何芳

我們從小就喜歡玩紙飛機(jī)這個(gè)游戲，并不由自主得發(fā)起與同伴之間的紙飛機(jī)大賽，那么怎樣才能讓紙飛機(jī)飛得更高更遠(yuǎn)呢？今天就從數(shù)學(xué)角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題：假定紙飛機(jī)的機(jī)翼是平面，通過(guò)建立合理的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算出使紙飛機(jī)盡可能飛得遠(yuǎn)的最佳投擲角度。

1問(wèn)題表述

紙飛機(jī)飛行的動(dòng)力來(lái)自于出手時(shí)的動(dòng)能，在投出后，若是飛機(jī)的高度保持不變，而空氣阻力又會(huì)逐漸減緩飛機(jī)的速度，此時(shí)紙飛機(jī)便會(huì)用犧牲重力勢(shì)能的方式換取繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，因此我們看到的紙飛機(jī)多成一條滑翔軌跡。機(jī)翼與機(jī)身的比例是否恰當(dāng)，投擲力度是否合理，紙飛機(jī)的重心是否合理、投擲角度是否科學(xué)等因素都是紙飛機(jī)飛的高，飛得遠(yuǎn)的關(guān)鍵。

2.問(wèn)題分析

通過(guò)對(duì)紙飛機(jī)受力分析，研究紙飛機(jī)的拋出角度

紙飛機(jī)自身沒(méi)有動(dòng)力，在拋出瞬間獲得一定初速度，飛行時(shí)，機(jī)翼使空氣分流，形成上下壓力差，產(chǎn)生機(jī)翼的升力，升力與阻力合成為空氣動(dòng)力，維持紙飛機(jī)的飛行。因此需要根據(jù)伯努利定律，對(duì)紙飛機(jī)進(jìn)行受力分析，研究紙飛機(jī)的受力情況，討論氣流遇到紙飛機(jī)時(shí)，如何被機(jī)翼分成上下兩股氣流，形成壓力差從而產(chǎn)生升力。

3問(wèn)題的求解

（1）氣壓與氣流對(duì)機(jī)翼的作用

根據(jù)高一物理的學(xué)習(xí)，我們可以知道空氣流速越快，壓強(qiáng)越小;反之空氣流速越慢，壓強(qiáng)越大。氣流遇到紙飛機(jī)時(shí)，被分為兩股氣流，部分從機(jī)翼的上表面流走，部分從機(jī)翼的下部分流走。由于機(jī)翼的上表面比下表面凸出，所以上表面的氣體流速比下表面的流速快，機(jī)翼的上表面壓力比機(jī)翼的下表面壓力小，產(chǎn)生壓力差。兩邊相互較力，產(chǎn)生向上的推力，推動(dòng)紙飛機(jī)飛行。這個(gè)原理簡(jiǎn)單的數(shù)字表達(dá)式就是伯努利定律，以下式表示，其中p表示壓力。

P+1/2pv2=常數(shù)

（2）紙飛機(jī)受力原理

a動(dòng)力來(lái)源：紙飛機(jī)自身是沒(méi)有動(dòng)力的，它只能依靠被拋出時(shí)所受的瞬間推力，上升到一定高度時(shí)依靠自身重力向前滑行。

b阻力原理：空氣會(huì)對(duì)機(jī)身產(chǎn)生摩擦力，因此為增進(jìn)飛行效率，機(jī)型應(yīng)盡量設(shè)計(jì)得接近流線(xiàn)型，以減少阻力。

c升力原理：升力來(lái)源于前進(jìn)時(shí)在主翼上產(chǎn)生的向上的力，而空氣浮力會(huì)影響升力：流體對(duì)物體的浮力是由上下壓力差而產(chǎn)生的。對(duì)于紙飛機(jī)來(lái)說(shuō)，它的機(jī)翼很薄，機(jī)翼的上、下面與空氣的接觸面幾乎在同一高度，因此壓力差不大，假設(shè)可忽略不計(jì)。

