韓 杰， 楊啟貴

(華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣州 510640)

0 引 言

20世紀(jì)60年代，Lorenz發(fā)現(xiàn)一個(gè)能夠產(chǎn)生蝶形混沌吸引子的三維常微分動(dòng)力系統(tǒng)，此系統(tǒng)呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)，引起學(xué)術(shù)界的廣泛研究和深入討論，由此混沌研究及應(yīng)用得到蓬勃發(fā)展?；煦缱鳛榉蔷€性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的重要分支，相關(guān)理論及其應(yīng)用已滲入到許多其他學(xué)科領(lǐng)域。早在1994年，Sprott[1]首次利用計(jì)算機(jī)窮舉法獲得一類(lèi)三維自治Jerk混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)形式簡(jiǎn)單，卻具備良好的動(dòng)力學(xué)特性，在物理學(xué)界很快就受到了學(xué)者們的熱烈關(guān)注。

近年來(lái)，隨著非線性動(dòng)力學(xué)的深入發(fā)展，人們注意到Jerk混沌系統(tǒng)不僅能夠產(chǎn)生多種類(lèi)型的吸引子，如多重吸引子[2]、隱藏吸引子[3]、共存吸引子[4]等，而且在現(xiàn)實(shí)生活中有極好的應(yīng)用前景，涉及圖像加密、網(wǎng)絡(luò)通信等核心技術(shù)。因此，對(duì)Jerk系統(tǒng)的研究極為重要。在三維的Jerk混沌研究中，Li等[5]提出具有唯一平衡點(diǎn)的三維Jerk混沌系統(tǒng)，并借助仿真軟件加以驗(yàn)證系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性；Sang和Huang[6]找到具有兩個(gè)平衡點(diǎn)的三維二次型Jerk混沌系統(tǒng)并研究其0-Hopf分岔。但實(shí)際上，研究人員發(fā)現(xiàn)高維或多卷的超混沌系統(tǒng)相較于混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，能更好地適應(yīng)復(fù)雜的實(shí)際情景，從而可廣泛應(yīng)用于信息加密等領(lǐng)域。而產(chǎn)生超混沌的系統(tǒng)維數(shù)至少是四維，因此對(duì)四維超混沌Jerk系統(tǒng)的探討具有重要價(jià)值。目前，探討Jerk系統(tǒng)如何由三維拓展至四維是很有意義的。在四維的研究中，Vaidyanthan[7]利用3個(gè)二次項(xiàng)構(gòu)造了一類(lèi)無(wú)平衡點(diǎn)的非線性四維超混沌Jerk系統(tǒng)；Dalkiran和Sprott[8]采用指數(shù)函數(shù)作為非線性項(xiàng)，得到具有一個(gè)平衡點(diǎn)的四維Jerk系統(tǒng)，這些研究豐富了四維Jerk系統(tǒng)的類(lèi)型。最近，關(guān)于四維非光滑Jerk系統(tǒng)的研究也有一些成果。如Hosham[9]提出具有4個(gè)平衡點(diǎn)的分片四維Jerk系統(tǒng)，并分析系統(tǒng)復(fù)雜的分岔現(xiàn)象。此外也有學(xué)者通過(guò)引入控制憶阻器來(lái)構(gòu)造能產(chǎn)生多卷吸引子的系統(tǒng)，基于此方法，Wang等[10]得到了具有8個(gè)平衡點(diǎn)的四維超混沌多卷Jerk系統(tǒng)；Xia等[2]獲得具有21個(gè)平衡點(diǎn)且能產(chǎn)生多卷的超混沌Jerk系統(tǒng)；隨后Zhang和Wang[11]構(gòu)造出具有無(wú)窮多個(gè)平衡點(diǎn)的超混沌四維多卷Jerk系統(tǒng)，他們構(gòu)造的多卷吸引子相比單卷和雙卷的吸引子展現(xiàn)出了更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。迄今為止，還沒(méi)有一個(gè)普適方法可用來(lái)構(gòu)造多卷系統(tǒng)，如何找到一個(gè)能產(chǎn)生多卷的非線性系統(tǒng)是個(gè)難點(diǎn)。研究發(fā)現(xiàn)能產(chǎn)生多卷的超混沌Jerk系統(tǒng)往往具有多個(gè)平衡點(diǎn)且不光滑，那么僅有一個(gè)平衡點(diǎn)的光滑Jerk超混沌系統(tǒng)能否產(chǎn)生多卷吸引子是個(gè)值得探討且有意思的問(wèn)題，但目前關(guān)于這方面的綜合研究還比較少，因此對(duì)這類(lèi)系統(tǒng)的研究極具意義和價(jià)值。

