攀移和交滑移等三維機制對塑性變形的影響，因此可能導致模擬結果相較于實驗和其他模擬流動應力偏小.

3 結果和討論

3.1 加載方式對單晶銅力學行為的影響

為了對比兩種加載方式下單晶銅應力?應變曲線形狀的差異及解釋其內(nèi)在機理，以上述加載條件為例，單獨研究發(fā)生一次位錯雪崩的情況，如圖5 所示.在力和位移控制加載下，發(fā)生一次位錯雪崩事件時力學響應呈現(xiàn)不同的形式，前者為應變的陡增，后者為應力的陡降.具體表現(xiàn)為，一次位錯雪崩時，力加載時的應變陡增，對應的應變增量為0.02%，而應力在此時幾乎無變化；位移加載時的應力突降，對應的應力增量為12.89 MPa，而應變在此時幾乎無變化.

圖5 不同加載方式下發(fā)生一次位錯爆發(fā)的應力-應變曲線Fig.5 Stress-strain curves of dislocation avalanches under different loading modes

力加載時，圖6（a）對比加權位錯速度和應力隨應變的變化曲線，可以看出，應力?應變曲線發(fā)生應變突增時，加權位錯速度與位錯速度閾值相等.由于外加力的增長是通過加權位錯速度來調(diào)節(jié)，當加權位錯速度超過位錯速度閾值時，恒定速率上升的外加應力停止增加，此時相當于保載條件下位錯弛豫過程，位錯依靠自組織演化，根據(jù)公式（13），持續(xù)貢獻塑性應變，速度抖動地下降；當加權位錯速度低于位錯速度閾值時，外加應力率大于0，應力繼續(xù)增加，直至加權位錯速度再次達到位錯速度閾值，以上過程重復.因此，在一個完整的位錯雪崩階段，外加應力保持穩(wěn)定，而塑性應變持續(xù)增加，應力應變響應表現(xiàn)為臺階狀，就出現(xiàn)了應變增量大而應力增量幾乎為0 的現(xiàn)象.

位移加載時，通過對比塑性應變率變化曲線以及應力?應變曲線，如圖6（b），每次應力陡降的發(fā)生都出現(xiàn)在塑性應變率等于外加應變率的時候.根據(jù)載荷施加公式（14），塑性應變率較小且低于加載應變率時，外加應力速率大于零，應力持續(xù)增加，晶體內(nèi)位錯和位錯源受力逐漸增大.在滿足臨界形核強度并保持臨界發(fā)育時間后，位錯源激活驅(qū)動位錯增殖，位錯密度逐漸增大，塑性應變率隨之上升；當塑性應變率高于加載應變率，應力增長率小于零，外加應力下降，位錯源的受力不足以繼續(xù)增殖位錯，塑性應變率隨之下降.直至塑性應變率再次低于應變率加載率，以上過程重復.因此，位錯源激活誘發(fā)位錯雪崩發(fā)生時，通過降低外加應力的大小以匹配塑性應變率和加載應變率，就出現(xiàn)了應力增量變化大的現(xiàn)象.

圖6 （a）力控制加載下應力和加權位錯速度隨應變演化；（b）位移控制加載下應力和應變率隨應變演化Fig.6 (a) Evolution of stress and weighted dislocation velocity with strain under stress-controlled mode and (b) evolution of stress and strain rate with strain under strain-controlled mode

對于應力控制的外部載荷，位錯運動相對速度閾值調(diào)控外加載荷的增加和停止，因此位錯雪崩效應歸結于位錯速度的隨機性；而當外部約束為位移控制時，由于位錯源對形核強度和形核時間的要求，各個位錯源的開動表現(xiàn)為間歇性，位錯雪崩由位錯源交替的開動和停滯主導.

