王全來

(天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,天津 300387)

1 引言

多項(xiàng)式以及整函數(shù)零點(diǎn)問題經(jīng)常出現(xiàn)于數(shù)學(xué)、物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中.該問題在柯西、傅里葉、波利亞等人工作的影響下,關(guān)于多項(xiàng)式以及整函數(shù)零點(diǎn)的研究一直是數(shù)學(xué)學(xué)科的經(jīng)典課題之一.多項(xiàng)式的零點(diǎn)定理一般不能自然地推廣到整函數(shù)上去,特別是有微分運(yùn)算的定理,對(duì)此波利亞做出了奠基性的工作.他深入研究了一個(gè)函數(shù)在微分運(yùn)算下的零點(diǎn)行為,得到了許多深刻結(jié)果,函數(shù)的最后集理論即是其中之一,其思想和方法影響至今.函數(shù)的最后集理論散見于一些數(shù)學(xué)理論著作中.對(duì)于波利亞的最后集工作,阿蘭德森(G.L.Alexanderson)在2000年的著作中只是簡(jiǎn)單提及,缺乏系統(tǒng)研究[1].除此之外,國內(nèi)外尚未見到其它研究文獻(xiàn).鑒于此,本文以原始文獻(xiàn)(挖掘了一些鮮為人知的文獻(xiàn),如馬爾科夫 (A.A.Markoff)、費(fèi)耶(E.Feyer)等人的工作)為依據(jù),系統(tǒng)梳理了波利亞在函數(shù)最后集上的工作,借此探討了函數(shù)最后集理論的發(fā)展脈絡(luò),以補(bǔ)現(xiàn)有文獻(xiàn)的不足.

2 最后集提出的背景

2.1 波利亞之前一些學(xué)者的相關(guān)工作

多項(xiàng)式零點(diǎn)理論中一個(gè)重要組成部分是對(duì)多項(xiàng)式及其導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)關(guān)系的研究,例如早在1816年,高斯在數(shù)學(xué)筆記中就對(duì)多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)給出了物理解釋.1874年,拉卡斯(F.Lucas)闡述并證明了高斯-拉卡斯定理:一個(gè)多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)包含在該多項(xiàng)式零點(diǎn)的凸包中.在1901年,格瑞斯(J.H.Grace)在5頁篇幅的論文中獲得了一個(gè)奇特的非極性定理.若f(z)為一個(gè)多項(xiàng)式,

f(a)=f(b)=0,

一個(gè)無窮級(jí)數(shù)a0+a1z+a2z2+···在z的整個(gè)有限平面內(nèi)收斂,在一定意義上是多項(xiàng)式a0+a1z+a2z2+···+anzn的一般化,稱為整函數(shù).然而把關(guān)于多項(xiàng)式零點(diǎn)的一些定理毫無限制地用于整函數(shù)的努力失敗.例如若一個(gè)多項(xiàng)式只有實(shí)根,則其導(dǎo)數(shù)也只有實(shí)根,但對(duì)整函數(shù)而言不一定成立.波萊爾在“整函數(shù)課程”(1900)中對(duì)此有詳細(xì)介紹.這個(gè)理論的主要問題之一是尋找實(shí)函數(shù)的零點(diǎn)和其導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系.在這個(gè)方向,拉蓋爾在19世紀(jì)80年代早期首先考察.自從那之后很少有進(jìn)步獲得,直到波利亞才獲得了一些有意義的推廣.

值得一提的是,在此期間,奧蘭德(M.?lander)的工作對(duì)波利亞有重要影響.他的工作主要是對(duì)函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問題進(jìn)行了深入研究,其發(fā)表的3篇論文,“整函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)遷移”(1914),“實(shí)整函數(shù)導(dǎo)數(shù)的例外根”(1916),“有理函數(shù)和其它亞純函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1920),主要結(jié)果和型是2,3,4,5的整函數(shù)及有理函數(shù)有關(guān),闡述了一些值得注意的觀點(diǎn)和猜想及一些啟發(fā)性研究的例子[4].波利亞不僅回答了奧蘭德提出的一些問題,而且在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究和思考.

2.2 波利亞與之有關(guān)的早期工作

波利亞首先涉及這方面的工作,始于他和林德瓦特(E.Lindwart)在“論多項(xiàng)式序列的收斂和零點(diǎn)分布之間的關(guān)系”(1913)中研究多項(xiàng)式序列零點(diǎn)分布問題.在該文中,他們指出,若級(jí)數(shù)a0+a1x+a2x2+···在|x|<1內(nèi)收斂,且系數(shù)滿足a0>a1>a2>···>0,則收斂圓的整個(gè)圓周上的點(diǎn)屬于零點(diǎn)的聚集.詹逖生(R.Jentzsch)在1914年、1918年證明,若Pn(z)=a0+a1z+a2z2+···+anzn表示冪級(jí)數(shù)a0+a1z+a2z2+···的前n項(xiàng)和,則圓周|z|=R的每個(gè)點(diǎn)為Pn(z)的零點(diǎn)的聚點(diǎn),其中R為有限數(shù)[5].

波利亞在“關(guān)于整函數(shù)的一個(gè)問題”(1914)和“整函數(shù)理論注釋”(1915)中指出,若一個(gè)超越實(shí)整函數(shù)和其二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)的,則所有導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)為實(shí)的.在上述文章的基礎(chǔ)上,波利亞在“某超越整函數(shù)零點(diǎn)的幾何釋義”(1920)中對(duì)指數(shù)多項(xiàng)式零點(diǎn)分布從幾何角度研究,給出了一般性定理,但沒有證明.詳細(xì)和進(jìn)一步的結(jié)果出現(xiàn)在其學(xué)生施溫格爾(E.Schwengeler)的博士論文中[6].波利亞的這個(gè)工作開創(chuàng)了指數(shù)類型的整函數(shù)零點(diǎn)分布的現(xiàn)代理論.中國學(xué)者莊圻泰,李文清等在這方面涉及了一些工作.

