王心宇，歐 橋，韓祥臨

(1.湖州師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，浙江 湖州 313000；2.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

教育部在《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》中首次從考試命題的角度明確要求增強(qiáng)試題中數(shù)學(xué)文化的滲透，這對數(shù)學(xué)教育落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育具有重大意義.而高考作為教育改革的風(fēng)向標(biāo)，對初中數(shù)學(xué)教育有明顯的導(dǎo)向作用，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)教育界對中考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的廣泛關(guān)注.目前，已有的研究主要以試題內(nèi)容的賞析和類型統(tǒng)計分析為主，少數(shù)涉及滲透方式、提問策略和價值觀念等內(nèi)容.現(xiàn)有文獻(xiàn)雖然揭示了中考數(shù)學(xué)命題逐年重視數(shù)學(xué)文化滲透的大趨勢，但對其滲透特征、變化特點與改進(jìn)方向的探討還略顯“后勁不足”.本文對2016—2020年浙江省中考數(shù)學(xué)文化類試題進(jìn)行較全面的統(tǒng)計與分析，并針對出現(xiàn)的問題提出試題編制的改進(jìn)策略.

1 研究設(shè)計

1.1 構(gòu)建分析框架

數(shù)學(xué)文化是由“文化”和“數(shù)學(xué)本身”兩部分組成的.國內(nèi)的數(shù)學(xué)教育研究者主要從系統(tǒng)、課程、學(xué)科交叉等角度探討數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，并通常采用列舉的方式闡述定義，如目前學(xué)術(shù)界較為認(rèn)同顧沛給出的定義.雖然不同學(xué)者有不同的切入點，但都毋庸置疑地認(rèn)可數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的廣泛性，其既重視數(shù)學(xué)自身的形成和發(fā)展，又強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)對個人思想、價值觀念等方面的影響.

1.2 確立分析指標(biāo)

1.2.1 情境特征

本文根據(jù)情境與數(shù)學(xué)知識的融合程度將試題的情景特征分為4個層次[1]：純數(shù)學(xué)情境、外在型、內(nèi)在可分離型和內(nèi)在不可分離型，并借此考查數(shù)學(xué)文化在試題中的運(yùn)用水平.純數(shù)學(xué)情境指以純數(shù)學(xué)形式給出問題；外在型指情境只作內(nèi)容介紹，不涉及數(shù)學(xué)；內(nèi)在可分離型指情境用以掩飾數(shù)學(xué)問題，僅運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題，情境與數(shù)學(xué)可分離；內(nèi)在不可分離型指情境內(nèi)容是數(shù)學(xué)問題的一個有機(jī)組成部分，不可分離，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決具體的情境問題.

1.2.2 價值特征

綜合章勤瓊[2]、唐恒鈞[3]等的研究成果，結(jié)合2016-2020年浙江省中考數(shù)學(xué)試題的實際情況，得到試題的3類價值特征：工具價值、思維價值、人文價值.工具價值指數(shù)學(xué)為其他學(xué)科、生活、生產(chǎn)提供語言和工具，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性和基本技能的熟練；思維價值指數(shù)學(xué)是思維的載體，強(qiáng)調(diào)抽象、系統(tǒng)、理論知識和數(shù)學(xué)思維方法；人文價值指數(shù)學(xué)具有文化力量和文化相關(guān)性，強(qiáng)調(diào)德育和對真、善、美的體驗與理解，通常(但不僅限于)以社會時事和傳統(tǒng)文化為素材.

1.2.3 數(shù)學(xué)特征

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的具有數(shù)學(xué)特征的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力[4].本文借此考查試題的“數(shù)學(xué)化”程度，參考董林偉[5]、喻平[6]和朱先東[7]等制定的更符合初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合實際情況將六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分為A、B、C三個遞進(jìn)水平，并分別賦以1、2、3權(quán)重.具體見表1.

表1 數(shù)學(xué)特征的水平劃分

首先根據(jù)數(shù)學(xué)特征水平劃分方案，經(jīng)多次斟酌取得確切的標(biāo)定結(jié)果.再采用加權(quán)平均值對每份試卷中數(shù)學(xué)文化試題的各個核心素養(yǎng)水平進(jìn)行統(tǒng)計，其計算公式為：

總而言之,高血壓左室肥厚伴左心衰竭患者臨床中使用心臟彩超檢查的效果突出,可以有效的為患者進(jìn)行心功能分級,臨床中具有很高的應(yīng)用價值,值得推廣使用。

其中，di(i=1,2,3,4,5,6)依次為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析6大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的統(tǒng)計分值；nij為第i個因素的第j水平在該份試卷數(shù)學(xué)文化試題中所占的分值，總和為該份試卷數(shù)學(xué)文化試題的總分；dij為第i個因素在第j水平的權(quán)重.最后取6大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)統(tǒng)計分值的平均數(shù)，得到每份數(shù)學(xué)試卷的數(shù)學(xué)特征水平.