3.2 應變率對單晶銅力學行為的影響

當位移加載時，應變率的大小會影響材料的屈服應力.本文利用2D?DDD 模擬，研究不同應變率下位錯演化對單晶銅塑性變形的影響.圖7（a）為4 種不同應變率（102、103、104和4×104s?1）的應力?應變曲線，由于模型初始無位錯的設置，所以不同應變率下都經(jīng)歷一個完整重復的彈性階段.將0.1%塑性應變處設置為初始屈服點[22]，提取各應變率下的屈服應力，如圖7（b）所示，屈服應力隨應變率的增大而增大，呈現(xiàn)典型的正應變率敏感性行為.然而高應變率（104和4×104s?1）的屈服強度與其他應變率相比具有明顯的差別.一些文獻[22,37]也反映了相似的力學行為，屈服強度的應變率關聯(lián)性被分成兩個作用域，在應變率低于103s?1的第一作用域，屈服強度隨著應變率保持著相對穩(wěn)定，而在更高應變率范圍的第二作用域，屈服強度隨應變率顯著提高.這兩個作用域機制一般被解釋為：在較低應變率下位錯以熱激活方式越過障礙，轉(zhuǎn)變?yōu)楦邞兟氏碌奈诲e阻尼運動.然而，這些理論一般適用于討論宏觀塊體或者介觀多晶等晶體內(nèi)位錯密度較高的情況[8,22,37].為了分析不同應變率下微米單晶力學行為轉(zhuǎn)變的位錯機理，基于上述的模擬結果并通過解析方法進行定量分析.

圖7 不同應變率下的（a）應力?應變曲線；（b）屈服應力；（c）位錯密度?應變曲線；（d）組成應力Fig.7 Effect of strain rate on the evolution of：(a) stress vs strain;(b) yield stress;(c) dislocation density vs strain;(d) stress composition

圖7（c）展示的是不同應變率下位錯密度隨應變演化曲線，整個應變率范圍單晶銅屈服時的位錯密度都沒有超過1013m?2，由位錯密度增加的滯后性可以看出，當滑移系上分解切應力達到位錯源激活強度并經(jīng)歷一定形核時間后，位錯增殖才會開始發(fā)生.在低于103s?1的應變率范圍內(nèi)，位錯密度隨著應變率增加而增加；而在更高應變率下，位錯密度隨應變率的增加而降低，且其演化的波動性增大.考慮應變率對位錯增殖和位錯運動的作用，位錯滑移貢獻的塑性滑移被量化為每個滑移系上分解剪切應變的總和，不同應變率下的滑移量分布如圖8 所示.隨著應變率的上升，屈服時單晶銅更多的滑移面被激活，塑性應變在各個滑移面分布越來越均勻，說明單一滑移面上位錯源形核時間的限制促使其他滑移面位錯源的開啟，應變率的增加對位錯增殖具有顯著的促進作用.在103s?1應變率以后的滑移面開啟量趨于飽和，此時位錯增殖速率不再明顯增加，而高應變率下外加作用力增加，位錯滑移速度加快導致滑出自由邊界更加容易，晶體內(nèi)位錯密度降低，并且間歇的增殖和快速的滑出湮滅也會導致位錯密度演化的波動性增大.類似于單晶微柱變形出現(xiàn)尺寸效應的“位錯匱乏”機制，即使多數(shù)滑移面的位錯源開啟，也不能滿足施加的應變率.

圖8 不同應變率下塑性滑移量分布.（a）102 s?1；（b）103 s?1；（c）104 s?1；（d）4×104 s?1Fig.8 Plastic slip distribution resulting from the strain rates at:(a) 102 s?1;(b) 103 s?1;(c) 104 s?1;(d) 4×104 s?1

本文進一步分析了屈服時位錯流動應力的組成，以確定不同應變率下單晶銅力學行為.單晶銅流動應力τ等于位錯運動的熱應力τth和非熱應力τa之和[38]：

其中，τth是施加在位錯上的熱應力項，Pa，控制位錯的熱激活行為，使位錯借助自身的能量起伏，越過包括派爾斯（Peierls）障礙等能壘的過程；τa是作用在位錯上的非熱應力項，Pa，它的來源是位錯間的長程彈性相互作用力和位錯源形核相關應力.對于面心立方晶體，在正常溫度和應變率條件下，熱應力項τth來源主要是Peierls 障礙，大約為0.5 MPa，位錯很容易克服該障礙.因此，熱應力項τth的影響可以被忽略，流動應力τ主要由非熱應力項τa提供.根據(jù)泰勒（Taylor）硬化法則和公式（9），非熱應力項τa可以表示為[39-40]：

其中，第一項為位錯密度相關的相互作用力，k為量綱一常數(shù)，一般取值為0.5；ρ是位錯密度，m?2；第二項為基于Orowan 應力判據(jù)的位錯源激活應力；第三項是位錯增殖應力，與位錯形核時間相關，是加載應變率，m·s?1；m為Schmid 因子.對于位錯增殖應力項[22]，一旦外加應力滿足第二項的位錯源形核強度，被激活的位錯源需要一段形核時間tnuc去產(chǎn)生一對偶極子才能完成一個完整的位錯增殖過程.在此時間間隔內(nèi)，彈性應變增加，因而貢獻了流動應力的上升.

