汪 恒,何 源,何 勇,郭 磊,王傳婷,徐 濤

(南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094)

殺傷面積能綜合反映出破片速度、質量和空間分布以及戰(zhàn)斗部落速、落角、炸高等終點彈道因素對威力的影響,是殺爆戰(zhàn)斗部毀傷威力的重要指標之一[1]。所以在戰(zhàn)斗部指標設計過程中,獲得更大的殺傷面積是戰(zhàn)斗部設計者關注的重點,因此對殺傷面積的求解以及末彈道參數(shù)的最優(yōu)化處理顯得尤為重要。

目前可以通過數(shù)值仿真計算戰(zhàn)斗部殺傷面積[2],但仿真計算運算周期較長,很難通過此方法得到最優(yōu)的末彈道參數(shù)。另一種求解方式是采用理論模型對殺傷面積進行計算,通過概率密度函數(shù)描述破片的空間分布,得到殺傷面積函數(shù)[3],將殺傷面積函數(shù)看做優(yōu)化問題的目標函數(shù)[4],利用傳統(tǒng)優(yōu)化方法對戰(zhàn)斗部結構進行最優(yōu)化運算。但事實上破片分布密度是不確定的,利用概率密度函數(shù)描述破片空間分布會導致計算結果不準確[5],特別是對破片空間分布不滿足概率密度函數(shù)的戰(zhàn)斗部來說,這種方法并不實用[6]。有的學者利用射擊跡線描述破片飛散實際軌跡[7],避免了上述方法描述破片空間分布的不準確性。

本文基于合理假設,利用破片的初始狀態(tài)計算破片落點,統(tǒng)計地面網(wǎng)格中的有效破片數(shù),對戰(zhàn)斗部在不同末彈道參數(shù)下的殺傷面積進行了準確計算,但以上方法利用了地面微元內(nèi)有效破片數(shù)這一統(tǒng)計量,使計算得到的地面微元內(nèi)的殺傷概率為離散值,導致殺傷面積公式無法作為優(yōu)化問題的目標函數(shù)。目前常采用枚舉法處理上述問題,但枚舉法計算量巨大,因此本文利用極限學習機(extreme learning machine,ELM)描述末彈道參數(shù)與殺傷面積之間的復雜關系,對末彈道參數(shù)進行快速枚舉。

1 殺爆戰(zhàn)斗部毀傷計算模型

1.1 動態(tài)條件下破片飛散

為便于建模分析,做如下假設:①破片在飛散過程中只受到空氣阻力的作用;②破片在空間中的飛行軌跡為直線;③不考慮攻角對殺傷面積的影響。

建立殺爆戰(zhàn)斗部隨動坐標系Oxyz,如圖1所示。圖中,戰(zhàn)斗部起爆點位置O為坐標系原點,d為戰(zhàn)斗部頭部到起爆點的距離,v0為破片靜態(tài)初速,φv為破片靜態(tài)飛散方向角,vc為戰(zhàn)斗部落速,dA為A位置破片與戰(zhàn)斗部頭部的距離,R為A位置與戰(zhàn)斗部軸線的距離,點Axy為點A在Oxy平面的投影,θ為OAxy與Ox軸的夾角。

利用速度矢量和得到破片動態(tài)飛散方向角φ以及破片動態(tài)飛散速度v:

(1)

(2)

考慮戰(zhàn)斗部形狀,某一破片A飛散運動方程在Oxyz坐標系中各個軸上的投影為

(3)

建立地面坐標系O′x′y′z′,其中O′為原點O在地面上的投影,O′x′y′為地面,O′x′軸為戰(zhàn)斗部速度水平分量的方向。將圖1中破片的初始狀態(tài)以及炸高H和落角α引入到該坐標系中,得到如圖2所示的破片飛散模型。

圖1 破片飛散初始狀態(tài)

圖2 破片飛散模型

A位置的破片在O′x′y′z′坐標系中的初始運動方程為

(4)

確定方程(4)中角度θ、落角α、炸高H,破片位置到戰(zhàn)斗部軸線的距離R,以及破片動態(tài)飛散方向角φ和破片動態(tài)飛散速度v就能得到破片落點。

1.2 殺傷面積模型

殺傷面積是地面上任意一點A′(x′,y′)的殺傷概率P(x′,y′)與微元面積ΔS=ΔxΔy的加權面積,其中Δx和Δy分別為地面笛卡爾網(wǎng)格在x′方向與y′方向上的增量,殺傷面積可表示為

S=∑P(x′,y′)ΔS

(5)

ΔS為單個目標所占平均面積,目標相同時為定值;微元面積內(nèi)殺傷概率P(x′,y′)按下列公式計算:

(6)

式中:Ns為目標毀傷時最小命中破片數(shù),人員目標為1枚;NK為微元面積ΔS內(nèi)滿足殺傷準則的破片數(shù),本文采用殺傷動能準則作為模型的殺傷準則,破片在到達目標時動能超過78.4 J,則認為該枚破片能夠達到對人員目標的殺傷作用[5],破片速度衰減規(guī)律可由以下公式得到[8]:

(7)

式中:vp為破片存速,rf為破片飛行距離,mp為破片質量,Hx是與破片形狀有關的系數(shù)。ST為目標的暴露面積,通過以下公式計算[9]:

(8)

2 基于極限學習機的模型

ELM是一種單層隱含前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(SLFN)的學習算法,這種算法可以自適應地設置隱層節(jié)點數(shù),并隨機分配輸入權值與隱層閾值,隱含層和輸出層之間的連接權值通過求解方程組一次完成。由于ELM不需要調整網(wǎng)絡輸入權值和隱藏偏差,使其具有學習速度快、泛化性能好等優(yōu)點[10]。與通過理論模型計算殺傷面積不同,ELM通過隱藏節(jié)點直接描述末彈道參數(shù)與殺傷面積數(shù)值之間的關系,對殺傷面積進行求解。

現(xiàn)將隨機選取的N組訓練集引入到具有L個隱藏節(jié)點的SLFN中,訓練集中末彈道參量輸入矩陣X和對應的殺傷面積輸出矩陣Y為

(9)

式中:n為末彈道參數(shù)組號。將權值和偏差考慮到末彈道參量輸入矩陣中,根據(jù)任意的概率分布函數(shù),隨機生成輸入矩陣相對于隱含層節(jié)點的權值wi和偏差bi,表示為

(10)

式中:win1,win2和win3分別為第n組末彈道參數(shù)對第i層隱含層的權重;bin為第n組末彈道參數(shù)對第i層隱含層的偏差。當以wiX+bi為自變量,ELM中激活函數(shù)采用sigmoid函數(shù)時,可以得到ELM第i個隱含層節(jié)點輸出hi為

(11)

此時,可以得到ELM的輸出為

(12)

(13)

(14)

式中:βi為第i個隱含層對輸出層的權重,權重值可以通過隱含層輸出矩陣M(X)和殺傷面積結果得到:

βi=(MT)+·YT

(15)

文獻[11]表示只要隱藏節(jié)點的數(shù)目足夠,且當激活函數(shù)在任何時間間隔無限可微時,ELM的其余參數(shù)不需要調整。本文采用決定系數(shù)Ω2對學習結果進行評價:

(16)

式中:S′n為第n個樣本的預測值;Sn為第n個樣本的真實值。決定系數(shù)區(qū)間在[0,1]內(nèi),且越接近1,表明模型的性能越好,反之越差。利用ELM求解殺傷面積的計算流程,如圖3。圖中,X1為訓練集輸入,Y1為訓練集輸出,X2為測試集輸入,Y2為測試集輸出,Xg1,Yg1和Xg2分別為X1、Y1和X2歸一化后的結果,Y′g1為測試集輸入X2在ELM計算后的結果,Y′2為Y′g2反歸一化后的結果。

圖3 ELM計算流程圖

3 結果與分析

3.1 破片飛散參數(shù)

文獻[12]采用文獻[13]中求解殺傷面積的方法得到了與試驗結果符合較好的結果。說明文獻[13]中計算結果可靠,本文模型求解的殺傷面積與文獻[13]中數(shù)據(jù)的對比結果如表1。

表1 計算結果與文獻結果比較

由表1可知,本文模型求解結果相對于文獻中數(shù)據(jù)的誤差較小,說明本文ELM方法用于計算殺傷面積合理可靠。利用文獻[14]中戰(zhàn)斗部靜止端點起爆,鎢球預制破片初速和飛散方向角的數(shù)值仿真結果作為本文的破片飛散參數(shù),破片飛散參數(shù)如圖4。

圖4 破片飛散參數(shù)

戰(zhàn)斗部尾部端點起爆時,戰(zhàn)斗部頭部到起爆點的距離d表示的就是戰(zhàn)斗部總長度。此外,下文中通過本文建立的殺傷面積模型得到的結果,針對的都是文獻[14]中提到的飛散參數(shù),如圖4所示的鎢球預制破片戰(zhàn)斗部。