2 結(jié)果與分析

2.1 數(shù)學(xué)文化類試題的題數(shù)與類型變化

對2016-2020年浙江省中考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化類試題共360道，其在試卷中的比重呈逐年上升趨勢，2019年達(dá)到最高，約占34.46%(圖1).從圖1和圖2發(fā)現(xiàn)：以日常生活為背景是數(shù)學(xué)文化類試題的一大傳統(tǒng)，近50%的數(shù)學(xué)文化類試題歸于此類，但近年來有明顯下降態(tài)勢；數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)、數(shù)學(xué)游戲三類試題的比重呈線性上升態(tài)勢；數(shù)學(xué)與人文社會、數(shù)學(xué)與藝術(shù)體育兩類試題的比重相對較少，且變化不穩(wěn)定，沒有明顯傾向.值得注意的是，圖3明顯反映出近年來浙江省中考數(shù)學(xué)文化類試題與社會時事的緊密度不斷下降，并不像預(yù)期的與社會熱點緊密結(jié)合.

圖1 數(shù)學(xué)文化類試題在中考試題中的占比變化Fig.1 The proportion change of mathematicalcultural test questions in the senior high schoolentrance examination

圖2 不同類型的數(shù)學(xué)文化類試題在中考試題中的占比變化Fig.2 The proportion change of different types ofmathematical cultural test questions in the seniorhigh school entrance examination

圖3 數(shù)學(xué)文化類試題中涉及社會時事的題數(shù)變化Fig.3 The change of the number of questions related to social and current affairs in mathematical culture

可見，隨著政策對文化的傾斜，數(shù)學(xué)文化已走進(jìn)中考數(shù)學(xué)試題，且從類型變化趨勢看，數(shù)學(xué)文化類試題的類型分布不斷趨于平衡，但試題命制中對社會時事的忽略應(yīng)引起重視.

2.2 數(shù)學(xué)文化類試題的情境特征變化

由圖4可見：數(shù)學(xué)文化在試題中的融入水平較高，且以內(nèi)在可分離型的融入方式為主，比重為31.94%(2020)～46.67%(2019)；其次是內(nèi)在不可分離型，比重為21.33%(2019)～37.31%(2016).但2019年這兩種融入方式的數(shù)學(xué)文化試題的比重出現(xiàn)了突變，深入研究發(fā)現(xiàn),這與數(shù)學(xué)與藝術(shù)體育類試題驟然減少有關(guān).除2019年以外，總體上這兩種融入方式的數(shù)學(xué)文化類試題的比重都呈下降趨勢.純數(shù)學(xué)類試題的比重不斷上升，這與數(shù)學(xué)史類試題的增多息息相關(guān).外在型試題的比重沒有出現(xiàn)意料中的逐漸下降趨勢，反而穩(wěn)步上升.

圖4 數(shù)學(xué)文化試題的情境特征變化Fig.4 Changes of situational characteristics ofmathematical culture test questionss

2.3 數(shù)學(xué)文化類試題的價值特征變化

從圖5可知，近年雖然工具價值類試題的比重略呈下降趨勢，但仍占主導(dǎo)地位，這也從另一個角度反映出中考數(shù)學(xué)命題對數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中應(yīng)用價值的強(qiáng)調(diào).思維價值類試題居于次位，總體呈上升趨勢，這意味著數(shù)學(xué)文化的融入不再是單純片面的背景介紹，已逐漸開始重視數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在邏輯，這與上述數(shù)學(xué)文化試題類型分析中數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)游戲類試題的比重上升一脈相承.人文價值類試題的比重并不穩(wěn)定，沒有像預(yù)期的那樣逐年攀升，且2020年比2019年還下降了10%.可見，數(shù)學(xué)文化類試題的編制對文化價值的關(guān)注仍有待提高.

圖5 數(shù)學(xué)文化試題的價值特征變化Fig.5 Changes of value characteristics ofmathematical culture test questions

2.4 數(shù)學(xué)文化類試題的數(shù)學(xué)特征變化

由圖6可知，數(shù)學(xué)文化類試題的數(shù)學(xué)特征呈不斷上升態(tài)勢，與數(shù)學(xué)文化類試題的思維價值變化趨勢一致，說明數(shù)學(xué)文化類試題的編制已開始重視對學(xué)生高層次思維的考查.試題難度的加大也給教師們以啟示：數(shù)學(xué)文化的教學(xué)不僅僅是簡單的背景介紹，更應(yīng)從歷史和生活的角度揭示知識的來源和去向，銜接古今，注重知識的融會貫通與舉一反三，以避免學(xué)生做題時的不知所措.