在這篇文章中,波利亞給出3個(gè)重要定理.其中如下定理奠定了波利亞其后提出函數(shù)最后集的思想基礎(chǔ).

設(shè)超越整函數(shù)

為復(fù)平面內(nèi)互不相同的點(diǎn),P1(z),P2(z),···,Pm(z)為多項(xiàng)式,m大于 1.a1,a2,···,am的共軛為b1,b2,···,bm,μ為包含a1,a2,···,am的最小凸多邊形,μ?為包含b1,b2,···,bm的最小凸多邊形,則F(z)的零點(diǎn)集中趨于l條不同的射線,多邊形μ?的外法線是平行的,其中l(wèi)是與這些點(diǎn)有關(guān)的射線,且l≤m.

值得一提的是,該文中的另一定理給出了在多邊形的每條邊上的零點(diǎn)數(shù)的估計(jì)值,引起了其他學(xué)者的注意,如杜邦 (E.Dubon)在 2015年,何透康斯 (J.Heittokangas)在2019年的研究[7]等.

3 波利亞在最后集上的重要工作

波利亞在函數(shù)最后集上的工作主要涉及的論文有6篇,分別是“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1922),“詹森的代數(shù)函數(shù)理論研究”(1927),“與傅里葉關(guān)于超越方程有關(guān)的一些問題”(1930),“某類整函數(shù)幾乎所有導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)的實(shí)性”(1937),“一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和其解析性”(1943),“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn):一個(gè)例子”(1976).波利亞在1922年的論文中提出了最后集思想,但沒有給出最后集的名字:隨后的四篇論文,波利亞對(duì)特殊類的整函數(shù)的最后集進(jìn)行了研究:波利亞在1943年正式給出分析學(xué)定義和命名.

3.1 最后集思想的提出 —1922年文章的分析

波利亞在“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1922)中正式提出了函數(shù)最后集的思想.該文分為四部分.在第一部分緒論中,波利亞指出研究函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)分布問題是本文的中心,并給出了4個(gè)重要定理,從幾何上進(jìn)行了解釋,沒有給出嚴(yán)格證明.

定理 3.1設(shè)R(z)為一個(gè)有理分式函數(shù),R(n)(z)的非實(shí)零點(diǎn)數(shù)隨著n增加,除下面兩種例外情況.(1)R(z)在平面內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn);(2)R(z)在平面內(nèi)有兩個(gè)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的極點(diǎn).該定理回答了由奧蘭德在1920年的論文中提出的問題.

定理 3.2設(shè)P(z),Q(z)為多項(xiàng)式,Q(0)=0,G(z)=P(z)eQ(z).G(n)(z)的非實(shí)零點(diǎn)數(shù)隨著n增加,除下面兩種例外情況.(1)G(z)的次數(shù)為1;(2)G(z)的次數(shù)為2,Q(z)=bz?cz2,b為實(shí)數(shù),c大于0.該定理改進(jìn)了波利亞在“關(guān)于整函數(shù)的一個(gè)問題”和“整函數(shù)理論注釋”中的主要結(jié)果.

定理 3.3設(shè)F(z)為亞純函數(shù),研究由其各階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)構(gòu)成的可數(shù)集合,這個(gè)集合的聚集只依賴于F(z)的極點(diǎn)位置.點(diǎn)z屬于聚集當(dāng)且僅當(dāng)z與F(z)的兩個(gè)最近的極點(diǎn)等距.

該定理給出了一個(gè)漂亮結(jié)果,一個(gè)亞純函數(shù)的全部導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)的聚集由多邊形構(gòu)成,其頂點(diǎn)是與兩個(gè)最近的極點(diǎn)等距的點(diǎn).

定理3.4設(shè)P(z),Q(z)為多項(xiàng)式,

G(z)的各階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)集的聚點(diǎn)只依賴于次數(shù)q,b和b1.由點(diǎn)z=?b1q?b出發(fā)的q條射線把平面分割成q個(gè)相等的角域,這些射線可以理解成與方程bzq+1=0的q個(gè)根形成的向量平行.

該定理由麥克蘭尼 (G.R.MacLane)在 1955年推廣到P(z)為標(biāo)準(zhǔn)積的情況[8].麥克勞德 (R.Mcleod)在 1959年利用篩點(diǎn)法進(jìn)一步一般化[9].該法由海曼(W.K.Hayman)在“斯特靈公式的一般化”(1956)中提出.

給出定理3.1,定理3.2之后,波利亞指出,“我們的注意力不要僅放在這些特例上,而更應(yīng)放在方法上,而這種方法就是幾何方法”,“在定理3.3中提到的聚點(diǎn)集合為一個(gè)純粹的幾何想象的奇特的集合,將有一個(gè)詳盡的描述”.波利亞給出如下解釋:設(shè)a為指定亞純函數(shù)F(z)的一個(gè)極點(diǎn),z為平面內(nèi)的點(diǎn),與F(z)的其它極點(diǎn)相比,更靠近a.建立a的活動(dòng)域,當(dāng)a和b為F(z)的兩個(gè)不同極點(diǎn)時(shí),活動(dòng)域有共同的邊界點(diǎn),位于a和b的垂直平分線上,a的活動(dòng)域?yàn)橐粋€(gè)凸多邊形的內(nèi)點(diǎn),并最終趨于無窮.