將初始參數(shù)以及不同的末彈道參量代入到上文中的殺傷面積模型中,得到戰(zhàn)斗部落速每隔10 m/s,從10 m/s變化到250 m/s,落角每隔5°,從60°變化到90°,炸高每隔1 m,從3 m變化到9 m時的殺傷面積,為ELM提供1 225個源數(shù)據(jù)。

3.2 影響ELM求解結果的因素

在用ELM求解殺傷面積之前,需要討論ELM模型中激活函數(shù)類型和隱藏節(jié)點個數(shù)對求解精度的影響,使計算選取的激活函數(shù)和隱藏節(jié)點個數(shù)符合精度要求。除了上文提到的sigmoid激活函數(shù),常用的激活函數(shù)還有正弦函數(shù)和hardlim函數(shù),當輸入為負,hardlim函數(shù)值為0,否則函數(shù)值為1。改變ELM中隱藏節(jié)點個數(shù),利用3種激活函數(shù)得到結果的決定系數(shù)如圖5所示。

圖5 決定系數(shù)與節(jié)點個數(shù)的關系

從圖5中可以發(fā)現(xiàn),當ELM隱藏節(jié)點個數(shù)到達200個后,sigmoid函數(shù)和正弦函數(shù)得到結果的決定系數(shù)已達到0.98以上,且sigmoid函數(shù)得到的決定系數(shù)較正弦函數(shù)高,而hardlim函數(shù)得到結果的決定系數(shù)較前兩種函數(shù)低。不僅如此,在改變決定系數(shù)個數(shù)時,hardlim函數(shù)得到的決定系數(shù)值波動較大,而sigmoid函數(shù)結果穩(wěn)定性較好。因此,本文利用sigmoid激活函數(shù)求解殺傷面積,為在保證精度的前提下加快求解速度,隱藏節(jié)點個數(shù)選擇300個,此時ELM訓練結果誤差為

(17)

得到預測值S′n與真實值Sn的誤差如圖6。圖中,f為ELM訓練結果誤差的出現(xiàn)頻次。

圖6 ELM誤差

圖6結果表示,激活函數(shù)為sigmoid函數(shù),隱藏節(jié)點個數(shù)為300個時,真實值與ELM學習結果之間的誤差絕大部分在10%以內(nèi),極少出現(xiàn)大于10%的誤差,ELM學習結果有效且可信。

3.3 通過ELM優(yōu)化末彈道參數(shù)

隨機將部分數(shù)據(jù)作為學習集輸入ELM,對ELM進行訓練,再通過訓練完成后的ELM對落速每隔0.1 m/s從10 m/s變化到250 m/s,落角每隔2.5°從60°變化到90°,炸高每隔0.1 m從3 m變化到9 m時的殺傷面積進行計算,ELM可在極短時間之內(nèi)計算出上述1 903 993種參數(shù)組合的結果,圖7展示了落角分別為60°,70°,80°和90°時ELM的計算結果。

圖7 ELM計算結果

從圖7中看到,落角為60°和70°時,炸高和落速的變化引起的殺傷面積變化很小,殺傷面積圖像幾乎為一個平面;但當落角較大,特別是落角為90°時,從圖中顏色的變化可以發(fā)現(xiàn),隨著落速增大,殺傷面積在達到最大值前迅速變化,之后變化緩慢,隨著炸高增大,殺傷面積在達到最大值之前緩慢變化,而后變化迅速。

這是因為落角較小時,戰(zhàn)斗部遠離地面的一側的破片大多飛向空中,由于此時能造成毀傷的破片較少,不論如何改變落速或炸高,有效破片僅在靠近地面一側的破片中增多;而落角較大時,原先遠離地面一側的破片也會形成有效殺傷,此時再改變落速或者炸高,有效破片不論是遠離地面的一側,還是在靠近地面的一側都會增加,增量更大,因此此時落速和炸高對殺傷面積的影響越大。

上述現(xiàn)象表明:為減小引信起爆高度誤差對殺傷面積的影響,引信起爆時,戰(zhàn)斗部的落速應較最佳落速更大,炸高應較最佳炸高更小。

從圖7結果還可以發(fā)現(xiàn),當戰(zhàn)斗部落角為60°,炸高在7～9 m,落速在10～50 m/s區(qū)域內(nèi)時對應的殺傷面積更大;但是當落角變?yōu)?0°,炸高在3～5 m、落速在10～50 m/s區(qū)域內(nèi)以及炸高在7～9 m、落速在150～250 m/s區(qū)域內(nèi)時,都會出現(xiàn)較大的殺傷面積區(qū)域;落角為80°時,殺傷面積較大區(qū)域出現(xiàn)在炸高為3～5 m,落速在150～250 m/s區(qū)域內(nèi);但落角為90°,殺傷面積較大區(qū)域卻出現(xiàn)在了炸高在3～5 m,落速在10～50 m/s的區(qū)域內(nèi)。利用ELM得到各個落角狀態(tài)下殺傷面積以及對應的落速和炸高,如表2所示。

