李家林，奧 迪，王 楊，熊 銳

（1. 廣東工業(yè)大學 機電工程學院，廣州 510006，中國；2. 澳門大學 科技學院，澳門 999078，中國；3. 吉林大學汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130012，中國）

四輪獨立驅動電動汽車 (electric vehicles, EV)[1]不僅節(jié)能環(huán)保，而且可以通過輪轂電機將驅動力矩和制動力矩直接快速地傳遞給4個車輪，準確地識別出車輪的速度、扭矩、車輪側角等優(yōu)勢，有助于提高車輛行駛過程中的側向穩(wěn)定性[2-7]和駕駛安全性。

據(jù)統(tǒng)計[8]，在2019年中國交通事故死亡人數(shù)中，機動車交通事故死亡人數(shù)約5.7萬人，其中汽車交通事故死亡人數(shù)約4.3萬人。因此，為減少由于車輛失控而導致交通事故的數(shù)量和嚴重性，對駕駛控制技術研究現(xiàn)狀[9]進行深入分析總結，很多研究學者提出了各種不同的控制器[10-12]來提高汽車穩(wěn)定性。

文獻[13]提出了一種不完全依賴被控對象模型準確性的方法，將模糊控制應用于非線性系統(tǒng)。但該方法過于依賴專家經(jīng)驗，實用性有待進一步拓展。文獻[14]提出了一種模型預測的控制方法，其動態(tài)性能好，對于模型的精度要求低，但由于系統(tǒng)模型實時迭代計算復雜，難以保證控制器的實時性。文獻[15]提出了一種在對抗外部干擾有明顯作用的非奇異快速終端滑?？刂品椒?，但在控制過程中，由于驅動力矩高頻抖振，進而引發(fā)系統(tǒng)高頻抖振現(xiàn)象，從而導致驅動電機的疲勞磨損[16]，降低控制器性能。但以上文獻中并未考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性的影響，因此本文通過自適應控制來降低系統(tǒng)參數(shù)的不確定性。

針對汽車穩(wěn)定性控制領域，文獻[17]考慮到車輛主動前輪轉向和縱向滑移率，通過設計自適應率來控制制動力分配給各個車輪，以達到車輛穩(wěn)定狀態(tài)。文獻[18]利用模型參考算法中的自適應律來估計車輛前后輪側偏剛度的變化，以確?？刂破鞯聂敯粜?，提高車輛橫向動力學的自適應控制。

文獻[19]提出了一種新型的自適應隨機映射神經(jīng)網(wǎng)絡控制算法，使用該算法應用于主動前輪轉向，能夠快速適應參數(shù)時變的被控系統(tǒng)。在實際應用中，百度Apollo無人駕駛[20]項目運用模型參考自適應 (model reference adaptive control, MRAC) 控制算法在路徑追蹤和自適應不同的轉向系統(tǒng)方面也取得了不錯的效果，但以上自適應控制器并未在汽車直接橫擺力矩控制中應用。此外，由上述自適應控制器所輸出的橫擺力矩無法直接分配至4個車輪，因此基于不同目標的力矩分配也是亟待解決的問題。

文獻[21]中，采取前后車輪比例制動的控制策略，將所得橫擺力矩按比例分配至各個車輪，雖有一定的控制效果，但其未考慮輪胎利用率等問題。在文獻[22]中，利用基于零空間的控制重新分配方法，并考慮每個車輪的輪胎利用率的約束，但由于計算量較大，對控制器要求高，現(xiàn)有條件難以滿足。

為了提高車輛行駛安全性，本文提出了一種基于MRAC的直接橫擺力矩控制的方法。在上層控制器中，利用二自由度車輛模型和一組假定的參數(shù)來設計穩(wěn)定性控制器，并利用Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性分析得到自適應估計率來解決由于車輛在行駛過程中重要參數(shù)不恒定的問題。在下層力矩分配控制器中，考慮車輛輪胎利用率和電機輸出限制，利用二次規(guī)劃法進行優(yōu)化分配，其不僅運算速度快，而且能處理多約束條件問題，以保證動態(tài)響應的實時性。最后，本文在雙移線高低附著因數(shù)工況下利用CarSim與Simulink聯(lián)合仿真。