針對(duì)上述問(wèn)題，提出了具有唯一平衡點(diǎn)的新四維多卷光滑超混沌Jerk系統(tǒng)，系統(tǒng)僅含有一個(gè)非線性項(xiàng)。首先，給出系統(tǒng)的具體形式，通過(guò)分析系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性及耗散性、Lyapunov指數(shù)和吸引子相圖來(lái)討論系統(tǒng)的基本性質(zhì)。然后從系統(tǒng)局部特征角度出發(fā)，分析系統(tǒng)蘊(yùn)含的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，包括對(duì)平衡點(diǎn)和Hopf分岔的相關(guān)分析，嚴(yán)格證明了兩者的存在性。最后通過(guò)數(shù)值模擬有效刻畫(huà)了系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、相圖以及Poincaré映射，展示了新系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特征。

1 新四維多卷超混沌Jerk系統(tǒng)

2000年Sprott[12]提出了一個(gè)三維Jerk混沌系統(tǒng)：

(1)

基于系統(tǒng)式(1)，利用反正切函數(shù)來(lái)逼近符號(hào)函數(shù)，結(jié)合多卷混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法[13]，設(shè)計(jì)反饋控制器，引入線性反饋控制項(xiàng)-au及非線性控制項(xiàng)F(x)，可獲得如下新四維連續(xù)多卷超混沌Jerk系統(tǒng)：

(2)

(3)

(a) N=M=1

(b) N=1, M=2

(c) N=2, M=1

固定系統(tǒng)式(2)的參數(shù)，對(duì)其進(jìn)行坐標(biāo)變換：

(x,y,z,u)→(-x,-y,-z,-u)

系統(tǒng)的形式保持不變，因而系統(tǒng)式(2)關(guān)于原點(diǎn)(0,0,0,0)對(duì)稱(chēng)。

系統(tǒng)式(2)的散度為

當(dāng)b>0，即▽V<0時(shí)，系統(tǒng)式(2)是耗散的。這意味著系統(tǒng)式(2)在無(wú)窮遠(yuǎn)處會(huì)以指數(shù)速率-b收斂到0。

當(dāng)系統(tǒng)式(2)的參數(shù)(a,b,k1,k2,Q,N,M)=(0.01,0.63,0.01,1,9 999,1,1)時(shí)，利用Matlab數(shù)值模擬，計(jì)算得到系統(tǒng)式(2)的Lyapunov指數(shù)：

LE1=0.106 9,LE2=0.107 4LE3=0.000 0,LE4=-0.844 4

由此可知系統(tǒng)式(2)在該參數(shù)條件下是超混沌的。根據(jù)混沌系統(tǒng)Lyapunov維數(shù)的定義，計(jì)算得出系統(tǒng)式(2)的Lyapunov維數(shù)DL≈3.253 7，此時(shí)系統(tǒng)式(2)對(duì)應(yīng)的相圖如圖2所示，可以看出系統(tǒng)產(chǎn)生了3卷超混沌吸引子。

其次固定系統(tǒng)式(2)的參數(shù)(a,b,k1,k2,Q)=(0.01,0.68,0.01,1,9 999)，同理可得到相對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)：

LE1=0.090 9,LE2=0.091 2LE3=0.000 0,LE4=-0.862 2

以及Lyapunov維數(shù)DL≈3.211 2。通過(guò)調(diào)節(jié)函數(shù)f(x)中的控制參數(shù)N和M，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)式(2)可以產(chǎn)生具有不同卷數(shù)的超混沌吸引子，其對(duì)應(yīng)二維平面的相圖如圖3所示。