d牛頓第三定律（作用力與反作用力定律）：對(duì)紙飛機(jī)的機(jī)翼進(jìn)行受力分析：拋出紙飛機(jī)時(shí)，會(huì)與水平面成一定的夾角，斜向上投擲。此時(shí)機(jī)身與水平線(xiàn)的夾角稱(chēng)為攻角?？諝鈺?huì)給紙飛機(jī)一個(gè)垂直于機(jī)翼的的力量，相對(duì)的機(jī)翼也會(huì)給空氣一個(gè)反作用力，這個(gè)力量的垂直分力即為飛機(jī)的升力，水平分力成為阻力的一部分。

（4）紙飛機(jī)的受力分析

受力分析方程：

F2= Fsinθ

F升= F2cosθ = Fsinθcosθ= 1/2Fsin2θ

F阻= F2sinθ= Fsinθsinθ= 1/2Fsin2θ

由上述方程解得當(dāng)θ=45°可求得F升有最大值，當(dāng)θ=90°時(shí)F阻有最大值，F(xiàn)升此時(shí)為0。

且此時(shí)F升=F阻

1/2Fsin2θ= Fsin2θ

1/2F2sinθcosθ= 1/2Fsinθcosθ

sinθ=cosθ所以θ=45°

（5）用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)建立最基礎(chǔ)的紙飛機(jī)運(yùn)動(dòng)模型

若t=0時(shí)刻，紙飛機(jī)被拋出，拋出時(shí)的速度為v，拋出角為θ，紙飛機(jī)的飛行軌跡如圖4所示，分析過(guò)程如下：

x（t）= vtcosθ

y（t）= vtsinθ-（gt2/2）

y/x=【vtsinθ-（gt2/2）】/vtcosθ

y/x=tanθ-（gt/2vcosθ）

可得紙飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程：

y= xtanθ-（x2g/2v2cos2θ）

問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求（式1）式的極值問(wèn)題：

對(duì)y=xtanθ-（x2g/2v2cos2θ），求導(dǎo)得：

y'= tanθ-（xg/v2cos2θ）

當(dāng)y'=0時(shí)，x=sin2θv2/2g。 當(dāng)θ=π/4時(shí)，x能達(dá)到最值xmax =v2/2g，我們得到最佳拋出角為：θ=π/4

考慮升力，阻力與機(jī)翼仰角的關(guān)系，如圖所示

結(jié)論：當(dāng)拋出角度為45°時(shí)，紙飛機(jī)的升力達(dá)到最大值，所以，拋出角為45度時(shí)，飛行距離會(huì)提高

4總結(jié)

因此投擲紙飛機(jī)的最佳角度約45度，同時(shí)應(yīng)設(shè)計(jì)流線(xiàn)型機(jī)型，選擇最佳的紙飛機(jī)結(jié)構(gòu)以及選擇硬度較大的紙等。同時(shí)猜想這個(gè)角度可以適用于投擲類(lèi)項(xiàng)目，如鉛球，鏈球等。

5. 文獻(xiàn)參考：伯努利定律

在一個(gè)流體系統(tǒng)，比如氣流、水流中，流速越快，流體產(chǎn)生的壓力就越小，這就是被稱(chēng)為“流體力學(xué)之父”的丹尼爾·伯努利1738年發(fā)現(xiàn)的“伯努利定律”。

這個(gè)壓力產(chǎn)生的力量是巨大的，空氣能夠托起沉重的飛機(jī)，就是利用了伯努利定律。飛機(jī)機(jī)翼的上表面是流 暢的曲面，下表面則是平面。這樣，機(jī)翼上表面的氣流速度就大于下表面的氣流速度，所以機(jī)翼下方氣流產(chǎn)生的壓力就大于上方氣流的壓力，飛機(jī)就被這巨大的壓力差“托浮”住了。