1 車輛模型

1.1 汽車動力學模型

本文采用簡化的線性單軌車輛模型作為車輛理想模型，并以此設計橫擺力矩控制器。其二自由度線性車輛模型如圖1所示。

圖1 二自由度線性車輛模型

在圖1中，Kf、Kr分別為前后輪側偏剛度；β、ω分別為質(zhì)心側偏角和橫擺角速度；m為車身總質(zhì)量；La、Lb分別為前后軸長度；L為軸長；Vx、Vy分別為縱向、側向速度；δ為前輪轉向角；αf、αr分別為前后輪側偏角；I為車輛質(zhì)心。

在該模型中做出了如下幾個假設：

1） 前輪轉向角很??；

2） 忽略所存在的各類阻力以及懸架系統(tǒng)動力學影響（空氣、滾動以及摩擦）；

3） 輪胎性能和輪胎力在線性區(qū)域內(nèi)。

二自由度線性車輛模型的運動微分方程如下：

式中：Iz為繞Z軸的轉動慣量；ΔMz附加橫擺力矩。

化簡得到狀態(tài)空間方程式為：

式中：

在車輛以恒定速度穩(wěn)定向前以及過彎時，二自由度車輛模型ω與β的理想值可表示為：

考慮道路附著情況，上述理想值需加以限定并進行修正，通過修正后的表達式為：

1.2 車輪模型

本文選用魔術輪胎公式(magic formula)[23-24]輪胎模型進行輪胎建模。該輪胎模型在文獻中被廣泛采用，并已被證明足夠準確，可以預測實際的輪胎動力學。魔術輪胎公式[25]數(shù)學表達式如下：

式中：κ為輸入變量（車輪滑移率λ或輪胎側滑角α/rad）；Y(κ)為輸出變量輪胎縱向力Fxij/N或側向力Fyij/N；Sh、Sv分別為曲線的水平和垂直方向漂移；G、C、D、E分別為剛度因子、形狀因子、顛因子和曲率因子。

分析擬合實驗數(shù)據(jù)得到：魔術輪胎縱向力Fxij、側向力Fyij和輪胎垂向力Fzij。橫、縱向力零點處的剛度因子為H，H=GCD，分別在縱向力和側向力因子后加下標x、y表示。

Fxij、Fyij表達式中的因子分別為：

4個車輪的垂向力可表示為：

式中：Fzij為各輪垂向力；i= f,r;j= l,r;ax、ay為橫向和縱向加速度；hmc為質(zhì)心高度。

2 上層控制器

針對系統(tǒng)參數(shù)不確定的情況，本文在上層控制器中推導出一個使得跟蹤誤差漸近收斂，并且與系統(tǒng)參數(shù)無關的控制率。一般情況下，自適應參數(shù)估計不會完全收斂到與系統(tǒng)參數(shù)的真實值相等，但在過程中通過實時更新可無限接近其真實值，同時為保證控制率收斂，自適應控制器的控制輸入、狀態(tài)量和參數(shù)估計在運行過程中需保持有界。因此，為更好的估計未知系統(tǒng)參數(shù)、提高車輛行駛穩(wěn)定性以及行駛舒適性[26]，提出了一種模型參考自適應直接橫擺力矩控制器。系統(tǒng)控制構架具體設計如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)控制架構圖