(a) x-y-z空間

(b) x-y-u空間

(c) x-z-u空間

(d) y-z-u空間

(a) N=M=2

(b) N=4, M=2

(c) N=3, M=5

2 局部動(dòng)力學(xué)分析

2.1 平衡點(diǎn)存在性和穩(wěn)定性

系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)特征可通過(guò)平衡點(diǎn)的性質(zhì)反映出來(lái)，現(xiàn)主要研究的是系統(tǒng)式(2)平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性，探究平衡點(diǎn)處于不同狀態(tài)時(shí)的參數(shù)范圍。

系統(tǒng)式(2)的平衡點(diǎn)可由方程組式(4)確定：

(4)

λ1=-0.000 1,λ2=-0.844 7λ3,4=0.107 4±1.086 2i

此時(shí)系統(tǒng)式(2)在平衡點(diǎn)E處的流形具有兩個(gè)穩(wěn)定方向和兩個(gè)不穩(wěn)定方向，因此平衡點(diǎn)E是一個(gè)鞍-焦點(diǎn)。

定理1 設(shè)

Ω= { (a,b,k1,k2)|ak1> 0,b>ak1+ 1,(b-ak1-1)(abk2+ak1+ 1) >ab3k1}

則系統(tǒng)式(2)的平衡點(diǎn)E滿(mǎn)足如下結(jié)論：

當(dāng)系統(tǒng)式(2)的參數(shù)(a,b,k1,k2)∈Ω時(shí)，其平衡點(diǎn)E是漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)系統(tǒng)式(2)的參數(shù)(a,b,k1,k2)?Ω時(shí)，其雙曲平衡點(diǎn)E是不穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)式(2)在平衡點(diǎn)E附近的Jacobi矩陣為

λ4+bλ3+(ak2+1)λ2+(abk2+ak1+1)λ+abk1=0

(5)

計(jì)算如下行列式：

于是當(dāng)系統(tǒng)式(2)的參數(shù)(a,b,k1,k2)∈Ω時(shí)，有Δ1>0,Δ2>0,Δ3>0,Δ4>0，根據(jù)Routh-Hurwitz判別準(zhǔn)則可得，系統(tǒng)式(2)的平衡點(diǎn)E是漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)參數(shù)(a,b,k1,k2)?Ω，系統(tǒng)式(2)的雙曲平衡點(diǎn)E是不穩(wěn)定的。

2.2 Hopf分岔存在性

Hopf分岔是混沌動(dòng)力學(xué)中一種重要的分岔類(lèi)型，現(xiàn)研究系統(tǒng)式(2)在平衡點(diǎn)E(0,0,0,0)附近的Hopf分岔。

則當(dāng)系統(tǒng)式(2)的參數(shù)b經(jīng)過(guò)其臨界值bj時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生Hopf分岔，其中

證明假設(shè)系統(tǒng)式(2)的特征方程式(5)存在一對(duì)純虛根λ=±iω(ω∈R+)，將純虛根iω代入特征方程式(5)可得：

ω4-(ak2+1)ω2+abk1+iω(abk2+ak1+1-bω2)=0

(6)

由式(6)推出方程組：

通過(guò)求解方程組有：

利用盛金公式[14]可解得，當(dāng)Δ=0時(shí)，有：

由此可解得：

再根據(jù)特征方程式(5)可得：

那么有：

因此，系統(tǒng)式(2)滿(mǎn)足中心流形定理中Hopf分岔存在的第二條件[15]。由Hopf分岔存在性定理得證，當(dāng)系統(tǒng)式(2)的參數(shù)b越過(guò)其臨界值bj時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔。

為了驗(yàn)證定理2的合理性，利用數(shù)學(xué)軟件對(duì)系統(tǒng)式(2)進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證，選取系統(tǒng)式(2)的參數(shù)(a,k1,k2)=(0.01,0.01,1)，通過(guò)計(jì)算可得b1=1.00，b2,3=161.08。現(xiàn)驗(yàn)證b1=1.00的情形，選取函數(shù)f(x)的參數(shù)Q=9 999，N=M=1，當(dāng)系統(tǒng)式(2)的參數(shù)b=0.99

