梅俊，李園園，楊占英，夏丹( 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074; 華中師范大學(xué) 人工智能教育學(xué)院，武漢 430079)

近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題的研究引起了廣泛關(guān)注.同步包括有限時間同步[1]、指數(shù)同步[2]和漸近同步[3]等.其中，有限時間同步由于其快速收斂性在實際中有重要的應(yīng)用.然而，在一些有限時間同步的研究中[4-7]，其系統(tǒng)的控制器是連續(xù)的，需要控制器持續(xù)工作，這就意味著成本會大大增加.

間歇控制方法作為經(jīng)濟實用的策略之一，能夠節(jié)約大量成本[8].該控制方法將工作時間分為兩部分:非零區(qū)間和其他區(qū)間，在非零區(qū)間工作，在其他區(qū)間關(guān)閉.為了更好地提高經(jīng)濟效益，牽制控制是一個很好的選擇，因為只需控制部分節(jié)點.所以，間歇牽制控制一方面可以使系統(tǒng)更加簡單實用，另一方面可以節(jié)約成本.另外，對信號進(jìn)行量化可以減輕信道阻塞，加快通信效率[9].據(jù)作者所知，對于耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的間歇牽制量化的研究目前尚未見報道，所以研究基于間歇牽制量化控制的耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步具有重要的理論價值和實際意義.

1 模型描述與準(zhǔn)備知識

考慮具有N個相同節(jié)點的耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，其節(jié)點動態(tài)方程描述如下:

(1)

其中N={1,2,…，N},xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…，xin(t))T∈n表示第i個節(jié)點的狀態(tài)向量，g(·):n→n為連續(xù)函數(shù)，A∈n×n是常值矩陣，Φ=(φij)N×N表示網(wǎng)絡(luò)的外部耦合矩陣，滿足對于i≠j有φij≥0,且是內(nèi)部耦合矩陣，c>0為網(wǎng)絡(luò)的耦合強度，設(shè)節(jié)點狀態(tài)xi(t)的初值是xi(0),i∈N·

稱方程(1)為驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)方程描述如下:

(2)

其中yi(t)=(yi1(t),yi2(t),…，yin(t))T∈n,ui(t)表示響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)第i個節(jié)點的控制輸入，其他參數(shù)與網(wǎng)絡(luò)(1)中相應(yīng)的參數(shù)表示相同，其初值為yi(0),i∈N·

定義(1)與(2)的誤差系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

(3)

其中zi(t)=yi(t)-xi(t),f(zi(t))=g(yi(t))-

g(xi(t))·

因此，將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)和(2)的同步問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定性問題·

定義1 若存在一個常數(shù)t*>0使得：

并且對于任意t>t*都有‖yi(t)-xi(t)‖2≡0,若V(t)是徑向無界的，則稱耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)與(2)可以實現(xiàn)全局的有限時間同步·

假設(shè)1 函數(shù)g(x)滿足Lipschitz條件，即存在一個常數(shù)d≥0使得：

‖g(y(t))-g(x(t))‖≤d‖y(t)-x(t)‖,

?x(t),y(t)∈Rn·

下面給出4個必要的引理·

引理1[10]令η1,η2,…，ηN≥0,0<α≤1,β>1，則如下不等式成立:

引理3[12]對于一個給定的實矩陣:

(i)S<0;

引理4[13-14]假設(shè)存在一個正定函數(shù)V(t),當(dāng)t∈[0,+∞]時，滿足以下條件:

其中，α,β>0,T>0,l∈,0<η<1,0<θ<1,則如下不等式成立:

V1-η(t)≤(V(0))1-ηe(1-η)β(1-θ)t-αθ(1-η)t,0≤t≤t*,

或者t*=T2,

2 主要結(jié)果

設(shè)計如下間歇牽制量化控制器:

(4)

其中l(wèi)i>0為控制增益，ξ>0為協(xié)調(diào)常數(shù)，0<μ<1,T>0是控制周期，l=0,1,2,…,∞,0<θ≤1是控制比率，[φ(zi(t))]μ=([φ(zi1(t))]μ,[φ(zi2(t))]μ,…，[φ(zin(t))]μ)T,其中φ(·)∶→Ω是量化器，其中Ω={±ωi∶ωi=ρiω0,i=0,±1,±2,…}∪{0},ω0>0,對于任意τ∈R,量化器φ(τ)構(gòu)造如下:

誤差系統(tǒng)的簡寫形式如下:

(5)

[φ(z(t))]μ=(([φ(z1(t))]μ)T,([φ(z2(t))]μ)T,…，([φ(zN(t))]μ)T)T,A=IN?A,Φ=Φ?Γ,L=diag(l1,l2,…,lm,0,0,…,0)?In,Λ(t)=diag(Λ1(t),Λ2(t),…,ΛN(t)),Λi(t)=diag(Λi1(t),Λi2(t),…,Λin(t)),Λij(t)是Filippov解，其中Λij∈[-δ,δ),i=1,2,…,N,j=1,2,…,n.

