劉欣然,肖海濱

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,浙江 寧波 315211)

1 引言

有界行波解是演化PDE一類描述空間狀態(tài)平移過程的不變解,具有形式

行波解在諸多領(lǐng)域,比如生態(tài)種群動(dòng)力學(xué),燃燒理論,生化反應(yīng),疾病傳播等,具有廣泛的應(yīng)用.擴(kuò)散捕食-食餌生態(tài)系統(tǒng)的行波解是生物數(shù)學(xué)研究的一個(gè)非常重要的主題,近幾十年來一直吸引國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注,已有大量的研究成果[1-6].當(dāng)捕食者與食餌間的功能反應(yīng)函數(shù)不依賴捕食者的種群密度時(shí),擴(kuò)散捕食食餌模型的非負(fù)行波解的研究框架較為完整.一般的功能反應(yīng)的擴(kuò)散捕食食餌模型可描述為拋物型方程組:

其中u(x,t),v(x,t)分別為食餌和捕食者的種群密度,Δ是Laplace算子,正數(shù)d1,d2分別為食餌和捕食者在空間上各自的擴(kuò)散系數(shù),B(u),?H(v)v分別稱為食餌和捕食者的增長(zhǎng)函數(shù),f(u,v)稱為捕食者對(duì)食餌的功能反應(yīng)函數(shù),而常數(shù)β稱為二者相互作用的轉(zhuǎn)化系數(shù).

當(dāng)系統(tǒng)(1)的功能反應(yīng)函數(shù)不依賴捕食者種群密度時(shí),其行波解的研究相對(duì)比較完整,Dunbar是研究捕食-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)行波解的先鋒.在忽視食餌擴(kuò)散和考慮食餌擴(kuò)散的情況下,基于 Wazewski原理和LaSalle不變?cè)?文獻(xiàn)[7-8]應(yīng)用拓?fù)浯虬蟹椒ǚ謩e證明:LotKa-Volterra微分方程模型存在連結(jié)邊界平衡點(diǎn)到共存平衡點(diǎn)的非負(fù)行波解.文獻(xiàn)[9]又進(jìn)一步研究了功能反應(yīng)函數(shù)為Holling-Ⅱ型的擴(kuò)散捕食食餌模型,結(jié)合Hopf分支理論,證明了連結(jié)邊界平衡點(diǎn)到周期軌道的非負(fù)行波解的存在性.與此同時(shí),文獻(xiàn)[10]應(yīng)用連結(jié)指標(biāo)理論研究捕食系統(tǒng)的行波解.文獻(xiàn)[11]進(jìn)而綜合應(yīng)用Conley指標(biāo),連續(xù)性理論和連結(jié)矩陣?yán)碚?對(duì)一類抽象捕食系統(tǒng)建立了各種不同類型的行波解.后來,文獻(xiàn)[12-13]基于Dunbar的研究方法和Hopf分支理論分別研究了Holling-Ⅱ型和Holling-III型的捕食系統(tǒng)連結(jié)兩個(gè)平衡點(diǎn)的行波解和小振幅周期波鏈的存在性.最近十年來,捕食生態(tài)系統(tǒng)的行波解仍為應(yīng)用數(shù)學(xué)研究工作者的熱點(diǎn)主題,涌現(xiàn)出不少重要的研究成果.如有別于眾多文獻(xiàn)的不同之處,基于有界Wazewski集的構(gòu)造,文獻(xiàn)[14]研究了Sigmoidal型的捕食系統(tǒng)的連結(jié)邊界平衡點(diǎn)到共存平衡點(diǎn)和原點(diǎn)到共存平衡點(diǎn)的行波解,推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.文獻(xiàn)[15]應(yīng)用文獻(xiàn)[8]的思想方法研究了具有一般增長(zhǎng)函數(shù)的擴(kuò)散Gauss型的捕食系統(tǒng)的行波解,推廣了眾多文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)論.文獻(xiàn)[16]借助于獨(dú)特的Wazewski集的構(gòu)造,在忽視食餌擴(kuò)散和功能反應(yīng)函數(shù)缺少單調(diào)性假設(shè)的情形下,研究了擴(kuò)散捕食模型

連結(jié)邊界平衡點(diǎn)到共存平衡點(diǎn)的行波解.據(jù)筆者目前所知,文獻(xiàn)[16]的結(jié)果是對(duì)較為一般的上述系統(tǒng)在較為弱的且具有生態(tài)意義條件下獲得的最優(yōu)結(jié)果.最近,文獻(xiàn)[17]進(jìn)一步考慮了捕食種群具有非線性密度限制的捕食模型,指出文獻(xiàn)[16]的結(jié)果在這種密度制約下可以保持.

當(dāng)系統(tǒng) (1)的功能反應(yīng)函數(shù)依賴捕食者種群密度時(shí),現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)其行波解的研究相對(duì)比較零散,反應(yīng)函數(shù)主要集中為 Beddington-DeAngelis型.文獻(xiàn) [18]考察了食餌具有 Logistic增長(zhǎng),捕食者具有常死亡率的擴(kuò)散Beddington-DeAngelis模型,應(yīng)用文獻(xiàn)[7-8]的思想方法給出系統(tǒng)存在連結(jié)邊界平衡點(diǎn)到共存平衡點(diǎn)的非負(fù)行波解的充分條件及臨界波速.后來,文獻(xiàn) [19]又進(jìn)一步利用文獻(xiàn) [16]的方法,把建立半連結(jié)軌道的方法推廣到功能反應(yīng)函數(shù)依賴捕食種群密度的情形,并應(yīng)用到具有線性密度制約的 Beddington-DeAngelis模型.接著,文獻(xiàn) [20]總結(jié)文獻(xiàn) [16],文獻(xiàn) [19]的思想,把方法推廣到考慮食餌擴(kuò)散的情形,即四維的行波系統(tǒng),并應(yīng)用到線性密度制約的Beddington-DeAngelis模型.