2.1 MRAC推導

根據(jù)二自由度車輛運動模型，由式（2）可簡化系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：

系統(tǒng)實際狀態(tài)量為x與理想狀態(tài)變量xd，設跟蹤誤差e及其導數(shù)為：

聯(lián)立式（10）、（11）得動態(tài)誤差方程：

由式（13）可得系統(tǒng)控制率為：

聯(lián)立式（13）、（15）得動態(tài)誤差為：

在控制率（15）中，K*、L*不能直接計算，因此對系統(tǒng)控制率未知參數(shù)進行估計得參數(shù)估計誤差為：

根據(jù)未知系統(tǒng)參數(shù)估計值，設計自適應控制率為：

由式（12）、（13）、（17）、（18）得動態(tài)誤差方程可改為：

當矩陣L*正定，ρ= 1，當矩陣L*負定，ρ= 1，因此，定義矩陣Ω如下，且始終為正定矩陣。

2.2 MRAC穩(wěn)定性證明

本文采用Lyapunov直接法來證明所提出控制器的穩(wěn)定性，在MRAC控制器證明中，為建立更好的參數(shù)調(diào)節(jié)機制，保證系統(tǒng)能夠收斂穩(wěn)定，匹配到一個更為合理的Lyapunov函數(shù)至關重要。故定義Lyapunov方程為：

式中：P、Ω為正定對稱矩陣，則V＞0；tr為矩陣的跡。

由Hurwitz矩陣性質(zhì)可得：

式中：Q任意正定對稱矩陣。

對Lyapunov矩陣進行求導得

聯(lián)立式（22）、（23）得

簡化得

根據(jù)矩陣的跡的性質(zhì)得

聯(lián)立式（25）、（26）得

根據(jù)對稱矩陣以及矩陣的跡的性質(zhì)得：

聯(lián)立式（27）、（28）、（29）得

聯(lián)立式（30）、（31）、（32），可得

由V≥0，且，可知控制輸入和自適應控制率在有限時間內(nèi)使得參數(shù)和狀態(tài)量保持有界，跟蹤誤差接近于零，進而趨于穩(wěn)定。這說明了本控制器滿足穩(wěn)定性要求。

3 下層控制器

在此節(jié)設計中，本文將上層控制器的輸出力矩有效地分配至各個車輪，達到最佳分配效果，從而使車輛在行駛中更為穩(wěn)定。其輪胎力作為車輛穩(wěn)定性的重要參考因素，當輪胎利用率[27]達到最低時，其利用潛能越大。本文僅考慮對輪胎驅動效能的側向力進行控制，目標函數(shù)可寫為：

由δ較小，cosδ≈ 0，可得上層控制器輸入變量ΔMz與總縱向力需求Fx的約束條件：

轉變?yōu)榫仃囆问綖?/p>

式中：H為效率矩陣；Tw為左右輪距；r為車輪半徑，其余見下式：

受輪轂電機最大轉矩約束條件為

式中：Tqmax為輪轂電機最大轉矩。

聯(lián)立式（34）、（36）、（38）得標準二次型：

為最大限度地提高控制效果，以實現(xiàn)車輛行駛穩(wěn)定性。本文利用二次規(guī)劃法[28]進行目標函數(shù)求解，將上述MRAC力矩ΔMz分配到各個車輪，為簡化步驟及減少運算時間，其優(yōu)化目標函數(shù)可改為下式：

式中：Wv為分配需求權重矩陣，Wv= diag[1 1 1 1]；Wτ為控制向量權重矩陣，Wτ= diag[10 10 10 10]；τref=[0 0 0 0]T。

目標函數(shù)J中，以車輛穩(wěn)定為目的，將目標函數(shù)值盡可能的降至最小。本文選用Matlab優(yōu)化工具箱中的函數(shù)“ Quadprog ”求解器來實時計算最優(yōu)的縱向力[29]。

4 Carsim與Simulink聯(lián)合仿真驗證

為驗證上述算法有效性，利用Carsim與Simulink在高、低附工況下進行聯(lián)合仿真驗證。其雙移線工況根據(jù)國際乘用車穩(wěn)定性測試標準[30]而來。本文選取車輛參數(shù)如表1所示。

表1 車輛參數(shù)