惠特克(J.M.Whittaker)受波利亞關(guān)于最后集幾何思想的影響,在“插值函數(shù)理論”(1935)的第3章中專設(shè)一節(jié)以“一個(gè)亞純函數(shù)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)無窮行為的波利亞定理”為標(biāo)題討論了波利亞的最后集定理,他稱為波利亞郡定理,并給出了十分具有啟發(fā)性的幾何解釋.f(z)的一個(gè)極點(diǎn)λ的郡將由平面內(nèi)所有點(diǎn)z構(gòu)成,與f(z)的其它極點(diǎn)相比更接近于λ,則一個(gè)亞純函數(shù)的最后集由其極點(diǎn)的郡的邊界構(gòu)成[10].海曼在“亞純函數(shù)”(1964)中給出該定理的證明.

由定理3.3知,亞純函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成集合的聚集,和邊界線上的全部點(diǎn)的集合相等,亞純函數(shù)的不同極點(diǎn)的活動(dòng)域是不同的.這個(gè)區(qū)域由極點(diǎn)控制,和這樣的點(diǎn)的集合相等,在其中亞純函數(shù)可以展成一個(gè)冪級(jí)數(shù),收斂邊界上有唯一奇點(diǎn).平面內(nèi)只有這樣的點(diǎn)才能是一個(gè)亞純函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的聚點(diǎn).當(dāng)亞純函數(shù)只有一個(gè)極點(diǎn)時(shí),連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)無聚點(diǎn).若亞純函數(shù)只有一個(gè)極點(diǎn),則該函數(shù)的最后集是空的,唯一極點(diǎn)對(duì)于該函數(shù)的連續(xù)階導(dǎo)數(shù)可產(chǎn)生無零點(diǎn)的區(qū)域.這樣的無零點(diǎn)區(qū)域的漸近大小在蕭氏(J.K.Shaw)和普拉瑟(C.Prather)1982年的論文中得到[11].

馬爾科夫在1912年曾證明,有理函數(shù)(1+z2)?1的n階導(dǎo)數(shù)有n個(gè)實(shí)根,由此可得到e?z2的連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),且與實(shí)軸上的每個(gè)點(diǎn)無限接近[12].由定理3.3,定理3.4知,在上面的研究中,n階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)集隨著n趨于一個(gè)極限位置.波利亞指出,“在某種意義下,我將在后面給出準(zhǔn)確定義.這個(gè)極限位置和全部零點(diǎn)的聚點(diǎn)集相等”.

第二部分(亞純函數(shù)):在這一部分中,波利亞討論了平面內(nèi)的3類點(diǎn),借以把亞純函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)集分為3類,給出了定理3.3的兩個(gè)補(bǔ)充定理.

補(bǔ)充定理3.1:若F(z)為亞純函數(shù),其n階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)集趨于一個(gè)固定的極限位置,一個(gè)點(diǎn)屬于這個(gè)極限位置當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)位于兩個(gè)最近的極點(diǎn)的平分線上.

補(bǔ)充定理3.2:若F(z)為亞純函數(shù),其n階導(dǎo)數(shù)的a-點(diǎn)集合趨于一個(gè)固定極限位置,這個(gè)極限位置和由n階導(dǎo)數(shù)的a-點(diǎn)構(gòu)成的可數(shù)點(diǎn)集的聚點(diǎn)集合相等.

第三部分(具有有限多個(gè)零點(diǎn)的有限型的整函數(shù)):在這一部分,波利亞依據(jù)凸多邊形理論,采用幾何語言對(duì)定理3.4進(jìn)行闡述和說明,用到了柯西中值定理.

第四部分(例外情況的討論):對(duì)定理3.1,定理3.2中給出的例外情況進(jìn)行討論.設(shè)R(z)為有理函數(shù),R(n)(z)=F(z?1).通過R(n)(z)的零點(diǎn)行為在z=∞處的情況可得到F(z?1)的零點(diǎn)行為,這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)分布與最小凸多邊形理論研究有關(guān).值得一提的是,龐加萊在1895年,費(fèi)耶在1919年都對(duì)此有所論及[13],并對(duì)波利亞有一定影響.

在文末,波利亞提出希望讀者繼續(xù)對(duì)第四部分的問題進(jìn)行研究,得到了一些學(xué)者的響應(yīng),如包斯(R.P.Boas)、蕭氏、普拉瑟等人獲得了一些深刻的結(jié)果.

3.2 實(shí)整函數(shù)的最后集研究

波利亞在“詹森的代數(shù)函數(shù)理論研究”(1927)中闡述但未證的一個(gè)斷言:“若一個(gè)實(shí)整函數(shù)f(z)的階小于,f(z)只有有限多個(gè)虛根,則其導(dǎo)數(shù)從某項(xiàng)開始無虛根”.他在1930年的文章中給出該論斷的證明,并提出傅里葉-波利亞猜想.奧蘭德在1930年也獨(dú)立證明了該論斷,并給出一個(gè)非常驚人的定理,“存在任意階的整函數(shù),在復(fù)平面的每個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)導(dǎo)數(shù)為 0”[14].以此為據(jù),利用波利亞 1922年文章的思想,威曼(A.Wiman)在1930年給出如下定理:存在一個(gè)整函數(shù)ezf(z),f(z)為型是0的整函數(shù),其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)的聚點(diǎn)有兩種可能或是整個(gè)實(shí)軸或?yàn)闊o窮[15].

