徐迎菊， 王 娜,2*

(1.青島大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 青島 266071； 2. 青島大學(xué)山東省工業(yè)控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 青島 266071)

目前狀態(tài)估計(jì)理論已經(jīng)引起了許多學(xué)科的關(guān)注并已成功地應(yīng)用于眾多領(lǐng)域：機(jī)器人技術(shù)[1]、電力系統(tǒng)管理[2-3]、目標(biāo)跟蹤與通信[4]等。

針對(duì)含有未知干擾的隨機(jī)線性系統(tǒng)，早前一些學(xué)者已經(jīng)提出一些濾波算法。Kitanidis[5]提出遞歸狀態(tài)濾波器，實(shí)現(xiàn)了在沒(méi)有未知干擾先驗(yàn)知識(shí)的條件下進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。而Darouach等[6]總結(jié)了上述濾波器存在和穩(wěn)定的充要條件，得到在無(wú)偏最小方差意義下最優(yōu)的濾波器，以上研究都是采取線性遞歸濾波器的形式，沒(méi)有考慮一般線性組合，此后，文獻(xiàn)[7]證明了一般線性最小方差無(wú)偏估計(jì)與遞歸濾波器的最優(yōu)解是相同的，保證了全局最優(yōu)性。后來(lái)通過(guò)將未知干擾和狀態(tài)的估計(jì)聯(lián)系起來(lái)，提出線性最小方差無(wú)偏遞歸濾波器[8]，利用新息獲得未知干擾的無(wú)偏估計(jì)。上述濾波算法的實(shí)現(xiàn)往往有些限制條件，要求狀態(tài)方程中未知干擾前的系數(shù)矩陣滿(mǎn)足列滿(mǎn)秩。當(dāng)系統(tǒng)方程中未知干擾的系數(shù)矩陣不滿(mǎn)秩時(shí)，文獻(xiàn)[9]結(jié)合現(xiàn)有的濾波算法，考慮系數(shù)矩陣不滿(mǎn)秩的情況，設(shè)計(jì)了應(yīng)用條件較為寬松的新型三步迭代濾波器并驗(yàn)證了該濾波算法的有效性。

之前提到濾波算法僅僅是系統(tǒng)方程中含有未知干擾的情形，隨著技術(shù)的發(fā)展，一些學(xué)者將未知干擾推廣到量測(cè)方程中形成帶有直通項(xiàng)的反饋系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)[10]提出一種參數(shù)化濾波算法，此時(shí)得到的濾波器結(jié)果不是唯一的。針對(duì)這類(lèi)系統(tǒng)的研究，目前已經(jīng)提出許多性能較好的濾波算法[11]。文獻(xiàn)[12]提出三步遞歸濾波算法，狀態(tài)估計(jì)的更新具有Kalman濾波器的結(jié)構(gòu)，滿(mǎn)足最小方差的條件，由加權(quán)最小二乘估計(jì)的新息得到未知干擾的估計(jì)，但是要滿(mǎn)足系數(shù)矩陣列滿(mǎn)秩的前提條件。當(dāng)矩陣不滿(mǎn)秩時(shí)文獻(xiàn)[13]通過(guò)將系數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解提出了一種無(wú)偏最小方差狀態(tài)估計(jì)，該濾波器的推導(dǎo)過(guò)程比較繁瑣，沒(méi)有給出未知干擾估計(jì)的具體表達(dá)式。在此研究基礎(chǔ)上有學(xué)者提出了一種新的擴(kuò)展遞歸三步濾波器，該濾波器[14]對(duì)系數(shù)矩陣的秩沒(méi)有特別的要求，推導(dǎo)出未知干擾和系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的具體表達(dá)式。應(yīng)用條件比較寬松，計(jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)潔。

近年來(lái)缺少測(cè)量值的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題(也被稱(chēng)為傳感器間歇故障、丟包或掉包等)引起了廣泛的研究興趣。在這一區(qū)域，除了環(huán)境噪聲和傳感器噪聲外，傳感器測(cè)量通常會(huì)由于多種原因?qū)е滦畔G失，如傳感器故障、網(wǎng)絡(luò)擁塞、部分采集數(shù)據(jù)意外丟失等這類(lèi)情形也被描述為觀察過(guò)程中的不確定性，觀察到的信號(hào)可能不包括有用的信號(hào)，并且只包含噪聲。