4.1 控制器參數(shù)設置

由于對于控制器增益矩陣并無通用的調(diào)節(jié)技術，選擇不同的Hm和P矩陣可對應產(chǎn)生不同的結果。為保證MRAC控制器的有效性，滿足Lyapunov證明條件下，本文對控制器的參數(shù)進行標定得到一組合理的參數(shù)，其MRAC增益矩陣

4.2 雙移線工況（高附、低附）

本文分別在道路附著因數(shù)μ為0.85和0.40的工況下，以Vx= 80 km/h進行聯(lián)合仿真。通過在無控制情況、SMC方法和MRAC方法下進行穩(wěn)定性比較，其中SMC采用文獻[31]中的滑?？刂扑惴ā７抡娴脵M擺角速度、質(zhì)心側偏角、X-Y軸位移圖以及橫擺力矩圖，如圖3所示（圖3在下頁）。

如圖3a所示：MRAC方法的橫擺角速度在峰值上較SMC方法下降了17.1%、無控制狀態(tài)下降了19.4%；MRAC方法的質(zhì)心側偏角在峰值上較SMC方法下降了34.5%、較無控制狀態(tài)下降了54.8%；在期望軌跡上Y軸的峰值最小，波形更接近于參考軌跡；其所得橫擺力矩的波形圖也較SMC更為平滑。

如圖3b所示：由于附著因數(shù)低，路面能夠提供的附著力有限，車輛以Vx= 80 km / h的行駛過程出現(xiàn)一定的波動情況。對比SMC和無控制的效果中，在MRAC控制下有效地限制了ω與β的變化，其中ω在峰值上較SMC下降了7.1%、無控制狀態(tài)下降了16.1%；β在峰值上較SMC下降了26.5%、較無控制狀態(tài)下降了64.3%；在期望軌跡對比中，在MRAC下軌跡更符合駕駛意圖，依舊表現(xiàn)出了良好的控制效果；同時，橫擺力矩消除SMC了抖振，且所需峰值更低。為更加直觀的量化控制器性能，本文使用平均絕對誤差(mean absolute error, MAE)來評價。其計算公式為：

圖3 不同附著條件下的狀態(tài)量比較

式中：error為采樣時間的跟蹤誤差值；n為樣本數(shù)量。

通過計算可得在高低附工況下的橫擺角速度、質(zhì)心側偏角以及X-Y位移軌跡的MAE值如表2所示。

表2 雙移線工況平均絕對誤差MAE

在高附工況下，所提出的MRAC與傳統(tǒng)的SMC相比，跟蹤橫擺角速度ω、質(zhì)心側偏角β以及X-Y位移軌跡Dy的MAE分別降低了43.0%、37.1%和17.5%；在低附工況下，跟蹤橫擺角速度、質(zhì)心側偏角以及X-Y位移軌跡的MAE分別降低了25.3%、23.2%和12.5%。進一步說明了本文所設計的MRAC穩(wěn)定性控制算法具有更好地控制效果。

5 結 論

本文針對車輛模型中系統(tǒng)參數(shù)不確定性的問題，設計了一種基于MRAC的橫擺力矩穩(wěn)定性分層控制算法。在上層控制器中，通過自適應律對車輛系統(tǒng)參數(shù)進行實時估計，獲得期望的附加橫擺力矩；在下層控制器中，考慮到輪胎利用率、電機最大扭矩輸出約束以及道路附著力約束，利用二次規(guī)劃對目標函數(shù)進行求解，將附加橫擺力矩進行合理地分配至4個車輪，保證分配力矩的實時性。最后采用Matlab/Simulink與汽車動力學仿真軟件Carsim進行聯(lián)合仿真測試。

結果表明：本文所提出的MRAC控制算法與傳統(tǒng)滑模算法相比，一方面克服了滑模算法帶來的抖振，降低了質(zhì)心側偏角、橫擺角速度以及縱向位移的大??；另一方面通過自適應律實時估計來抑制系統(tǒng)的不確定性擾動，改善了控制器的效能，進而提高了車輛行駛的安全性以及可靠性。

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