威曼在奧蘭德,波利亞等人的影響下,在1937年推廣了他們的定理,證明階小于1時(shí)結(jié)論也成立[16].同年,波利亞在看到威曼的論文手稿后,證明對(duì)于一個(gè)實(shí)整函數(shù),且只有有限多個(gè)非負(fù)實(shí)根,只要階小于,則其最后集為實(shí)軸子集.他也猜想可以由2代替,由柯夫(T.Craven)、科爾達(dá)斯(G.Csordas)、史密斯(W.Smith)在1987年證明[17].普拉瑟在1986年證明,當(dāng)用更一般的微分算子代替微分運(yùn)算時(shí)波利亞提出的的結(jié)論也成立[18].

威曼在1937年的論文中曾指出,僅通過函數(shù)非實(shí)零點(diǎn)的位置可得到一個(gè)確定的區(qū)域,其n階導(dǎo)數(shù)的全部非實(shí)零點(diǎn)包含在內(nèi).波利亞在1937年進(jìn)一步指出,若函數(shù)的每個(gè)非實(shí)零點(diǎn)α+iβ滿足|β|<1,則僅通過函數(shù)的非實(shí)零點(diǎn)的位置確定一個(gè)n0,當(dāng)n>n0時(shí),函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的全部例外零點(diǎn)和全部非實(shí)零點(diǎn)都位于圓內(nèi).他在該文中深入探討了函數(shù)的可疑圓和自由圓問題.令f(z)為超越整函數(shù),若rk是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的最大圓半徑,在其中f(k)(z)無零點(diǎn).包斯、雷迪(R.Reddy)在1973年指出,若f(z)為階至多是2的有限型的整函數(shù),則在平面內(nèi)任意處存在任意大圓,在其中無窮多個(gè)f(k)(z)無零點(diǎn)[19].在包斯和雷迪論文之后,雷迪在1974年考察了對(duì)D算子的無零點(diǎn)圓問題,證明了對(duì)于導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)的許多結(jié)果為該算子一般理論的特例[20].對(duì)于階高于2,該定理不再有效.在這方面有一個(gè)假設(shè)為包斯猜想:若ρ>2,則存在階是ρ的整函數(shù)f(z)使得對(duì)某個(gè)正數(shù)A,半徑為A的任意圓,無論在平面何處,總含f(n)(z)的一個(gè)零點(diǎn).普拉瑟、蕭氏在1983年對(duì)此也有探討[21].

3.3 最后集的分析學(xué)定義及其命名 — 1943年文章的分析

波利亞在1922年的論文中發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的極點(diǎn)分布和最后集之間的非常有趣的聯(lián)系.波利亞在“一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和其解析性”(1943)中,以這個(gè)問題開始,“當(dāng)n很大時(shí),f(z)的第n階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)行為如何?這些行為依賴于f(z)的解析性質(zhì)嗎?f(z)的連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)有確定趨勢(shì)嗎?若有,我們能找到這種趨勢(shì)嗎?”

波利亞在該文第二部分給出了幾個(gè)關(guān)鍵性的定義,其中之一為函數(shù)的最后集,最后集的名字首次出現(xiàn).一般來講,一個(gè)極點(diǎn)的鄰域是一個(gè)開的凸集,其邊界由折線構(gòu)成.波利亞定義了一個(gè)集合稱為函數(shù)f(z):C→C的最后集D,由f(z)的全部導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)集的聚點(diǎn)構(gòu)成.

在第三部分 (亞純函數(shù)),波利亞開篇指出:設(shè)f(z)為亞純函數(shù),其極點(diǎn)作為關(guān)于f(n)(z)的零點(diǎn)排斥的中心.一個(gè)亞純函數(shù)的最后集不含任何極點(diǎn)區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn),但含所有在兩個(gè)或多個(gè)極點(diǎn)區(qū)域的共同邊界的點(diǎn).值得注意的是最后集完全由f(z)的極點(diǎn)分布確定,不依賴于極點(diǎn)的階及留數(shù).

在第四部分(具有一個(gè)本性奇點(diǎn)的函數(shù)),波利亞考慮了點(diǎn)z=0為有限奇點(diǎn)情況.若z=0為一個(gè)極點(diǎn),整個(gè)平面為其區(qū)域,則f(n)(z)的零點(diǎn)趨于無窮,無極限點(diǎn),最后集為空集.但z=0若為本性奇點(diǎn),則情況不同.f(n)(z)的零點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)不定,只依賴于奇點(diǎn)位置不再正確,例如f(z)=z?1e?z?1,f(n)(z)的零點(diǎn)為正實(shí)數(shù),最后集為正半軸.波利亞沒有給出該斷言的證明.若z變?yōu)閦eiα,為固定實(shí)數(shù),0<α<2π,則f(z)的奇點(diǎn)為原點(diǎn),但f(n)(z)的零點(diǎn)沿來自于該奇點(diǎn)的另一條射線趨于稠密,最后集改變位置.在波利亞該例的影響下,埃德雷(A.Edrei)在1987年研究了的最后集問題,其中g(shù)(z)為只有實(shí)根的阿達(dá)瑪積[22].克拉尼(J.G.Clunie)、埃德雷在1991年利用類似于埃德雷的推理把函數(shù)g(z)推廣為滿足一定條件的超越整函數(shù)的情況,一般化了上文中的有關(guān)結(jié)果[23].

第五部分 (整函數(shù)),在該部分中,波利亞討論了n趨于無窮時(shí),整函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(n)(z)的零點(diǎn)趨勢(shì),這種趨勢(shì)主要依賴于f(z)的階.波利亞并斷言“若一個(gè)實(shí)整函數(shù)f(z)的階比1大,則f(n)(z)的零點(diǎn)隨著n的增加集中趨于無窮.若一個(gè)實(shí)整函數(shù)f(z)的階比1小,則f(n)(z)的零點(diǎn)隨著n的增加而分散趨于無窮”.要注意的是,波利亞描述的上述現(xiàn)象是非常一般的和定性的.