正如文獻(xiàn)[21-22]指出的那樣,不少種群特別是能量級(jí)別高的捕食種群的死亡因素不僅僅包括自然死亡,還存在種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng),人為破壞等.為此,為方便起見,本文將研究捕食者和食餌都具有一般非線性密度制約的一維擴(kuò)散Beddington-DeAngelis模型

的非負(fù)行波解,其中B(u),?H(v)v分別稱為食餌和捕食者的增長(zhǎng)函數(shù),a,m,n均為正常數(shù),正數(shù)d為捕食者的擴(kuò)散系數(shù),Δ是Laplace算子.具體的結(jié)構(gòu)性假設(shè)將在下面給出.當(dāng)B(u)=ru(1?u),H(v)=μ+δv時(shí),系統(tǒng)(3)即為文獻(xiàn)[19]中討論的線性密度制約模型.

2 模型假設(shè)及主要結(jié)果

系統(tǒng)(3)的ODE系統(tǒng)如下:

2 基本準(zhǔn)備

令u(x,t)=U(x+ct)=U(ξ),v(x,t)=V(x+ct)=V(ξ),代入系統(tǒng) (3)得其行波系統(tǒng)

易知,(U(ξ),V(ξ))是系統(tǒng) (5)的解當(dāng)且僅當(dāng) (U(x+ct),V(x+ct))是系統(tǒng) (3)的解.令cW=cV?dV′,將系統(tǒng)(5)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的一階方程組

因此,(U(x+ct),V(x+ct))為系統(tǒng)(3)存在連結(jié)平衡點(diǎn)EK和E?的非負(fù)行波解當(dāng)且僅當(dāng) (U(ξ),V(ξ),W(ξ)) 是系統(tǒng) (6) 滿足U(ξ)≥0,V(ξ)≥0,?∞<ξ<+∞和邊界條件

的解,即連結(jié) (K,0,0)到 (u?,v?,v?)的軌道.由于數(shù)學(xué)符號(hào)表示的習(xí)慣,系統(tǒng) (6)的時(shí)間ξ仍記為t.系統(tǒng)(6)在(K,0,0)處的線性化系統(tǒng)為

經(jīng)過計(jì)算得到,其系數(shù)矩陣有三個(gè)特征值

3 定理1.1的證明

通過構(gòu)造一個(gè)Wazewski集來獲得系統(tǒng)(6)以邊界平衡點(diǎn)(K,0,0)為α極限點(diǎn)的非負(fù)半軌道,并利用拓?fù)浯虬蟹ㄗC明此半軌道以共存平衡點(diǎn)(u?,v?,v?)為ω極限點(diǎn),來證得它即為系統(tǒng)(6)的連結(jié)(K,0,0)到(u?,v?,v?)的非負(fù)完全軌道.

3.1 Wazewski集的構(gòu)造

3.2 不變軌道的存在性

本節(jié)研究系統(tǒng)(6)在Σ內(nèi)的以平衡點(diǎn)(K,0,0)為α極限點(diǎn)的不變軌道的存在性.為此考慮研究系統(tǒng)(6)在(K,0,0)處的不穩(wěn)定流形.系統(tǒng)(6)在(K,0,0)處的線性化系統(tǒng)(7)的特征值λ2,λ3,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為

3.3 連結(jié)軌道的存在性

對(duì)引理3.2.2所建立的Σ內(nèi)的軌道γ0,本文通過引入它的Lyapunov函數(shù)來獲得它的V,W分量的一致正有界性,進(jìn)而證明γ0是連結(jié)平衡點(diǎn) (K,0,0)和 (u?,v?,v?)的非負(fù)軌道.

4 總結(jié)與展望

基于國內(nèi)外研究和生態(tài)學(xué)意義,本論文研究捕食者和食餌皆具有一般非線性密度制約的一維擴(kuò)散Beddington-DeAngelis模型的行波解,把文獻(xiàn)[18]的捕食者和食餌皆具有線性密度制約的Beddington-DeAngelis模型的連結(jié)邊界平衡點(diǎn)到共存平衡點(diǎn)的行波解的存在性結(jié)果推廣到了一般非線性密度制約情形.盡管如此,系統(tǒng)(1)功能反應(yīng)函數(shù)依賴捕食種群密度但非Beddington-DeAngelis型時(shí),其行波解的研究仍面臨挑戰(zhàn),國內(nèi)外文獻(xiàn)涉足甚少.此外,當(dāng)不能忽視食餌種群的擴(kuò)散時(shí),此時(shí)的行波系統(tǒng)是四維ODE系統(tǒng),對(duì)于高維的行波系統(tǒng),如何應(yīng)用拓?fù)浯虬蟹?建立系統(tǒng)的行波解有些難度,仍有待研究.