表2 落角為定值時ELM得到的最優(yōu)末彈道參數(shù)

由表2結果可以看到,通過合理優(yōu)化落速和炸高,隨著落角增大,戰(zhàn)斗部最大殺傷面積增加,最大殺傷面積對應的落速和炸高可以直接通過ELM得到。但從落角、落速和炸高三個方面同時評估殺傷面積時,通過ELM得到殺傷面積如表3所示。

表3 ELM得到的最優(yōu)末彈道參數(shù)

通過比較ELM解得的最優(yōu)末彈道參數(shù)與源數(shù)據(jù)殺傷面積所對應的末彈道參數(shù)發(fā)現(xiàn),雖然兩者得到的炸高相同,落角相差2.5°,僅落速相差較大,但通過ELM得到的最大殺傷面積明顯優(yōu)于源數(shù)據(jù)結果,說明ELM結果能夠有效改善戰(zhàn)斗部殺傷面積。

ELM方法不僅結果優(yōu)于源數(shù)據(jù)結果,其計算速度也比直接利用殺傷面積模型計算源數(shù)據(jù)更快,兩者計算耗時如表4所示。

表4 ELM和本文建立的殺傷面積模型計算時間

由表4可知,雖然ELM求解時間隨著求解數(shù)增加而增加,但其所耗時間都遠遠小于1 s,直接利用殺傷面積模型進行求解1 200個結果需要花費近14 h。可見,隨著求解數(shù)量的增加,ELM求解速度優(yōu)勢越明顯。

3.4 ELM對大落速戰(zhàn)斗部的優(yōu)化方案

文獻[14]采用的是火箭彈戰(zhàn)斗部,落速較低,而很多戰(zhàn)斗部的落速要高很多,現(xiàn)研究某戰(zhàn)斗部在較大落速時的最優(yōu)化方案。某高落速戰(zhàn)斗部的破片初速和飛散方向角沿軸向分布如圖8所示。

圖8 破片初速和飛散方向角沿軸向分布

該戰(zhàn)斗部外輪廓不光滑,有2個斷點,因此破片飛散方向角存在2個突變的位置。

落角為90°,炸高每隔1 m從25 m變化到40 m,落速每隔10 m/s從400 m/s變化到600 m/s,利用計算殺傷面積模型求解殺傷面積的336個結果;炸高每隔0.05 m從25 m變化到40 m,落速每隔0.05 m/s從400 m/s變化到600 m/s,利用學習完成的ELM計算殺傷面積的1 204 301個結果,如圖9所示。

圖9 殺傷面積結果云圖

落角為90°,通過ELM優(yōu)化得到的落角和炸高結果如表5所示。

表5 ELM得到的最優(yōu)末彈道參數(shù)

從優(yōu)化結果可以發(fā)現(xiàn),通過ELM優(yōu)化后的殺傷面積更大,落速和炸高的數(shù)值更精確。

4 結束語

通過與文獻中殺傷面積實驗結果與理論結果的比較,可以發(fā)現(xiàn)本文提出的破片飛散模型以及殺傷面積計算結果真實可靠,并在其求解結果的基礎上,利用ELM對戰(zhàn)斗部末彈道參數(shù)進行了優(yōu)化,通過優(yōu)化結果可以得到如下結論:

①利用ELM對殺傷面積進行求解時,激勵函數(shù)不論采用sigmoid函數(shù)、正弦函數(shù)還是hardlim函數(shù),當隱藏節(jié)點個數(shù)為200個以上時,得到的殺傷面積結果的決定系數(shù)都能夠達到0.9以上,而利用sigmoid函數(shù)時,決定系數(shù)的穩(wěn)定性更好。

②通過ELM求解結果可以看到,落角較小時,炸高和落速的變化對殺傷面積影響小;當落角較大時,殺傷面積會隨著落角增大,在達到最大值前迅速變化,之后變化緩慢;隨著炸高增大,殺傷面積在達到最大值之前緩慢變化,而后變化迅速。

③ELM通過隱藏節(jié)點描述末彈道參數(shù)與殺傷面積之間的隱性關系,從而通過這種關系對殺傷面積進行求解,通過對ELM求解結果與求解速度的比較,發(fā)現(xiàn)ELM方法可以確定更優(yōu)的末彈道參數(shù)(落速、落角和炸高),同時可大幅減少計算時間。