設(shè)λ表示整函數(shù)f(z)的階,則

其中rn表示f(n)(z)的零點(diǎn)最近于原點(diǎn)的距離,Nn表示f(n)(z)在|z|≤1內(nèi)的零點(diǎn)數(shù).

當(dāng)λ<1時(shí),奧蘭德在 1914年給出 (1)式,更多更準(zhǔn)確的關(guān)系由貢察夫 (W.Gontcharff)在“解析函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的研究”(1930)中給出[24],貢察夫的研究思路由竹田 (S.Takenata)、卡克、勛伯格 (I.J.Schoenberg)等人繼承和發(fā)展[25].當(dāng)f(z)為有限階λ>0,α>λ時(shí),存在無窮增加的k的序列使.波利亞在該文提出λ>1.埃爾多斯 (P.Erd?s)、仁伊 (A.Rényi)在 1956年給出λ>1的第一個(gè)證明,在其中奧蘭德的結(jié)果被錯(cuò)誤地引述為λ>1[26].當(dāng)λ=1,f(z)為指數(shù)類型τ時(shí),更準(zhǔn)確的結(jié)果是rk≥c(τ),c(τ)為一常數(shù),由竹田在1932年給出[27].該結(jié)果由巴克霍爾茨(D.Buckholtz)、弗讓柯(J.L.Frank)在“惠特克常數(shù)”(1971)中進(jìn)一步研究[28].包斯在1940年引入了一個(gè)與之相關(guān)但不同于rn的量,后由列文森(N.Levinson)在1941年發(fā)展.令Sn表示圓心在z=0處的最大圓半徑,在其內(nèi)f(z)是正則函數(shù),f(n?1)(z)是單值的,則有

(2)式是波利亞首次提出的.在該文注腳處指出,若λ≤1,則最后集可能為空集,并且可以構(gòu)造任意給定階的整函數(shù),其最后集由一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成:若λ>1,最后集一定含一個(gè)點(diǎn)嗎?該問題由埃德雷和麥克蘭尼在1956年的論文中給出詳細(xì)解答[29].

波利亞在該部分提到“階為1的整函數(shù)f(z)=sinz,微分運(yùn)算不改變其導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)分布的稠密性”的例子引起了一些學(xué)者的關(guān)注.普拉瑟在1984年發(fā)表了一個(gè)證明,肯定了該假設(shè)定理[30],但其證明存在一處錯(cuò)誤.實(shí)際上,該錯(cuò)誤是嚴(yán)重的,饒歐(M.Rao)、申(L.C.Shen)在1987年構(gòu)造了一個(gè)反例,否證了上面的假設(shè)定理.他們指出,存在指數(shù)類型的實(shí)整函數(shù),在實(shí)軸上有界,使得整個(gè)實(shí)軸屬于它的最后集.并給出如下猜想:令f(z)為一個(gè)階為1的實(shí)整函數(shù),指數(shù)類型為ρ,在實(shí)軸上有界,則f(z)的最后集在實(shí)軸上為一個(gè)等間隔的無窮集[31].應(yīng)當(dāng)指出,該定理與波利亞的闡述不矛盾.對(duì)于波利亞而言,只說f(n)(z)的零點(diǎn)分布的稠密度基本不變.

申在1987年繼續(xù)探討,給出下面猜想:令f(z)為指數(shù)類型的,階是1的實(shí)整函數(shù),在實(shí)軸上有界,則f(z)的最后集為一個(gè)等間距的無窮集,n為整數(shù),τ為f(z)的型.在該文中,申證明了一個(gè)稍弱的猜想[32].

第六部分(實(shí)整函數(shù)),一個(gè)實(shí)整函數(shù)的零點(diǎn)集關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,實(shí)軸對(duì)f(n)(z)的復(fù)根起著重要影響.當(dāng)f(z)的階小于2時(shí),吸引這些零點(diǎn),當(dāng)階大于2時(shí)排斥這些零點(diǎn).波利亞給出了兩個(gè)猜想:

A:若實(shí)整函數(shù)f(z)的階小于2,且只有有限個(gè)復(fù)根,則其各階導(dǎo)數(shù),從某一階開始不再有復(fù)根.

B:若實(shí)整函數(shù)f(z)的階大于2，且只有有限個(gè)復(fù)根,則n趨于無窮時(shí),f(n)(z)的復(fù)根數(shù)趨于無窮.

猜想A由威曼和波利亞獨(dú)立發(fā)現(xiàn),現(xiàn)稱波利亞 -威曼猜想.在1987年,柯夫,科爾達(dá)斯,史密斯在f(z)是0類或1類時(shí)證明了波利亞-威曼猜想.柯姆(Y.O.Kim)在1990年通過完善他們的證明在一般情況下證明了該猜想[33].

猜想B可由例子e?z2k和e?eez說明.e?z2k的最后集由k條通過原點(diǎn)的直線構(gòu)成,把平面分成2k個(gè)等角.e?eez的最后集由無窮條平行線組成,平面由寬度為2π的直線分割,該問題由波利亞提出,由斯?jié)晒抛C明,但未出版.若k≥2,則這兩個(gè)函數(shù)的最后集包含整個(gè)實(shí)軸,而且包含實(shí)軸外的點(diǎn).海勒斯坦(S.Hellerstein)、楊(C.C.Yang)在1970年利用土姆-克拉尼定理部分肯定猜想B[34].埃德雷在1980年提到,波利亞在給埃德雷的一封信中詢問他是否能給出這個(gè)事實(shí)的證明.由于斯?jié)晒旁谒墓P記中沒有找到該證明的記載,這是一個(gè)無法補(bǔ)救的損失.波利亞和斯?jié)晒鸥械蕉疾荒茉僦匦卵芯窟@個(gè)問題了.在此情況下,埃德雷研究了e?ez的最后集,指出由直線y=2πl(wèi),(l為整數(shù))組成,并給出證明[35].埃德雷在研究該問題時(shí)看到了普拉瑟當(dāng)時(shí)未出版的“一些整函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”的手稿,對(duì)其有一定啟示.普拉瑟在該文中研究了該函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開,指出該級(jí)數(shù)系數(shù)的97%以上不為0,并猜想當(dāng)n充分大時(shí),系數(shù)不為0[36].埃德雷在該文中給出了該猜想的一些相關(guān)信息.該例由雷門(J.W.Layman)和普拉瑟在1983年通過研究貝爾數(shù)進(jìn)一步探討[37].格斯納(R.Gethner)在其1982年的博士論文中對(duì)某類函數(shù)證明了猜想B[38].

