陳昌遠(yuǎn) 孫國(guó)華 王曉華 孫東升 尤源 陸法林 董世海

1)(鹽城師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,鹽城 224007)

2)(Catedrática CONACYT,CIC,Instituto Politécnico Nacional,CDMX 07700,Mexico)

3)(湖州師范學(xué)院量子物理研究中心,湖州 313000)

4)(Laboratorio de Información Cuántica,CIDETEC,Instituto Politécnico Nacional,UPALM,CDMX 07700,Mexico)

提出了一種精確求解位于外電場(chǎng)中剛性對(duì)稱(chēng)陀螺分子轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)和相應(yīng)解析波函數(shù)的新方法.首先利用不同形式的函數(shù)變換和變量代換將位于外電場(chǎng)中對(duì)稱(chēng)陀螺分子的極角θ 方向的方程轉(zhuǎn)化為合流Heun 微分方程,然后根據(jù)合流Heun 微分方程和合流Heun 函數(shù)具有的特點(diǎn),找到描述同一本征態(tài)的線性相關(guān)的兩個(gè)解,構(gòu)造Wronskian(朗斯基)行列式,得到精確的能譜方程.最后利用Maple 軟件計(jì)算出不同量子態(tài)的本征值,再將得到的本征值代入本征函數(shù)進(jìn)行歸一化運(yùn)算最終得到用合流Heun 函數(shù)表示的解析的歸一化本征函數(shù).這些結(jié)果可為深入研究對(duì)稱(chēng)陀螺分子的Stark 效應(yīng)提供有益的幫助.

1 引 言

對(duì)稱(chēng)陀螺分子可分為兩大類(lèi):一類(lèi)為長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)陀螺分子,其3 個(gè)慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IA 1 ,扁對(duì)稱(chēng)陀螺分子a<1 .按慣例采用歐拉角(θ,?,χ),則位于外電場(chǎng)中對(duì)稱(chēng)陀螺分子的哈密頓量為[1?3]

式中D是對(duì)稱(chēng)陀螺分子的電偶極矩,其方向在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的z′軸方向;電場(chǎng)ε的方向在空間固定坐標(biāo)系的z軸方向.由于附加項(xiàng)的出現(xiàn),該方程至今都沒(méi)有完整的精確解.當(dāng)附加項(xiàng)系數(shù)Dε很小時(shí),人們常用微擾理論來(lái)研究對(duì)稱(chēng)陀螺分子的Stark 能級(jí).文獻(xiàn)[1,2]給出能級(jí)準(zhǔn)確到2級(jí)近似的結(jié)果,文獻(xiàn)[3?10]給出能級(jí)更高級(jí)修正的結(jié)果,其中文獻(xiàn)[3,6,7]還列出了用100 × 100 以及200 ×200 矩陣對(duì)角化方法得到的計(jì)算精度很高的精確值.以前的工作人們只專(zhuān)注于如何得到較為準(zhǔn)確的能量本征值,而忽略了對(duì)本征函數(shù)的研究,這無(wú)疑影響了人們對(duì)剛性對(duì)稱(chēng)陀螺分子的Stark 效應(yīng)的全面了解.