換言之，在許多實(shí)際工程中，尤其是在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)漏測(cè)現(xiàn)象。文獻(xiàn)[15]提出了一種用伯努利分布隨機(jī)序列描述測(cè)量缺失現(xiàn)象的模型，針對(duì)一類(lèi)存在隨機(jī)丟包和外界擾動(dòng)信號(hào)的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，設(shè)計(jì)了一種能高效檢測(cè)出故障問(wèn)題的濾波器[16]。 許多研究者致力于這一研究領(lǐng)域，并做出了突出的成果。對(duì)于含有量測(cè)缺失的不確定廣義系統(tǒng)，文獻(xiàn)[17]基于信號(hào)分割法，提出將不確定系統(tǒng)重構(gòu)為相應(yīng)的等價(jià)標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)魯棒估計(jì)。文獻(xiàn)[18]提出一種能同時(shí)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入的濾波器，該濾波器的無(wú)偏最小方差性，可通過(guò)直接的代數(shù)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)，并給出了期望估計(jì)量的設(shè)計(jì)算法。

針對(duì)一類(lèi)具有測(cè)量缺失的線性離散時(shí)間系統(tǒng)[19]，且未知干擾的系數(shù)矩陣不滿(mǎn)秩的情況下，研究未知干擾和狀態(tài)的同時(shí)估計(jì)問(wèn)題。現(xiàn)設(shè)計(jì)帶有量測(cè)缺失的抗干擾濾波器，該濾波器要保證干擾和狀態(tài)估計(jì)滿(mǎn)足最小方差無(wú)偏條件，推導(dǎo)濾波器中待定的增益矩陣。通過(guò)一個(gè)數(shù)值仿真實(shí)例，以期驗(yàn)證在量測(cè)信息缺失時(shí)，仍能估計(jì)出狀態(tài)和未知干擾，當(dāng)發(fā)生量測(cè)缺失的概率較大時(shí)，濾波效果發(fā)生波動(dòng)但仍然控制在一定范圍之內(nèi)。

1 問(wèn)題描述

考慮帶有量測(cè)缺失的線性離散系統(tǒng)：

(1)

假設(shè)1設(shè)δk∈R是取值為0或1且服從Bernoulli分布的隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性為

(2)

式(2)中：π∈[0,1]為給定的標(biāo)量，表示不發(fā)生量測(cè)缺失的概率。隨機(jī)變量δk在時(shí)刻k中是獨(dú)立且與噪聲信號(hào)和初始向量x0是不相關(guān)。注意，當(dāng)量測(cè)方程[式(1)]中的δk=0時(shí)，方程變成yk=Hkdk+vk，此時(shí)的量測(cè)值僅包含未知干擾和測(cè)量噪聲的信息，狀態(tài)信息就丟失了。當(dāng)δk=1時(shí)，測(cè)量值包含狀態(tài)信息，盡管它可能被外部噪聲污染。在這種情況下，未知干擾同時(shí)影響狀態(tài)和輸出，而發(fā)送到輸出單元的狀態(tài)信息可能以一定的概率丟失。

以往考慮未知干擾時(shí)，假定它的系數(shù)矩陣滿(mǎn)秩的情況，若此時(shí)假設(shè)rank(Hk)=rk≤m不滿(mǎn)秩，對(duì)Hk進(jìn)行如下滿(mǎn)秩分解：

(3)

(4)

原測(cè)量方程可以重寫(xiě)為

(5)

2 帶有量測(cè)缺失的濾波器設(shè)計(jì)

已有研究提出了一種新的三步遞歸濾波器，可以用來(lái)估計(jì)未知干擾和狀態(tài)。在本節(jié)中，基于量測(cè)缺失和系數(shù)矩陣不滿(mǎn)秩開(kāi)發(fā)了一類(lèi)帶有量測(cè)缺失的抗干擾濾波器，與標(biāo)準(zhǔn)的遞歸三步濾波器(RTSF)設(shè)計(jì)相似，分三步進(jìn)行。

2.1 預(yù)測(cè)估計(jì)

(6)