伯格威勒 (W.Bergweiler)、葉列緬科 (A.Eremenko)在 2006年涉及猜想B.令f(z)為有限階的實(shí)整函數(shù),有有限多個(gè)非實(shí)根,f(z)不是一個(gè)實(shí)多項(xiàng)式和類LP中的函數(shù)之積,則f(n)(z)的非實(shí)根數(shù)N(f(n)(z))滿足[39].對(duì)于無窮階的實(shí)整函數(shù),具有有限個(gè)非實(shí)根,蘭利(J.Langley)同年證明

第七部分(關(guān)于實(shí)整函數(shù)的其他開放問題),波利亞提出了猜想C:若一個(gè)階比1大的實(shí)整函數(shù)對(duì)變量的實(shí)值保持有界,則最后集包含整個(gè)實(shí)軸.埃德雷在1956年對(duì)該猜想有所涉及,并給出一個(gè)重要結(jié)果.令f(z)為實(shí)超越整函數(shù),滿足形如

的微分方程,其中P(z)和Q(z)為多項(xiàng)式,Q0(z)不恒為0.令f(z)在|z|=r上的最大值為M,存在一個(gè)適當(dāng)?shù)摩?0<ρ<∞)使得,若

則實(shí)軸的每個(gè)點(diǎn)屬于f(z)的最后集[41].

波利亞在函數(shù)最后集工作的最后一篇論文是“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn):一個(gè)例子”.該文討論了特殊的亞純函數(shù)的最后集,由無窮條平行直線y=(2n?1)π構(gòu)成,最后集之外無任意階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn).波利亞在文末給出了一個(gè)優(yōu)美的定理:令f(w)=tanw,若f(w)的第n階導(dǎo)數(shù)在w處為0,則w為n階導(dǎo)數(shù)的單重零點(diǎn),w的實(shí)部是π的整倍數(shù),但未證.古斯蒂 (M.Gusti)在 “亞純和整函數(shù)的最后集”(1987)中給出證明[42],馬丹(S.Madan)在2014年也對(duì)該例進(jìn)行了探討[43].申在“關(guān)于tan(k)z的零點(diǎn)”(1991)中進(jìn)一步對(duì)此研究[44].

4 后續(xù)數(shù)學(xué)家關(guān)于函數(shù)最后集理論的研究

波利亞引入的最后集理論引起了眾多學(xué)者的關(guān)注,產(chǎn)生了許多有意義的結(jié)果.

4.1 微分施于函數(shù)的最后集

羅德斯特倫(H.R?dstr?m)受波利亞、奧蘭德等人的影響,在1948年研究解析函數(shù)的最后集.他以冪級(jí)數(shù)的形式表示解析函數(shù),闡述了系數(shù)和導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)之關(guān)系,并以此證明了波利亞關(guān)于亞純函數(shù)的最后集定理[45].海曼和欣卡寧(A.Hinkkanen)在2001年受羅德斯特倫工作影響考慮了是否一個(gè)亞純函數(shù)的最后集可以以函數(shù)導(dǎo)數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的序列描述的問題,研究了函數(shù)的最后集和正交族的關(guān)系[46].

由波利亞的猜想A,B,自然引出一個(gè)問題,是否任何一個(gè)集合可為某些整函數(shù)的最后集.庫瓦里(T.K?ovári)在1956年證明存在一個(gè)整函數(shù),它的最后集是整個(gè)平面[47].該逆問題的進(jìn)一步解答由埃德雷、麥克蘭尼在“一個(gè)整函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1957)中給出肯定回答.這兩位學(xué)者同時(shí)獨(dú)立完成證明,幸好被及時(shí)發(fā)現(xiàn),免于重復(fù)發(fā)表.

設(shè)H(C)為在緊致開拓?fù)湎氯〉恼瘮?shù)空間,麥克蘭妮在1952年給出了一個(gè)微分定理:存在整函數(shù)f(z),對(duì)于其連續(xù)階導(dǎo)數(shù)序列在H(C)中稠密[48].利用這一結(jié)果,格斯納,夏皮羅(J.H.Shapiro)在1987年通過證明一個(gè)整函數(shù)導(dǎo)數(shù)序列零點(diǎn)的最后集一般為整個(gè)黎曼面,完善了波利亞和麥克蘭妮的最后集理論[49].

蕭氏、普拉瑟在1982年對(duì)于具有代數(shù)奇點(diǎn)的函數(shù)給出了函數(shù)的最后集定理,闡述了關(guān)于連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)如何遷移到最后集的定量結(jié)果[50].海勒斯坦、申、威廉森(J.Williamson)在1983年證明,階大于1的波利亞-舒爾函數(shù)以整個(gè)實(shí)軸為最后集[51].申在1986年利用最速降線法,證明了在一定條件下,偶拉蓋爾-波利亞函數(shù)的最后集為整個(gè)實(shí)軸[52].