那么有什么方法既可獲得準(zhǔn)確的本征能量,又能得到解析的歸一化波函數(shù)呢？根據(jù)我們最近對(duì)一維Mathieu 勢(shì)的Schr?dinger 方程[11]和剛性轉(zhuǎn)子Stark 效應(yīng)精確解的研究[12],以及對(duì)s=0 時(shí)角向Teukolsky 方程[13,14]精確解的研究,本文提出一種能精確求解對(duì)稱(chēng)陀螺分子Stark 效應(yīng)的新方法.首先進(jìn)行分離變量和變量代換x=cosθ(0 ≤θ≤π,1 ≥x≥?1),再利用不同形式的函數(shù)變換和變量代換方法把關(guān)于x的微分方程轉(zhuǎn)化為合流Heun 微分方程,然后根據(jù)該方程及其解析解,即合流Heun 函數(shù)的特性,給出對(duì)應(yīng)于同一本征態(tài)線性相關(guān)的兩個(gè)解,并以此構(gòu)造朗斯基行列式,給出精確的能量值必須滿足的方程.借助于Maple軟件中的合流Heun 函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行編程運(yùn)算就能計(jì)算出精確的能量本征值,然后進(jìn)行歸一化運(yùn)算給出的就是用合流Heun 函數(shù)表示的歸一化的解析的本征函數(shù).由于本文提出的方案不僅能得到精確的本征值,而且還給出用合流Heun 函數(shù)表示的解析的歸一化本征函數(shù).所以其結(jié)果將對(duì)研究對(duì)稱(chēng)陀螺分子的Stark 效應(yīng)的能級(jí)分裂和振子強(qiáng)度等一系列實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)極大的方便.

2 朗斯基行列式

令ψ(θ,?,χ)=eiMφeiKχΘ(θ),并作變量代換x=cosθ,則定態(tài)Schr?dinger 方程Hψ=Eψ可以分離變量,得到關(guān)于x的微分方程為

式中λ′=2IBE/?2;b=2IBεD/?2;M=0,±1,···,±J,K=0,±1,···,±J,其中J=0,1,2,···為對(duì)稱(chēng)陀螺分子的角動(dòng)量量子數(shù),M是角動(dòng)量在空間固定坐標(biāo)系z(mì)方向的投影量子數(shù),K是角動(dòng)量在空間運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系z(mì)′方向的投影量子數(shù).(2)式是典型的施圖姆-劉維爾邊值問(wèn)題,當(dāng)x→±1 時(shí),本征函數(shù)Θ(x) 必須滿足有限值這一自然邊界條件.當(dāng)沒(méi)有外電場(chǎng),即(2)式中b=0 時(shí),微分方程(2)是可以精確求解的,其結(jié)果為[1,2]

式中2F1是n階的超幾何多項(xiàng)式.從(3)—(6)式可以看到,對(duì)于同樣的狀態(tài)(JKM),長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)陀螺分子和扁陀螺分子的能級(jí)是不一樣的,但波函數(shù)的表達(dá)式相同.下面的研究表明,該特點(diǎn)在討論對(duì)稱(chēng)陀螺分子的Stark 效應(yīng)時(shí)保持不變.

為了統(tǒng)一研究長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)陀螺分子和扁對(duì)稱(chēng)陀螺分子,引入?yún)?shù)

當(dāng)計(jì)算出精確的λ值后,不同類(lèi)型的對(duì)稱(chēng)陀螺分子的能級(jí)為

考慮到本征函數(shù)Θ(x) 在x→±1 時(shí)應(yīng)滿足有界的自然邊界條件,首先對(duì)(2)式作如下形式的函數(shù)變換:

把(9)式代入(2)式得到F(x) 所滿足的微分方程:

當(dāng)合流Heun 函數(shù) H eunC(α,β,γ,δ,η,z) 滿足如下兩個(gè)限制條件[15,16]:

時(shí)中斷為一個(gè)N次多項(xiàng)式,從而滿足在z=1 處的自然邊界條件.然而由(14)式可知,當(dāng)b0 時(shí),(20)式中的第2 個(gè)條件是不滿足的.

正如上面分析的,由于限制條件(20)式中的第2 個(gè)是不成立的,所以只能保持(18)式為無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式.當(dāng)參數(shù)(K,M,b) 取確定值時(shí),正確的λ值應(yīng)該使得這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)解在(θ=π,x=?1,z=1)時(shí)也是有界的.因此找到正確的本征值λ是解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵.根據(jù)合流Heun 微分方程及其解析解合流Heun 函數(shù)的特性,如果對(duì)(10)式作變量代換,z′=1?z=(1+x)/2(?1 ≤x≤1,0 ≤z′≤1),那么(10)式將被修改為如下的合流Heun微分方程:

式中參數(shù)

由于β′=|K+M|≥0,所以(21)式的解也是合流Heun 函數(shù)

(23)式同樣也不滿足(20)式中的第2 個(gè)條件.這樣由(9)式就得到在南極(θ=π,x=?1,z′=0)收斂的解為

注意到(18)式和(24)式都是微分方程(2)的解,因此對(duì)于同一本征態(tài),它們只是數(shù)學(xué)表達(dá)形式不同而已.如果本征值λ是正確的值,那么這兩個(gè)函數(shù)在南北極就應(yīng)該都收斂,在開(kāi)區(qū)間(?1,+1) 必須是線性相關(guān)的[17?19].這樣對(duì)于兩個(gè)不為0的任意常數(shù)C1和C2應(yīng)該有C1Θ1(x)+C2Θ2(x)=0,將(18)式和(24)式代入約去共同因子就得到C1H(1)+C2H(2)=0 ,對(duì)其求一階導(dǎo)數(shù)得C1H′(1)+C2H′(2)=0,由此就能得到如下的朗斯基行列式

注意到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則并采用Maple 軟件中的有關(guān)定義展開(kāi)(26)式得

當(dāng)參數(shù)(K,M,b) 取確定值時(shí),由方程(27)可以求得精確的λ值.由于兩個(gè)本征函數(shù)在整個(gè)開(kāi)區(qū)間(?1,+1)都是線性相關(guān)的,所以為了方便起見(jiàn)取x=0.

3 本征值和歸一化的本征函數(shù)

根據(jù)無(wú)量綱參數(shù)a=IB/IC,b=2IBεD/?2的定義可知,它們的取值均為正實(shí)數(shù).因此對(duì)應(yīng)于(2)式的施圖姆-劉維爾邊值問(wèn)題的算符

是一個(gè)厄米算符[17?19],所以本征值λ只能取實(shí)數(shù)值.由于不同本征值的本征函數(shù)必須是相互正交的,所以它們組成了函數(shù)空間的一個(gè)正交歸一完備系.

首先討論下列函數(shù):

顯然,它表示的是f(λ) 隨本征值λ的變化情況,其與橫軸交點(diǎn)的函數(shù)值是0,而對(duì)應(yīng)的λ值就是相應(yīng)的本征值.作為示例,圖1 分別給出了幾種情況下f(λ) 隨λ的變化曲線.其中圖1(a)是b=1,K=0,M=0,1,2,3,4的情況;圖1(b)是b=5 ,K=1,M=0,1,2,3,4的情況;圖1(c)是b=10 ,K=2,M=0,?1,?2,?3的結(jié)果;圖1(d)是b=20,K=3 ,M=0,?1,?2,?3的結(jié)果.按慣例,約定J=n+|K+M|/2+|K ?M|/2,則圖中每一條曲線和橫軸的第1 個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于n=0,J=|K+M|/2+|K ?M|/2,就是相應(yīng)λ的最小值,下一個(gè)交 點(diǎn)n=1,J=1+|K+M|/2+|K ?M|/2,就是相應(yīng)的高1 個(gè)本征態(tài)的λ值,依次類(lèi)推,這樣從圖形上就能知道每一個(gè)λ值的大小范圍,而n正是對(duì)應(yīng)本征函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù).

圖1 對(duì)稱(chēng)陀螺分子的 f(λ) 隨λ的變化曲線 (a) b =1,K=0,M=0, 1, 2, 3, 4 ;(b) b =5,K=1,M=0, 1, 2, 3, 4 ;(c)b=10,K=2,M=0,-1,-2,-3 ;(d)b=20,K=3,M=0,-1,-2,-3Fig.1.Plot of f(λ) as the function of λ for the symmetric-top molecules:(a) b =1,K=0,M=0, 1, 2, 3, 4 ;(b)b=5,K=1,M=0, 1, 2, 3, 4 ;(c) b =10,K=2,M=0,-1,-2,-3 ;(d) b =20,K=3,M=0,-1,-2,-3 .