基于解析表達式（18）和位錯密度參數(shù)，不同應變率下單晶銅屈服應力組成如圖7（d）所示.解析表達式計算得到的屈服應力與圖7（b）中2D?DDD 模擬的結果吻合較好.其中，102～104s?1應變率下模擬屈服應力略低于解析計算值，這是因為解析表達式的位錯源激活應力以初始位錯源長度均值500 nm 計算的，為保證各滑移面上位錯源不會同時激活，位錯源長度滿足一個高斯分布，因而初始激活的位錯源強度一定小于均值99.33 MPa.

值得注意的是，在4×104s?1應變率時，模擬屈服應力反而略高于解析計算值，這里歸因于位錯阻尼運動受力，通過兩種方法計算4×104s?1應變率時屈服應力的差值估計，位錯運動阻尼力稍大于18.27 MPa，表明阻尼作用并不是高應變率屈服應力的主導機制.阻尼力來自位錯與晶格熱振動之間的相互作用，可表示為：.其中，γ˙為剪應變率，s?1.可見，在具有一定位錯密度的晶體內(nèi)，隨著位錯運動速度增加，電子和聲子對位錯運動的阻力也會隨之增大.然而，加載應變率越高，小尺寸試樣中的位錯越容易在滑移時從自由表面逃逸，并且位錯逃逸的速度會超出位錯增殖的速度，晶體尺寸效應開始顯著[7]，由圖7（c）可知，高應變率下的位錯密度大大降低.此時，阻尼力計算值趨向于無窮大，與位錯運動相關的阻尼力公式無法合理表達流動應力貢獻.

應變率從102s?1到4×104s?1，位錯源激活應力在屈服應力中占比逐漸減小，位錯增殖應力逐漸增大，說明屈服應力的應變率敏感性機制從位錯源激活轉(zhuǎn)變?yōu)槲诲e增殖.低應變率下位錯通過更多的滑移面位錯源激活來貢獻塑性應變，位錯源激活應力只與位錯源初始長度有關，與應變率無關，所以隨著應變率增加，屈服強度保持相對穩(wěn)定.在較高的應變率下，有限的內(nèi)部源無法產(chǎn)生足夠的塑性來抵抗外部加載的增加，位錯增殖成為屈服應力增加的主要因素，位錯增殖應力與應變率密切相關，因而隨著應變率增加，屈服強度顯著增加.三維模擬也說明相似的現(xiàn)象，反過來，這些內(nèi)部位錯源可能由于應力的增加而被破壞，位錯增殖機制會從內(nèi)部Frank?Read 位錯源轉(zhuǎn)變?yōu)楸砻嫘魏薣18].

4 結論

（1）本文基于二維離散位錯動力學理論建立的單晶銅亞微米柱壓縮模型，通過引入截斷位錯速度準則描述力控制下的位錯雪崩，模擬得出應力?應變曲線在位移加載時呈現(xiàn)準周期的鋸齒狀，力加載時時呈現(xiàn)應力單調(diào)增加的臺階狀，模擬結果與微壓縮實驗結果相吻合，驗證了模型在預測單晶銅位錯基塑性變形行為方面的可靠性.

（2）力控制和位移控制的加載方式，不連續(xù)性行為表現(xiàn)為應變突增的臺階狀應力?應變曲線和應力陡降的鋸齒狀應力?應變曲線，由于兩者分別通過加權位錯速度和塑性應變率調(diào)控外加載荷的大小，位錯雪崩效應的內(nèi)在機制歸結為位錯速度的隨機性和位錯源開動的間歇性.

（3）應變率在102～4×104s?1的范圍內(nèi)，單晶銅的屈服應力表現(xiàn)為正應變率敏感性，且應變率敏感性機制發(fā)生改變.通過對比位錯滑移塑性滑移量分布、建立流動應力不同機制解析表達，結果表明在高應變率時，位錯演化特征為多滑移面激活均勻變形，應變率相關的位錯增殖機制代替位錯源激活主導塑性屈服.