定理1 若假設(shè)1成立,ξ,β>0,給定控制增益L，如果存在正定對角矩陣P、正常數(shù)ε和ζ使得下列條件成立:

(6)

(7)

或

證明考慮下面的Lyapunov函數(shù):

V(t)=zT(t)Pz(t)·

(8)

當(dāng)t∈[lT,(l+θ)T],由(5)式可得:

ξ[φ(z(t))]μ]=zTPAf(z(t))+fT(z(t))ATPz(t)+zT(t)P(cΦ-L-LΛ(t))z(t)+zT(t)(cΦ-L-LΛ(t))TPz(t)-2ξzT(t)P[φ(z(t))]μ≤zT(t)PAf(z(t))+fT(z(t))ATPz(t)+zT(t)P(cΦ-L+δL)z(t)+zT(t)(cΦ-L+δL)TPz(t)-2ξzT(t)P[φ(z(t))]μ,

(9)

根據(jù)假設(shè)1，可得:

d‖zi(t)‖=d‖yi(t)-xi(t)‖≥g‖(yi(t))-g(xi(t))‖=‖f(zi(t)‖,

εd2zT(t)z(t)-εfT(z(t))f(z(t))≥0,

由(9)式可推出:

(10)

通過引理2、引理3和條件(6)可推導(dǎo)出:

故由(10)式可得:

(11)

-zT(t)P[φ(z(t))]μ≤-λmin(P)zT(t)[φ(z(t))]μ=

(12)

根據(jù)(11)和(12)式可得:

(13)

當(dāng)t∈((l+θ)T,(l+1)T)時，由(5)式可得:

根據(jù)條件(7)可得:

(14)

證畢·

3 數(shù)值仿真

考慮誤差系統(tǒng)(3)，其中A=diag(27/7,0,0),Γ=diag(1,1,1)激活函數(shù)f(x)滿足f(z1(t))=(|z1(t)+1|-|z1(t)-1|,0,0)T,量化器密度ρ=0·7

取控制周期T=0·1,控制寬度θ=0·5,耦合強度c=1,ξ=1,μ=0·5,β=16,假設(shè)1滿足d=2,給定控制增益l1=20,l2=30,l3=15,l4=l5=0·

利用Matlab LMI工具箱求解(6)-(7)式得出

P=diag(0·0252,0·0252,0·0233,0·0283,0·0283,0·0267,0·0103,0·0103,0·0103,0·0275,0·0275,0·0276,0·0242,0·0242,0·0232),ε=0·0570,ζ=0·1491·

網(wǎng)絡(luò)(1)和(2)的初值分別為:

x1(0)=[1,-1,0]T,x2(0)=[-1,2,1]T,x3(0)=

[1,0,1]T,x4(0)=[0,-1,1]T,x5(0)=[1,-1,1]T,y1(0)=[5,4,1]T,y2(0)=[-1,-2,1]T,y3(0)=

[3,2,4]T,y4(0)=[1,0,1]T,y5(0)=[0,1,2]T,zij(t)=yij(t)-xi(t)(i=1,…,5,j=1,2,3),圖1給出不加控制器時誤差動態(tài)系統(tǒng)的軌跡圖，可以看出，如果不施加控制，耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)和(2)無法實現(xiàn)同步·圖2描述了耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)加入間歇牽制量化控制器之后的誤差動態(tài)系統(tǒng)的軌跡圖，由圖2看出網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)達(dá)到同步·圖3是對信號進(jìn)行量化后的誤差系統(tǒng)軌跡圖，可以明顯地看出被量化的信號呈折疊線的狀態(tài)·

圖1 未加入控制器的誤差系統(tǒng)軌跡圖Fig.1 Trajectories of error systems without controller

圖2 基于間歇牽制控制器的誤差系統(tǒng)軌跡圖Fig.2 Trajectories of error systems with intermittent pinning controller

圖3 ‖φ(zi(t))‖(i=1,…,5)的軌跡圖Fig.3 Trajectories of ‖φ(zi(t))‖(i=1,…,5)

4 結(jié)論

對于耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題，不少文獻(xiàn)已經(jīng)進(jìn)行了深入研究，但是，控制方法普遍采用連續(xù)控制.與其不同，本文研究的是基于間歇牽制量化控制實現(xiàn)耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步.首先，設(shè)計了一個間歇牽制量化控制器， 然后利用Lyapunov函數(shù)的性質(zhì)和Schur補償引理，得到耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步的充分條件.最后，通過數(shù)值仿真驗證了其有效性.