曹爽亮，陳浩，楊亞莉，楊書偉

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院）

0 引言

金屬材料的損傷程度會(huì)隨著疲勞加載的次數(shù)增加而加深，通過對(duì)金屬材料進(jìn)行階段性損傷分析，可以了解金屬在不同的疲勞加載階段的損傷程度，從而建立起疲勞加載次數(shù)與損傷程度的關(guān)系模型。

分形理論作為一種用來描述與研究客觀事物的新理論、新學(xué)科，通過使用分形分維的數(shù)學(xué)工具，從本質(zhì)上理解事物的固有規(guī)律性，將未定量表征或難以量化的抽象事物用一種簡潔的定量方法進(jìn)行表達(dá)[1-2]。作為一種新的概念和方法，分形理論主要用于研究非線性復(fù)雜系統(tǒng)或未進(jìn)行簡化和抽象的事物的共同規(guī)律特征。此外，分形理論也在許多領(lǐng)域展開了應(yīng)用探索。

本文通過分形手段，利用盒維數(shù)方法計(jì)算各個(gè)疲勞階段下試件的細(xì)觀孔洞缺陷的分形維數(shù)。再通過AVIZO 軟件對(duì)試件內(nèi)部的孔洞缺陷進(jìn)行重構(gòu)分析，獲取各疲勞階段試件內(nèi)部缺陷數(shù)目、最小孔洞體積及最大孔洞體積等信息。最后，通過研究各疲勞階段試件的缺陷信息及分析維數(shù)，得出合適的分形損傷變量。

1 缺陷信息的獲取

1.1 試件的制備

本文選用的試件為6060-T6 鋁合金，試件按照美國試驗(yàn)材料學(xué)會(huì)ASTM E8/E8M-15a 標(biāo)準(zhǔn)及《金屬材料軸向等幅低循環(huán)疲勞試驗(yàn)方法》（GB15248-2008）等國家標(biāo)準(zhǔn)的要求進(jìn)行制備，為減小誤差，避免不必要的損傷，在制備過程中采取了同軸切削加工的方式。為確保試件表面光滑度和精確度，試件采用了拋光處理[3]。本文設(shè)計(jì)的試件如圖1 所示，其成分如表1 所示。

表1 6061-T6 鋁合金成分Tab.1 Composition of aluminum alloy 6061-T6

圖1 疲勞試樣Fig.1 Specimens

1.2 階段性損傷實(shí)驗(yàn)

使用材料疲勞試驗(yàn)機(jī)MTS 對(duì)試件進(jìn)行階段性損傷實(shí)驗(yàn)，該試驗(yàn)機(jī)最大行程為600 mm，最大靜態(tài)加載力為±200 N，最大動(dòng)態(tài)加載力為±160 kN，加載頻率為0.001～1 000 Hz。實(shí)驗(yàn)條件見表2。

表2 階段性損傷實(shí)驗(yàn)條件Tab.2 Staged damage test conditions

本次階段性損傷試驗(yàn)將試件開始加載到疲勞斷裂設(shè)置了5 個(gè)循環(huán)階段，分別為2 萬次，4 萬次，6 萬次，8 萬次和10 萬次。階段性損傷試驗(yàn)后，使用工業(yè)納米CT-Phoenix nanotom 設(shè)備對(duì)損傷試樣進(jìn)行工業(yè)CT 掃描，獲取試樣內(nèi)部損傷缺陷的斷層切片數(shù)據(jù)。再對(duì)斷層切片數(shù)據(jù)進(jìn)行三維CT 圖像重建，從而獲得試件掃描區(qū)域的TIF 圖，如圖2 所示。

圖2 CT 掃描TIF 圖切片數(shù)據(jù)Fig.2 CT scan TIF slice data

1.3 缺陷重構(gòu)

本文通過AVIZO 軟件進(jìn)行缺陷重構(gòu)。將獲取的TIF 圖導(dǎo)入AVIZO 中，通過AVIZO 將試件中存在的損傷缺陷進(jìn)行分辨率設(shè)置，再對(duì)TIF 圖切片數(shù)據(jù)進(jìn)行定位、顯示、濾波、缺陷分割識(shí)別、體素渲染、三維重構(gòu)，最終獲得孔洞數(shù)量、孔洞體積、最大損傷面積等參數(shù)。圖3 為缺陷重構(gòu)流程圖。