古斯蒂在“亞純和整函數(shù)的最后集”(1987)中,確定了某些整函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)集,并表明在這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和某些多項(xiàng)式之間存在緊密關(guān)系,利用這些可以確定零點(diǎn)分布.若一個(gè)整函數(shù)只有實(shí)根,則這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可能有非實(shí)根.這表明整函數(shù)的型和階影響著這些函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)趨勢(shì).

格斯納以其博士論文為基礎(chǔ),在1984年對(duì)于有限階的(包括分?jǐn)?shù)階在內(nèi))某類整函數(shù),一些最大最小型的及指數(shù)型冪級(jí)數(shù)的和的函數(shù)建立了一個(gè)與波利亞郡定理類似的定理.格斯納、桑斯(L.R.Sons)在“具有阿達(dá)瑪缺項(xiàng)整函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1986),格斯納在“在單位圓內(nèi)具有阿達(dá)瑪缺項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1989)及“具有阿達(dá)瑪缺項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1993)等文章中研究了具有阿達(dá)瑪缺項(xiàng)級(jí)數(shù)的最后集問題[56].

包斯、雷迪在 “整函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1973),雷迪在 “整函數(shù)零點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)”(1974),施思冒(T.Sheil-Small)在 “實(shí)整函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和威曼猜想”(1989)等研究了當(dāng)n趨于無窮大時(shí),導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的遷移性問題.但是當(dāng)n很小時(shí),情況如何呢?蘇賢南(Su Hyeon Namn)在1997年填補(bǔ)了這一空白.他把排隊(duì)網(wǎng)狀系統(tǒng)問題形式化為一個(gè)一般的數(shù)學(xué)問題,稱為“遷移臨界點(diǎn)”猜想.該猜想斷言:無論n為何值,存在有理函數(shù)的連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)以加速的速率遷移[57].哈雷爾(A.Harel)、蘇賢南、斯特姆(J.Sturm)在1999年繼續(xù)研究,證明若f(z)為階小于1的整函數(shù),其根全部為實(shí)的,則f(k)(z)的最小根隨k增加而增加.哈雷爾等人根據(jù)柯夫、科爾達(dá)斯、史密斯在“整函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和波利亞-威曼猜想”(1987)中的“對(duì)充分大的n,f(n)(z)的零點(diǎn)全為實(shí)的”事實(shí),證明,在這種條件下,導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)分散趨于無窮[58].應(yīng)當(dāng)指出的是,貢察夫在1930年的上述文章中已有這種思想的端倪,威爾夫(M.S.Wilf)在“對(duì)于一類整函數(shù)的比當(dāng)定理”(1962)中對(duì)此也有闡述[59].

魏斯(M.Weiss)在2003年從幾何背景探討了在雙曲面內(nèi)自守函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的聚集問題,把波利亞關(guān)于亞純函數(shù)的最后集結(jié)果一般化[60].博格瓦德(R.B?gvad),黑格 (C.H?gg)在2017年對(duì)有理函數(shù),P,Q為互質(zhì)多項(xiàng)式(Q?=0),從測(cè)度理論角度對(duì)其最后集進(jìn)行了研究[61].同年,黑格對(duì)f(z)=R(z)eT(z),R(z)為至少有兩個(gè)極點(diǎn)(所有極點(diǎn)都不同)的有理函數(shù),T(z)為多項(xiàng)式,也從測(cè)度理論角度對(duì)其最后集進(jìn)行研究[62].

值得一提的是,與函數(shù)最后集有關(guān)的一個(gè)有意義的問題由埃爾多斯提出,記載在海曼的“函數(shù)理論研究問題”(1967)的第17頁問題2.30中.該問題是,若在復(fù)平面內(nèi)的集合列{Sk},每個(gè)集合無有限極限點(diǎn),是否存在一個(gè)正整數(shù)列{nk}和一個(gè)超越整函數(shù)f(z)使得f(nk)(z)=0,z∈Sk.該問題由巴特(K.Barth)、施耐德(W.Schneider)在 1972年證明[63].勛伯格在 “整函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn) II”(1976)中更深入研究,并提出如下猜想:若f(z)為不恒等于 0的指數(shù)類型δ的整函數(shù),使得每個(gè)f(v)(z),v=0,1,2,···在內(nèi)至少有k個(gè)零點(diǎn),則δ≥π.f(z)=cos(πz)表明π對(duì)于這個(gè)不等式為最佳常數(shù)[64].這個(gè)問題與確定惠特克常數(shù)有關(guān).關(guān)于惠特克常數(shù)的確定及其歷史發(fā)展可見于“惠特克常數(shù)”(1974)中[65].

4.2 算子運(yùn)算施于函數(shù)的最后集

當(dāng)微分運(yùn)算由其它算子代替時(shí),函數(shù)零點(diǎn)的描述結(jié)果是否仍然成立?這個(gè)問題在波利亞的工作中已有研究.當(dāng)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)由其它算子的連續(xù)迭代代替時(shí),施于解析或整函數(shù)算子的迭代的零點(diǎn)分布受提到的算子,整函數(shù)的階或解析函數(shù)的增長的影響.