利用Maple 軟件(版本號(hào):ID1455132)編寫(xiě)程序計(jì)算(27)式,就能在給定精度下算出b取確定值對(duì)應(yīng)不同的量子數(shù)(JKM)時(shí)λ的精確值,結(jié)果如表1 所列.把表1的λ值代入(8)式就可以給出精確的長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)陀螺分子a>1 或扁對(duì)稱(chēng)陀螺分子a<1的Stark 能級(jí).根據(jù)量子數(shù)的取值范圍以及(8)式、(27)式和表1 可知,剛性對(duì)稱(chēng)陀螺分子的Stark 能級(jí)具有如下特點(diǎn):1)當(dāng)|K|≥1 時(shí),無(wú)外場(chǎng)時(shí)原來(lái)簡(jiǎn)并度為 2(2J+1)的能級(jí)分裂為簡(jiǎn)并度均為2的(2J+1) 條子能級(jí),(K,M)和(–K,–M)能量相同;2)當(dāng)K=0 時(shí),無(wú)外場(chǎng)時(shí)原來(lái)簡(jiǎn)并度為(2J+1)的能級(jí)分裂為(J+1) 條子能級(jí),±M的能級(jí)是簡(jiǎn)并的;3)由于外電場(chǎng)的影響,同一J值的各能級(jí)除了K=M=0 為單一能級(jí)外,其他的都是2 度簡(jiǎn)并的,簡(jiǎn)并能級(jí)的θ方向波函數(shù)是相同的,差別在于φ和χ方向的波函數(shù)是不一樣的;4)當(dāng)K=0時(shí),長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)陀螺分子和扁對(duì)稱(chēng)陀螺分子不僅零級(jí)近似能量是相同的,而且Stark 能級(jí)分裂也是相同的,它們均退化為剛性轉(zhuǎn)子的Stark 能級(jí)[12].需要指出的是,如果將本文得到的λ值的小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)保留到與文獻(xiàn)[3]相同的話,結(jié)果與用100 × 100 矩陣對(duì)角化方法得到的結(jié)果是一致的.為了比較本文的計(jì)算結(jié)果與微擾理論以及200 ×200 矩陣對(duì)角化方法的差別,以態(tài)(J,K,M)=(4,0,0)為例在表2 列出相應(yīng)的結(jié)果.根據(jù)文獻(xiàn)[1,2],準(zhǔn)確到2 級(jí)近似,(4,0,0)態(tài)的近似結(jié)果為λ ≈(20+b2/154).由表2 可以看出,當(dāng)表示外場(chǎng)強(qiáng)度參數(shù)b較小時(shí)(例如小于20),三者的計(jì)算結(jié)果基本上是相同的,但是隨著參數(shù)b的增大,微擾理論顯然就不適用了.不過(guò)本文的計(jì)算結(jié)果仍然與200 ×200 矩陣方法得到的精確結(jié)果相同(保留相同的有效位數(shù)),這解釋了在文獻(xiàn)中人們把用矩陣對(duì)角化方法得到的結(jié)果稱(chēng)之為精確值的原因.但本文提出的方法還能同時(shí)給出解析的歸一化本征函數(shù),所以本文的結(jié)果是令人滿意的.不過(guò)需要說(shuō)明的是,Maple 中有關(guān)函數(shù)的計(jì)算對(duì)某些特殊值特別是大參數(shù)時(shí)可能存在不足.期望隨著Maple 版本的提高,這一現(xiàn)象會(huì)有所改善.

表1 對(duì)稱(chēng)陀螺分子λ的精確值Table 1. Precise values of λ for the symmetric-top molecules.

表1 （續(xù)） 對(duì)稱(chēng)陀螺分子λ的精確值Table 1 (continued). Precise values of λ for the symmetric-top molecules.

