雒向東，張 明，海 波

(蘭州城市學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

1 基本理論

1.1 直角坐標(biāo)系的矢量波函數(shù)

20世紀(jì)30年代中期，漢森首先引進(jìn)了矢量波函數(shù)用來解決某些電磁問題，其后斯特萊頓驗(yàn)證了這些函數(shù)的有效性，認(rèn)為矢量波函數(shù)是構(gòu)成各類并矢格林函數(shù)本征函數(shù)展開式的積木塊.漢森引進(jìn)的L、M、N3類矢量波函數(shù)都滿足齊次亥姆霍茲矢量方程[1-2].因?yàn)榇判筒⑹父窳趾瘮?shù)M、N既滿足矢量波動(dòng)方程又具有無散性[3]，所以將它們作為積木塊來研究孔徑縫隙激勵(lì)的矩形波導(dǎo)輻射場(chǎng)問題較為方便.

直角坐標(biāo)系表示的矩形波導(dǎo)如圖 1 所示，領(lǐng)示矢量c為z軸正向單位矢量，這樣可構(gòu)成兩組矢量波函數(shù)M和N，分別表示矩形波導(dǎo)理論中的TE模和TM模.

矢量波函數(shù)M和N在波導(dǎo)壁上滿足矢量狄里克萊邊界條件：

n×M=0，

n×N=0.

這一邊界條件相當(dāng)于在一個(gè)純導(dǎo)體表面上電場(chǎng)應(yīng)滿足的條件.

矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)的直角坐標(biāo)系矢量波函數(shù)可取如下形式[4]71-75:

1.2 波函數(shù)的正交性

直角坐標(biāo)系矢量波函數(shù)具有如下正交性[4]71-75：

它對(duì)奇偶函數(shù)的任何組合都成立，且

m、n、h和m′、n′、h′可以不同或相同，代表兩組本征值.體積分區(qū)間為:

x?[0,a],y?[0,b],z?(-∞,+∞).

當(dāng)m≠m′或n≠n′時(shí)，有：

由此可見，所有直角坐標(biāo)系矢量波函數(shù)都是相互正交的.

當(dāng)m=m′和n=n′時(shí)，設(shè)h≠h′，歸一化系數(shù)討論如下：

對(duì)n=0，證明有以下相同結(jié)論：

(1)

克羅內(nèi)克符號(hào)定義為：

(2)

同樣可推得：

(3)

對(duì)Nemn和Nomn函數(shù)可用同樣方法求得的歸一化系數(shù)為：

(4)

(5)

2 孔徑隙縫激勵(lì)的波導(dǎo)場(chǎng)

2.1 矢量函數(shù)Aemn(h)和Bomn(h)的確定

當(dāng)用沿波導(dǎo)壁的孔徑或隙縫場(chǎng)激勵(lì)波導(dǎo)時(shí)，可用下式計(jì)算波導(dǎo)內(nèi)部的場(chǎng)[4]74：

因?yàn)?/p>

(6)

函數(shù)定義域?yàn)?

0≤x≤a, 0≤y≤b, -∞≤z≤∞，

并在x=0、x=a、y=0、y=b滿足第一類磁型并矢格林函數(shù)的邊界條件:

假設(shè)

(7)

其中,Aemn(h)和Bomn(h)為兩個(gè)待定的未知矢量函數(shù).用函數(shù)Mem′n′(-h′)作為前標(biāo)積，取本征值m′、n′、h′，可得：

(8)

將式(8)左邊積分分成兩項(xiàng)：

由于徑向R′位于體積V內(nèi)，上式中面積分等于零，故得：

當(dāng)m=m′、n=n′時(shí)，式(8)右邊積分為:

可得:

解出的系數(shù)為:

上式也可寫為:

將本征值上的撇號(hào)去掉，但函數(shù)N′上的撇號(hào)不能去掉，上式改寫為：

從而得到式(7)中的未知系數(shù)Aemn(h).用類似方法將Nom′n′(-h′)與式(7)作為前標(biāo)積，用同樣程序可推證得：

(9)

2.2 系數(shù)a(h)和b(h)的確定

假設(shè)

(10)

將式(9)和式(10)代入式(6)，利用下式:

可推得：

(11)

將式(11)代入式(10)，得:

其中,上行符號(hào)對(duì)應(yīng)z>z′,下行符號(hào)對(duì)應(yīng)z

當(dāng)用波導(dǎo)壁的孔徑或隙縫場(chǎng)激勵(lì)波導(dǎo)時(shí)，波導(dǎo)內(nèi)部的場(chǎng)由下式確定：

3 結(jié) 語

采用并矢格林函數(shù)方法處理電磁場(chǎng)問題始于20世紀(jì)40年代初，史文格、萊文、戴振鐸等采用這種方法求解各類電磁場(chǎng)邊值問題和各類復(fù)雜媒質(zhì)中的電磁場(chǎng)問題，使格林函數(shù)方法成為了處理電磁場(chǎng)問題的一種系統(tǒng)理論和有效方法.本文基于并矢格林函數(shù)法對(duì)矩形波導(dǎo)由孔徑或縫隙激勵(lì)時(shí)波導(dǎo)內(nèi)場(chǎng)的確定進(jìn)行了理論分析，推得的公式對(duì)波導(dǎo)內(nèi)場(chǎng)結(jié)構(gòu)研究和波導(dǎo)設(shè)計(jì)等具有重要的理論意義.