對(duì)于尋找施于解析函數(shù)的微分算子的連續(xù)迭代的零點(diǎn)的動(dòng)機(jī)可在波利亞的一系列論文中找到源頭.在對(duì)拉蓋爾工作研究的基礎(chǔ)上,波利亞、舒爾在“在代數(shù)方程理論中的兩種因子序列”(1913)中把一個(gè)多項(xiàng)式或有實(shí)根或有相同符號(hào)的實(shí)根轉(zhuǎn)化為一個(gè)通過某一序列和原始函數(shù)的第k項(xiàng)相乘得到只有實(shí)根的函數(shù),這一工作在列文“整函數(shù)零點(diǎn)分布”(1960)中有詳細(xì)介紹.在這篇文章之后,波利亞在“階為0和1的整函數(shù)的代數(shù)研究”(1915)中探討了微分算子應(yīng)用于一個(gè)只有實(shí)根的整函數(shù)上對(duì)實(shí)根的影響.柯夫、科爾達(dá)斯在1977年給出了代數(shù)域而不是實(shí)數(shù)域的乘積序列結(jié)果[66],在“多項(xiàng)式和整函數(shù)零點(diǎn)分布的一個(gè)不等式”(1981)中研究了不能增加實(shí)多項(xiàng)式的非實(shí)根數(shù)的乘積序列.在其著作中又給出了更為全面深入的研究[67].

包斯在1978年對(duì)在無窮處解析的函數(shù)的連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行了考察,證明了下列定理:令非常值函數(shù)F(w)=∑bnw?n在無窮處解析,則存在c>0,對(duì)充分大的n,F(n)(w)在|w|=nc外沒有有限零點(diǎn)[68].包斯的有關(guān)思想可在威德(D.V.Widder)“拉普拉斯逆變換和相關(guān)矩問題”(1934)中找到端倪.包斯的結(jié)果在蕭氏,普拉瑟“連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和施于解析函數(shù)的迭代算子”(1980)中一般化[69].

普拉瑟受波利亞關(guān)于施于解析函數(shù)迭代算子的零點(diǎn)行為的論文影響,對(duì)于三角多項(xiàng)式和一階正常型的整函數(shù)的有限傅里葉變換的最后集問題進(jìn)行了深入研究,涉及的論文有,包斯和普拉瑟“施于有限傅里葉變換算子的最后集”(1979),普拉瑟“平衡三角多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”(1979),普拉瑟“關(guān)于最后集的新老定理”(1981).對(duì)于階為1到2之間的一些整函數(shù)可以表示為傅里葉積分,在“可表示為傅里葉積分的整函數(shù)類的最后集”(1981),確定了該類函數(shù)對(duì)一些微分算子的最后集.在1984年對(duì)施于函數(shù)算子的零點(diǎn)和解析性問題的已有定理和問題進(jìn)一步研究[70].他在同年證明了下列定理:令f(z)為一個(gè)階為1,正常型的實(shí)整函數(shù),在實(shí)軸上有界,L=?(D),,?(w)為 LP 類函數(shù),?(0)=0,則f(z)關(guān)于L的最后集包含在實(shí)軸或?yàn)殡x散子集或?yàn)檎麄€(gè)實(shí)軸[71].

5 結(jié)語

當(dāng)n增加時(shí),函數(shù)的第n階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)如何表現(xiàn)是波利亞研究的一個(gè)重要領(lǐng)域,并激起了眾多學(xué)者的研究.波利亞對(duì)微分運(yùn)算下函數(shù)零點(diǎn)問題進(jìn)行了深入研究,獲得了一些重要成果,其中之一便有函數(shù)的最后集理論.他給出了函數(shù)最后集的幾何描述和概念、給出了亞純函數(shù)和一些整函數(shù)的最后集定理,提出了一些重要的研究方法和思想,特別是提出了3個(gè)有重要影響的猜想,奠定了其后數(shù)學(xué)家在這個(gè)領(lǐng)域研究的基礎(chǔ).

波利亞的最后集理論在一定程度上支持了哥德堡(Gol′dberg)猜想.哥德堡猜想斷言:f(z)的不同極點(diǎn)的頻率由f(k)(z)的零點(diǎn)控制.波利亞的最后集定理表明,若f(z)至少有兩個(gè)極點(diǎn),則對(duì)充分大的k,f(k)(z)至少有一個(gè)零點(diǎn).但該定理未能揭示出導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)頻率的具體信息.該問題由蘭利(J.Langley)在“亞純函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”中研究[72].波利亞的最后集理論對(duì)黎曼猜想的解決也有重要作用[73].

一個(gè)整函數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)分布是一個(gè)活躍的主題,其他學(xué)者從其它視角對(duì)函數(shù)的最后集問題進(jìn)行研究,進(jìn)一步豐富了函數(shù)的最后集理論.格斯納在1985年研究了函數(shù)在最后集中點(diǎn)的連續(xù)階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的增長率問題[74].弗讓柯、蘭利在1999年研究了線性微分多項(xiàng)式的零點(diǎn)問題[75].奧斯特羅夫斯基 (I.Ostrovskii)和烏雷寧(A.üreyen)在2003年研究了一個(gè)整函數(shù)的零點(diǎn)集和最大模點(diǎn)的距離問題[76].邁拉斯(T.Meyrath)、繆勒(J.Müller)在2013年研究了亞純函數(shù)的連續(xù)階導(dǎo)數(shù)序列在最后集點(diǎn)中的行為[77].

波利亞的函數(shù)的最后集理論影響深遠(yuǎn),一方面和該理論在函數(shù)零點(diǎn)理論中的重要性有關(guān),值得學(xué)者們研究與思考;另一方面,在研究函數(shù)的最后集理論的學(xué)者中,他們中有的是師生關(guān)系,有的是學(xué)術(shù)上多年合作的伙伴.如奧蘭德是威曼的學(xué)生,海勒斯坦是埃德雷的學(xué)生,格斯納為海勒斯坦的學(xué)生等.波利亞、威曼、埃德雷、普拉瑟、桑斯等人之間都有信件往來和學(xué)術(shù)交流,足見數(shù)學(xué)家之間的廣泛交流和合作也是該理論得以傳播的重要途徑.