表2 對(duì)稱(chēng)陀螺分子(4,0,0)態(tài)的λ 值Table 2. Values of λ of the state(4,0,0) for the symmetric-top molecules.

下面討論如何得到解析的歸一化本征函數(shù).為此將計(jì)算出的本征值代入(18)式和(24)式,得到的是未歸一化的解析本征函數(shù),經(jīng)歸一化運(yùn)算后發(fā)現(xiàn),這兩個(gè)本征函數(shù)滿足如下等式:

顯然它們是線性相關(guān)的,如果用圖形表示它們是完全重合的,(30)式中n=J ?|K+M|/2?|K ?M|/2=0,1,2,···是本征函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目.作為示例,圖2分別給出了當(dāng)b=1,J=1,K=1,M=1,n=0;b=1,J=1,K=1,M=– 1,n=0;b=10,J=3,K=1,M=1,n=2 和b=10,J=3,K=1,M=2,n=1 時(shí)N1Θ1(x) 和(?1)nN2Θ2(x)的函數(shù)圖形.由圖2 可見(jiàn)(30)式是正確的.

圖2 N1Θ1(x) 和(-1)nN2Θ2(x) 是線性相關(guān)的 (a) b =1,J=1,K=1,M=1,n=0 ;(b)b=1,J=1,K=1,M=-1,n=0 ;(c) b =10,J=3,K=1,M=1,n=2 ;(d)b=1 0,J=3,K=1,M=2,n=1Fig.2.Linear dependence relation between N1Θ1(x) and(-1)nN2Θ2(x) :(a) b =1,J=1,K=1,M=1,n=0 ;(b)b=1,J=1,K=1,M=-1,n=0 ;(c) b =10,J=3,K=1,M=1,n=2 ;(d) b =1 0,J=3,K=1,M=2,n=1 .

最后根據(jù)(9)式和(30)式以及文獻(xiàn)[1,2],給出位于外電場(chǎng)中的剛性對(duì)稱(chēng)陀螺分子完整的用合流Heun 函數(shù)表示的歸一化的解析本征函數(shù)為

或者表示為

式 中x=cosθ,J=n+|K+M|/2+|K ?M|/2是角量子數(shù),M是角動(dòng)量在空間固定坐標(biāo)系z(mì)方向的投影量子數(shù),K是角動(dòng)量在空間運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系z(mì)′方向的投影量子數(shù),n是極角θ方向波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù),N1和N2是極角θ方向波函數(shù)的歸一化常數(shù),精確的λ值由數(shù)值計(jì)算(27)式給出.

4 結(jié) 論

綜上所述,本文提出了一種能精確求解位于外電場(chǎng)中剛性對(duì)稱(chēng)陀螺分子定態(tài)Schr?dinger 方程的新方案.首先利用不同形式的函數(shù)變換和變量代換方法把變量分離后得到的極角θ方向的微分方程轉(zhuǎn)化為合流Heun 微分方程,然后根據(jù)該方程及其解析解合流Heun 函數(shù)的特性,給出對(duì)應(yīng)于同一本征態(tài)線性相關(guān)的兩個(gè)解析解,構(gòu)造朗斯基行列式而得到能級(jí)所滿足的方程.再利用Maple 軟件編程計(jì)算就可以得到精確的能量本征值,結(jié)果與其他文獻(xiàn)用100 × 100 或200 × 200 矩陣對(duì)角化方法得到的精確值在保留到小數(shù)后面相同位數(shù)情況下是完全相同的.最后進(jìn)行歸一化運(yùn)算就給出了用合流Heun 函數(shù)表示的歸一化本征函數(shù).由此可見(jiàn),本文提出的研究方法不僅能得到精確的本征值,而且還能獲得歸一化的解析波函數(shù).顯然,這一方法具有很強(qiáng)的實(shí)用性,其結(jié)果將對(duì)研究剛性對(duì)稱(chēng)陀螺分子Stark 效應(yīng)的能級(jí)分裂和振子強(qiáng)度等一系列實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)很大的方便.