圖6 數(shù)學(xué)文化試題的數(shù)學(xué)特征變化Fig.6 Changes of mathematical characteristics of mathematical culture test questions

基于上述分析發(fā)現(xiàn)，目前數(shù)學(xué)文化類試題的編制仍有以下幾點需要改善：數(shù)學(xué)文化類型的分布有待均衡；試題與社會時事的聯(lián)系有待加強(qiáng)；情境與數(shù)學(xué)知識的融合程度有待提高，即內(nèi)在不可分離型試題的數(shù)量有待增加；試題的人文價值和思維價值有待突顯.

3 數(shù)學(xué)試題的編制構(gòu)思

3.1 多樣選材，均衡分布數(shù)學(xué)文化類型

為改變當(dāng)前數(shù)學(xué)文化類試題過分偏重數(shù)學(xué)與日常生活類試題的現(xiàn)狀，以均衡試題中數(shù)學(xué)文化的類型，試題的編制應(yīng)認(rèn)識到數(shù)學(xué)文化素材的豐富多樣性，并進(jìn)一步擴(kuò)大選材范圍.如：雕塑里的黃金分割、編織中的圖形變換等都與幾何密不可分；樂曲中的聲波、科學(xué)實驗中的變量關(guān)系等都離不開函數(shù)問題；古代算籌、秦九韶算法等數(shù)學(xué)史料也極適用于數(shù)與代數(shù)的考查.將上述材料揉入試題編制中，可大大提高數(shù)學(xué)與人文社會、數(shù)學(xué)與藝術(shù)體育和數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)3類數(shù)學(xué)文化類試題的比重，使試題的情境特征更趨均衡.

3.2 融入時事，落實立德樹人根本任務(wù)

試題的編制應(yīng)正確認(rèn)識并解決當(dāng)前數(shù)學(xué)文化類試題對社會時事關(guān)注不夠的問題.在數(shù)學(xué)教育中融入時事熱點，一方面可以拉近數(shù)學(xué)與社會的距離，更好地展現(xiàn)數(shù)學(xué)教育形態(tài)；另一方面也是在數(shù)學(xué)學(xué)科中落實立德樹人根本任務(wù)的重要方法之一.因此，試題的編制應(yīng)與時俱進(jìn)，突破擲骰子、種花、買門票等舊情境，多結(jié)合諸如社會主義核心價值觀、民族精神、生態(tài)文明、國家發(fā)展等社會熱點，創(chuàng)設(shè)更新穎的題目.在這一方面，湖州市中考試卷十分值得學(xué)習(xí)，近年的命題接連以“兩山理論”“學(xué)習(xí)新思想，做好接班人”、網(wǎng)課滿意度作為情境，始終緊隨社會熱點.

例2017年麗水市中考數(shù)學(xué)試卷第20題以“徹底剿滅劣V類水”這一生態(tài)保護(hù)措施為素材，用數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法記錄污水治理的實施過程，采取傳統(tǒng)的雙圖互補(bǔ)呈現(xiàn)方式的同時，還設(shè)置了開放的評價題，既考查學(xué)生不同層次的數(shù)據(jù)分析能力，又引發(fā)學(xué)生對環(huán)境保護(hù)這類社會問題的深度思考，是一道很好的示范命題.

3.3 貼近生活，增加內(nèi)在不可分離型試題

通過對試題情境特征的分析，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在不可分離型試題的比重從2016年的37.31%下降至2020年的31.94%，而外在型試題的比重從2016年的12%上升至2020年的23.61%.可見，數(shù)學(xué)文化在試題中的運(yùn)用水平呈下降趨勢.PISA測試經(jīng)驗告訴我們，可以通過學(xué)生在不同現(xiàn)實情境下解決實際問題的表現(xiàn)來評價他們的學(xué)習(xí)結(jié)果[8].因此，內(nèi)在不可分離型試題是中考試題中不可或缺的一部分.針對當(dāng)前數(shù)學(xué)文化運(yùn)用水平較低的問題，數(shù)學(xué)文化類試題的編制應(yīng)多從社會生活中深挖數(shù)學(xué)問題，盡可能地使學(xué)生在逼真的活動中經(jīng)歷數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用和問題的解決[9].

例(2018·紹興)利用二維碼可以進(jìn)行身份識別.某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖7是某個學(xué)生的識別圖案，黑色正方形表示1，白色正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a、b、c、d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為a×23+b×22+c×21+d×20，圖7第一行數(shù)字從左到右依次為0、1、0、1，序號為0×23+1×22+c×21+1×20=5，表示該生為5班學(xué)生.請你畫出表示6班學(xué)生的識別圖案.

