張銳浩， 張 帆， 莊彥帥， 張玉輝， 王 鋒

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院， 上海 201620)

0 引 言

折紙是一種古老的藝術形式，折紙的命名源自日語詞根“ori”和“gami”組合，意思是折疊和紙張,其可以實現(xiàn)不經(jīng)裁剪和粘接，使二維平面的紙張折疊成三維立體模型[1]。它的運動是連續(xù)的且一一對應的二維到三維的映射。折紙可分為剛性折紙和非剛性折紙，假設在折疊過程中，剛性折紙面始終為剛性平面(通常視為連桿)，將折痕視為轉軸，則剛性折紙板折疊過程中不發(fā)生扭轉變形等情況。因此，僅由相鄰折疊面的夾角即可決定折紙構型。非剛性折紙則不具有這一假設，認為可以在折紙面內發(fā)生扭轉、彎曲等變形，可產(chǎn)生形變。由于剛性折紙具有結構巧妙、易于折疊等優(yōu)點，越來越受到工程師們的關注。例如航天工程中的太陽能陣列[2-3], 在日常生活領域有可折疊餐具[4], 直升機[5]等。為了探索折紙的原理，從而使折紙結構發(fā)展出更多的結構，越來越多的學者用數(shù)學來揭示其中的原理。

在折紙運動學的研究中，Kawasaki’s提出了單頂點可以平折時夾角之間的基本理論，Maekawa’s提出了山谷折痕分布理論，這兩個基本理論成為折紙的基本定理。數(shù)值算法[6]、四元數(shù)法和矩陣法[7]等被用來分析剛性折紙的可折疊性。Hull[8]研究了單頂點折紙折痕圖案能夠剛性折疊的一個內在充要條件，為剛性折紙圖案拓撲和應用分析奠定了基礎。BERRY M等[9]在非歐幾里德空間，提出運動高斯曲率的方法研究折紙運動空間。得出了有向頂點的構形空間與高斯曲率的關系。吳和游[9]分別用四元素法和雙四元素法建立了折紙機構的運動模型，分析了單頂點或多頂點的折紙圖案的平面折疊性，并判斷了折紙在折疊過程的自相交性。但是判斷折紙機構自由度的方法還是比較少，蔡建國等[11]在剛性折紙機構的自由度的研究中，建立了折紙機構的系統(tǒng)約束方程，并從雅克比矩陣的零空間中計算出了剛性折紙機構的自由度，但是其研究存在局限性，若是機構中存在冗余自由度時，方法不再適用。同時其方法的計算過程較為復雜。

然而，利用鄰接矩陣的方法計算剛性折紙機構的自由度，可以簡化多頂點剛性折紙機構自由度的運算。首先，介紹剛性折紙的基本條件和基本定理；然后，以計算單頂點剛性折紙機構自由度為基礎，拓撲到多頂點三角形剛性折紙自由度的計算。通過折痕與折痕之間的關系，建立鄰接矩陣并通過矩陣變換計算剛性折紙機構的自由度；最后，通過軟件建模和仿真驗證鄰接矩陣方法計算的準確性。

1 折紙基本理論

折紙藝術因其能直觀展示如何利用折紙來生成連續(xù)但有區(qū)別的圖形，而廣泛受到人們的關注。折紙的折疊過程是連續(xù)變化的，且能反應折紙圖案從二維到三維的映射。折紙圖案由一系列的折痕圖案組成，包括向上凸起的山折痕(實線)和向下凹陷的谷折痕(虛線)，折紙圖案的剛性可折疊性是由一系列的山折痕和谷折痕組合而成，其組合對平折折紙的折疊性起關鍵性作用。以下介紹折紙的一些基本理論，包括平折的必要條件，有效的山谷折痕分配條件[12-14]。

Kawasaki’s定理1 單個頂點周圍的交替角度之和是π，如圖1所示。

圖1 具有n條折痕的單頂點的折痕圖案

Kawasaki’s定理2 對于相鄰的折痕夾角α1、α2、α3…α2n，假設α2n為其中的最小角，則圍成最小角度的折痕必須由一條山折痕和一條谷折痕組成。

Maekawa’s定理山折痕(M)與谷折痕(V)之差為±2，即：

M-V=±2

單頂點折痕所圍成的角度之和為2π，如圖1所示的單頂點折痕為

α1+α2+α3+…+α2n=2π

2 單一頂點折紙機構自由度研究

在剛性折紙的研究過程中，剛性折紙的折痕視為旋轉關節(jié)或轉動副，剛性紙板則視為連桿(如圖2所示)。在單頂點的自由度分析中，無論折痕數(shù)多少，單頂點剛性折紙在空間上總是具有3個方向的共同約束力，因此等效機構的秩d為3，根據(jù)修改的G-K自由公式[16-17]:

其中，M是機構的自由度，d為機構的秩，n為包括機架在內的構件數(shù)，g為運動副數(shù)，fi為運動副的自由度，v為多回路并聯(lián)機構在去掉公共約束后的冗余約束數(shù)，z是機構的局部自由度數(shù)。

圖2 單一頂點4折痕機構

然而，在分析單頂點剛性折紙的自由度時，n為剛性面的面數(shù)(桿件數(shù))，g為折痕數(shù)，fi為1(通常為轉動副)，v和z都為0(一般的單頂點剛性折紙沒有冗余自由度和局部自由度)。單頂點剛性折紙頂點可以分為邊界頂點和非邊界頂點，對于非邊界頂點其自由度計算公式為

M=m-3

(1)

其中，M為自由度數(shù)，m為折痕數(shù)，例如圖2所示單頂點4折痕剛性折紙自由度為M=4-3=1。

對于邊界頂點其自由度計算公式如下:

M=m-2

(2)

其中，M為自由度數(shù)，m為圍繞此頂點的折痕數(shù)。

3 多頂點剛性折紙機構

對于多頂點剛性折紙機構而言，為了實現(xiàn)折紙的剛性折疊性，每個頂點的運動必須與其相鄰的頂點的運動兼容不發(fā)生干涉。然而，相較于單頂點剛性折紙機構，多頂點剛性折紙機構獲得這樣的運動特性是比較難得到的，多頂點剛性折紙機構可以實現(xiàn)剛性折疊的圖案是比較少的。因此，分析多頂點剛性折疊機構的自由度是非常有必要的。

利用鄰接矩陣方法，分析多頂點三角形剛性折紙圖案的自由度，其由單頂點4折痕折紙圖案拓撲得到，其圖形如圖3所示，因其滿足平折折紙定理(3個頂點中的任意單一頂點都滿足上述平折的必要條件，有效的山谷折痕分配條件)和折紙乘數(shù)的積為1[6]等條件而可剛性折疊。對于多頂點三角形折紙圖案而言，并不是所有的折紙圖案都可以剛性折疊，如圖4所示，圖4(a)和圖4(b)為兩種不可剛性折疊情況，已被證明不可嚴格剛性折疊[18]，雖然滿足山谷折痕分布和平折折紙定理，但是因存在 3對相互平行的邊而不滿足折紙乘數(shù)的積為1的條件而不可剛性折疊。

圖3 多頂點三角形剛性折紙圖案

(a)

(b)

在多頂點三角形折紙圖案可剛性折疊的情況下，利用鄰接矩陣分析其自由度。鄰接矩陣直觀展現(xiàn)了頂點之間的連接關系。首先，將多頂點三角形折紙圖案封閉，即添加邊界，添加邊界后的圖案如圖5 所示，并將頂點由1～9逆時針編號，其中1、2、3為非邊界頂點，4～9為邊界頂點。則建立的鄰接矩陣C0為

矩陣中“1”表示頂點與頂點之間相連，即存在折痕則記為“1”，不相連則為“0”，從矩陣中的每一行或列可以知道每一個頂點有幾條折痕圍成(例如頂點1有4條折痕)。由于矩陣為對稱陣，因此分析時只分析行或列即可。

圖5 多頂點三角形剛性折紙邊界添加圖

通過引入變量Di(i=0,1,2,3，…，9)確定每頂點實現(xiàn)確定運動所需要的驅動，驅動的添加選擇從非邊界頂點1開始，依次添加驅動(也可以選擇從2或3開始，但只能從非邊界頂點1、2、3開始)。當鄰接矩陣為C0時，變量D0=0(此時并未添加驅動到折紙機構中)，由式(1)和鄰接矩陣C0可以計算得非邊界頂點1所需的驅動為4-3=1，則鄰接矩陣由C0變?yōu)镃1：