λ1=-0.000 1,λ2=-0.995 0λ3,4=0.002 5±1.007 5i

此時(shí)系統(tǒng)式(2)在平衡點(diǎn)E處具有兩個(gè)穩(wěn)定流形和兩個(gè)不穩(wěn)定流形，平衡點(diǎn)E是一個(gè)鞍-焦點(diǎn)，系統(tǒng)式(2)的吸引子相圖如圖4(a)所示，此時(shí)系統(tǒng)生成了一個(gè)多卷吸引子；當(dāng)系統(tǒng)式(2)的參數(shù)b=1.01>b1時(shí)，平衡點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的4個(gè)特征值如下所示：

λ1=-0.000 1,λ2=-1.005 1λ3,4=-0.002 4±1.002 5i

特征值所有實(shí)部為均為負(fù)數(shù)，此時(shí)系統(tǒng)式(2)的平衡點(diǎn)E是穩(wěn)定的，圖4(b)展示了系統(tǒng)的吸引子相圖，由此看出系統(tǒng)存在周期軌。因此，系統(tǒng)式(2)的參數(shù)b穿過(guò)b=1.00時(shí)，平衡點(diǎn)的狀態(tài)由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定，系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，因此驗(yàn)證了定理2的結(jié)論。

(a) b = 0.99

(b) b = 1.01

3 復(fù)雜動(dòng)力學(xué)分析

固定系統(tǒng)式(2)的參數(shù)(a,k1,k2,Q,N,M)=(0.01,0.01,1,9 999,3,2)，選定參數(shù)b在區(qū)間[0.6,1.1]變化時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔相圖如圖5所示。

(a) Lyapunov指數(shù)譜

(b) 分岔相圖

結(jié)合圖5(a)-5(b)可以看出：隨著參數(shù)b的增加，系統(tǒng)式(2)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)經(jīng)歷了從超混沌到擬周期的過(guò)程。特別地，當(dāng)參數(shù)b選取特定值時(shí)，系統(tǒng)式(2)對(duì)應(yīng)的4個(gè)Lyapunov指數(shù)如表1所示，對(duì)應(yīng)的吸引子相圖如圖6所示。從表1可以看出：系統(tǒng)式(2)的動(dòng)力學(xué)經(jīng)歷了從超混沌到混沌、擬周期到周期這4個(gè)狀態(tài)的變化，從圖6可以看出系統(tǒng)式(2)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特征。

(a) b = 0.850

(b) b = 0.999

(c) b = 1.000

(d) b = 1.003

表1 系統(tǒng)式(2)在參數(shù) (a, k1, k2, Q, N, M)=(0.01, 0.01, 1, 9 999, 3, 2) 時(shí)的Lyapunov指數(shù)

選取系統(tǒng)式(2)的參數(shù)(a,b,k1,k2,Q,N,M)=(0.01,0.63,0.01,1,9 999,1,1)時(shí)，系統(tǒng)的吸引子在二維平面的Poincaré映射如圖7所示，表明系統(tǒng)式(2)存在超混沌吸引子。

(a) x-y平面

(b) x-z平面

(c) x-u平面

(d) y-z平面

4 總 結(jié)

立足于Jerk混沌系統(tǒng)的吸引子及平衡點(diǎn)兩個(gè)視角，通過(guò)反饋控制器技術(shù)，建立四維多卷超混沌光滑Jerk系統(tǒng)。詳細(xì)分析了所得系統(tǒng)的基本性質(zhì)，包括平衡點(diǎn)的存在性及處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的參數(shù)條件、Hopf分岔存在性等，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)是耗散的且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，系統(tǒng)僅有一個(gè)平衡點(diǎn)，為鞍-焦點(diǎn)類(lèi)型，且存在Hopf分岔現(xiàn)象。進(jìn)一步利用數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真得到系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜、吸引子相圖和Poincaré映射等特征，驗(yàn)證了提出的新系統(tǒng)具有周期、混沌、擬周期、超混沌吸引子的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。研究不僅豐富了多卷Jerk系統(tǒng)的類(lèi)型，而且對(duì)進(jìn)一步深入理解四維多卷超混沌光滑Jerk系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)具有重要的理論意義及實(shí)際價(jià)值。