圖7 某個學(xué)生的識別圖案Fig.7 Recognition pattern of a student

二維碼識別系統(tǒng)已深入疫情防控、支付、身份識別等生活的方方面面.學(xué)生認(rèn)識二維碼產(chǎn)生的數(shù)學(xué)原理、經(jīng)歷畫出識別圖案的過程，就是以數(shù)學(xué)為工具認(rèn)識世界、解決實際問題的過程.此處的情境問題即數(shù)學(xué)問題，兩者不可分，是內(nèi)在不可分離型試題編制的典范.

3.4 融入傳統(tǒng)，增添人文價值和思維價值

融入中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化不失為解決“試題的編制如何在不犧牲工具價值和思維價值的前提下增加人文價值”這一問題的好辦法.如《九章算術(shù)》以解決生產(chǎn)、生活中的實際問題為目的，因出入相補(bǔ)、更相減損術(shù)等多個極具思維價值的內(nèi)容而流傳千古，同時也是增強(qiáng)文化自信的重要媒介之一.在數(shù)學(xué)文化類試題中恰當(dāng)?shù)厝谌脒@些具有歷史厚重感的傳統(tǒng)文化內(nèi)容，不僅能提升試題的人文價值，還能兼顧工具價值和思維價值，是不可多得的價值集合體現(xiàn).

例歐陽修在《賣油翁》中寫道：“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆蓋其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”.可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為30 mm的圓面，中間有邊長為1 cm的正方形孔.隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略不計)，則油滴入孔中的概率為________.

此題雖然設(shè)置簡單，但其以歐陽修的文學(xué)作品為素材，將文理相聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)充盈歷史氣息的人文價值和衡量古人技藝的工具價值(人們運(yùn)用數(shù)學(xué)概率判斷事情的難易程度)，是編制其它試題時需要學(xué)習(xí)的.

3.5 牢抓本質(zhì)，穩(wěn)步提升數(shù)學(xué)特征水平

穩(wěn)步提升數(shù)學(xué)特征水平并不是要否定基礎(chǔ)題，而是要進(jìn)一步改進(jìn)目前數(shù)學(xué)文化類試題整體偏向基礎(chǔ)的現(xiàn)狀.為編制出更有深度的數(shù)學(xué)文化試題，應(yīng)拒絕“為文化而文化，為創(chuàng)新而創(chuàng)新”，應(yīng)講究“德才兼?zhèn)洹?如在統(tǒng)計與概率題中設(shè)置基于數(shù)據(jù)判斷的開放題，考查學(xué)生從情境中獲取信息并作出合理假設(shè)的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)；基于數(shù)學(xué)模型設(shè)置從特殊到一般的探究題，培養(yǎng)學(xué)生類比已有經(jīng)驗解決新問題的邏輯推理素養(yǎng)等.

例(2019·溫州)如圖8，在矩形ABCD中，E為AB中點，以BE為邊作正方形BEFG，邊EF交CD于點H，在邊BE上取點M使BM=BC，作MN∥BG交CD于點L，交FG于點N，歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖解釋了(a+b)(a-b)=a2-b2，現(xiàn)以點F為圓心，F(xiàn)E為半徑作圓弧交線段DH于點P，連結(jié)EP，記△EPH的面積為S1，圖中陰影部分的面積為S2.若點A、L、G在同一直線上，則S1與S2的比值為____________.

圖8 例圖Fig.8 Illustration

該試題結(jié)合了《幾何原本》中對(a+b)(a-b)=a2-b2的探究記載和教材中平方差證明的圖形，抓住了數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)原理，滲透了數(shù)形結(jié)合和面積轉(zhuǎn)換的思想，綜合考查了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和幾何直觀素養(yǎng)，突出了對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重視，十分值得借鑒.

4 結(jié) 語

本研究的目的是探究當(dāng)前中考數(shù)學(xué)文化類試題的現(xiàn)狀，并由此提出相應(yīng)的改進(jìn)策略，幫助改進(jìn)數(shù)學(xué)文化類試題的編制.本文的研究對象為浙江省中考數(shù)學(xué)文化類試題，研究維度為情境特征、價值特征和數(shù)學(xué)特征，其研究結(jié)果還存在一定的局限性.因此，研究者還可以選擇全國多地的中考數(shù)學(xué)試卷為研究對象，從其他維度分析數(shù)學(xué)文化類試題，并歸納其特征，探索提升試題內(nèi)涵的途徑，為我國的初中教育質(zhì)量檢測提供參考.