此時矩陣C1中的“1”表示未有確定運動的折痕數(shù)(與矩陣C0中的“1”的含義不同),即此折痕未有確定的輸入驅動(角度變量)。當非邊界頂點1輸入了確定的驅動，鄰接矩陣C1中的第一列和第一行中的“1”變?yōu)椤?”。鄰接矩陣由C0變到C1引入消元矩陣Ej,n，消元矩陣[10]的表示如下：

消元矩陣是n×n的矩陣，在矩陣中的第j行和第j列中的元素都為0，對角線上的元素為1，左乘矩陣Ej,n使得Ci的第j行中的元素都為0，右乘矩陣Ej,n使得Ci的第j列中的元素都為0，其變換如下所示:

Ci+1=Ej,nCiEj,n

同時變量由D0變?yōu)镈1，D1=D0+1=1(1表示需要添加的驅動或角度變量)。

然后，繼續(xù)對非邊界頂點2添加驅動，由式(1)和鄰接矩陣C1得非邊界頂點2需要添加的驅動為 3-3=0，其中第一個“3”為C1中第2行的元素和。此時的鄰接矩陣C2為

同時變量由D1變?yōu)镈2,則D2=D1+0=1。

然后繼續(xù)對非邊界頂點3添加驅動，由式(1)和鄰接矩陣C2得非邊界頂點3需要添加的驅動為 2-3<0，其中的“2”為C2中第3行的元素和(若存在非邊界頂點行元素和小于或等于3，則需要添加的驅動為0)。此時的鄰接矩陣C3為

同時變量由D2變?yōu)镈3,則D3=D2+0=1。

由上述計算可得非邊界頂點1、2、3需要的總驅動數(shù)量Me=D3=1。

下面計算邊界頂點所需要的驅動數(shù)，邊界頂點需要的總驅動數(shù)Mb計算如下：

(3)

其中，b為非分邊界頂點數(shù)，n為圖形的總頂點數(shù)，rb(j)為最后一個非邊界頂點添加驅動后的鄰接矩陣中的第j行的和。

由鄰接矩陣C3和式(3)可以得到多頂點三角形剛行折紙圖案邊界頂點需要添加的總驅動數(shù)為

可以發(fā)現(xiàn)鄰接矩陣C3中第4行至第9行每一行的和都是2，則由式(7)可得邊界頂點需要的約束為Mb= 0。最后，計算得到多頂點三角形剛性折紙機構的自由度:M=Me+Mb=1。

4 模擬仿真

通過Adams軟件的建模仿真功能，建立多頂點三角形剛性折紙圖案，建模過程中，剛性折紙的折痕視為旋轉關節(jié)(細線表示)，剛性紙板則視為連桿。連桿與連桿之間由旋轉副連接，通過約束的方式使連桿與連桿僅存在轉動自由度。多頂點三角形剛性折紙圖案的三維建模圖形如圖6所示。

在完成建模的基礎上，為模型添加驅動，模型的驅動添加數(shù)為上述計算結果，模型僅需添加一個驅動。然后，執(zhí)行仿真運行步驟，看能否完成剛性折疊過程。

多頂點三角形剛折紙運動模型完成了從初始平折到完全折疊的運動過程，結果如圖7所示，機構僅添加一個驅動即可完成所需的折疊運動(驅動添加圖如圖8所示)，運動過程并無奇異位形，若添加多個驅動則可能會產(chǎn)生冗余驅動。仿真結果驗證了多頂點三角形剛性折紙的自由度為1的結論是正確的。

圖7 多頂點三角形剛性折紙圖案的運動完成折疊

圖8 多頂點三角形剛性折紙圖案的折疊驅動添加

5 結束語

在剛性折紙的平折條件和峰谷分配的條件等條件下，以分析單頂點4折痕的剛性折紙自由度為基礎，拓撲到多頂點三角形剛性折紙自由度分析，通過鄰接矩陣的方法分析多頂點三角形剛性折紙的自由度，該方法具有運算簡單、表達直觀的優(yōu)點。頂點之間的關系用鄰接矩陣表示，便于計算機運算和矩陣變換。通過引入消元矩陣，用矩陣乘法描述了確定運動狀態(tài)的過程，通過矩陣變換簡化了折紙圖案中的復雜運動表示。最后通過軟件仿真驗算其計算結果的準確性。