2.2 虛擬未知干擾的最小方差無(wú)偏估計(jì)

(7)

(8)

式(8)中：

(9)

(10)

2.3 量測(cè)更新

(11)

(12)

(13)

(14)

定理1在滿(mǎn)足無(wú)偏條件的前提下，使協(xié)方差矩陣跡最小的最佳增益矩陣：

(15)

證明：考慮拉格朗日乘數(shù)法，Λk∈Rn×rk作為拉格朗日乘子來(lái)證明此定理。

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)，并令求導(dǎo)后的式子為零，可以得到：

(17)

將式(17)整理成矩陣相乘的形式：

(18)

將式(15)代入式(11)中可以得到系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)值為

(19)

(20)

(21)

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真條件設(shè)置

用MATLAB軟件生成表示量測(cè)缺失的隨機(jī)序列{δk}，假設(shè)未知干擾的類(lèi)型為常值、階躍和正弦，考慮系統(tǒng)的狀態(tài)為xk=[x1x2x3x4x5]T，未知干擾dk=[d1d2d3]T系統(tǒng)矩陣設(shè)置如下：

3.2 仿真結(jié)果與分析

由于未知干擾只影響系統(tǒng)的前三個(gè)狀態(tài)，所以圖1分別給出了前三個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2、x3的真實(shí)值、估計(jì)值和估計(jì)誤差，通過(guò)仿真驗(yàn)證在不同量測(cè)缺失概率下，系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)效果變化不大，狀態(tài)的估計(jì)值幾乎都能跟蹤上系統(tǒng)的真實(shí)值。在這里只給出π=0.95時(shí)的狀態(tài)估計(jì)仿真曲線，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)的真實(shí)值、估計(jì)值及估計(jì)誤差Fig.1 Real value, estimated value and estimated error of system state

考慮未知干擾d1、d2和d3的類(lèi)型分別滿(mǎn)足常數(shù)型、正弦函數(shù)與常數(shù)組合型和階躍函數(shù)與常數(shù)組合型時(shí)，圖2～圖4表示不發(fā)生量測(cè)缺失概率分別為π=0.7、π=0.95、π=1時(shí)，未知干擾的估計(jì)仿真結(jié)果。

圖2 π=0.7 未知干擾的真實(shí)值和估計(jì)值Fig.2 Real value and estimated value of unknown disturbance (π=0.7)

圖3 π=0.95 未知干擾的真實(shí)值和估計(jì)值Fig.3 Real value and estimated value of unknown disturbance (π=0.95)

圖4 π=1 未知干擾的真實(shí)值和估計(jì)值Fig.4 Real value and estimated value of unknown disturbance (π=1)

從圖2～圖4可以看出，本文研究提出的抗干擾濾波器對(duì)未知干擾d2、d3具有較好的估計(jì)效果，而對(duì)未知干擾d1沒(méi)有實(shí)現(xiàn)估計(jì)，造成這一現(xiàn)象的原因是對(duì)系數(shù)矩陣Hk進(jìn)行滿(mǎn)秩分解時(shí)，所求得的矩陣Tk第一列全為0，進(jìn)而導(dǎo)致測(cè)量值中沒(méi)有未知干擾d1的信息。在不同的量測(cè)缺失概率下，對(duì)未知干擾的估計(jì)會(huì)出現(xiàn)明顯的變化，當(dāng)不發(fā)生量測(cè)的概率值為1時(shí)濾波效果最好。

4 結(jié)論

針對(duì)量測(cè)方程中未知干擾系數(shù)矩陣不滿(mǎn)秩和量測(cè)缺失的情況，考慮到可能出現(xiàn)的測(cè)量誤差，將測(cè)量模型建模為帶二元變量的伯努利過(guò)程。在滿(mǎn)足系統(tǒng)濾波算法的最小方差和無(wú)偏性的條件下求取增益矩陣，從而獲得能同時(shí)估計(jì)未知干擾和狀態(tài)的抗干擾濾波器，通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證了該濾波器能夠有效地估計(jì)未知干擾及系統(tǒng)狀態(tài)，不同量測(cè)缺失概率下的濾波效果不同，估計(jì)誤差的方差能控制在一定范圍之內(nèi)。