圖3 缺陷重構(gòu)流程圖Fig.3 Defect reconstruction flowchart

將TIF 圖導(dǎo)入AVIZO 軟件之后，先確定切片掃描分辨率精度及掃描模型在x，y，z 三個(gè)方向上的尺寸信息，然后添加Ortho-Slice 模塊，定位顯示出TIF 圖，如圖4 所示。

圖4 CT 掃描數(shù)據(jù)顯示Fig.4 CT scan data explicit

使用非局部均值算法Non-Local means Filter對(duì)切片進(jìn)行濾波去噪處理。圖5 為圖片去噪后的效果。

圖5 濾波后的CT 掃描數(shù)據(jù)Fig.5 CT scan data after filtering

去噪完成之后，再對(duì)二維切片進(jìn)行閾值分割處理，使用Interactive-Thresholding 模塊對(duì)基體材料與缺陷進(jìn)行識(shí)別分割，如圖6 所示。

圖6 損傷試件孔洞分割識(shí)別Fig.6 Hole segmentation identification of damage specimen

通過Volume Rendering 模塊對(duì)缺陷進(jìn)行體素渲染，以便內(nèi)部損傷缺陷可視化顯示。在可視化方面，不僅可以通過二維成像觀察試件內(nèi)部每層的損傷情況，也可以通過三維顯示模塊對(duì)損傷缺陷進(jìn)行三維重構(gòu)和成像，更直觀地觀察到損傷的位置和程度。如圖7 所示。

圖7 損傷缺陷重構(gòu)Fig.7 Damage defect reconstruction

2 基于分形理論的損傷變量

根據(jù)分形維數(shù)的計(jì)算理論[4-9]，假設(shè)疲勞損傷內(nèi)部細(xì)觀孔洞缺陷滿足分形特征，則根據(jù)分形定義可得：

式中：ri——孔洞半徑；N（r ＞ri）——孔洞半徑大于ri的孔洞數(shù)目；d——分形維數(shù)；k——常數(shù)。當(dāng)細(xì)觀孔洞滿足分形時(shí)，則有

式中：rmin——最小孔洞的半徑；NZ——疲勞損傷處的孔洞總個(gè)數(shù)。

由式（2）與式（1）可得

由式（3）與式（1）可得

對(duì)式（4）兩邊取對(duì)數(shù)可得

當(dāng)孔洞半徑r 最小時(shí)，孔洞體積v 也是最小的，則式（5）可轉(zhuǎn)換為

使用AVIZO 對(duì)循環(huán)周次為60 000 次的疲勞試件內(nèi)部孔洞缺陷的大小和數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如圖8 所示。

圖8 損傷試件孔洞分形維數(shù)計(jì)算Fig.8 Calculation of fractal dimension of damaged test piece

結(jié)果表明，試件內(nèi)部孔洞體積對(duì)數(shù)之差和數(shù)目對(duì)數(shù)之差有很好的擬合效果，這表明疲勞損傷內(nèi)部孔洞缺陷數(shù)目與孔洞體積大小之間具有統(tǒng)計(jì)分形特征。

3 細(xì)觀孔洞缺陷分形維數(shù)計(jì)算

試件在不同循環(huán)周次疲勞加載試驗(yàn)后產(chǎn)生的細(xì)觀孔洞缺陷符合統(tǒng)計(jì)意義上的分形特征。本文通過盒維數(shù)方法計(jì)算試件內(nèi)部細(xì)觀孔洞缺陷的分形維數(shù)。

通過AVIZO 獲取各個(gè)試件內(nèi)部孔洞缺陷分布的二維圖，然后對(duì)圖像進(jìn)行二值化處理，使得孔洞為黑色，材料基體為白色，如圖9 所示。

圖9 孔洞缺陷圖像二值化Fig.9 Hole defect image binarization

選取碼尺為A1（δ1，δ1）的正方體，覆蓋經(jīng)過二值化處理的二維缺陷分布圖，將含有孔洞的方塊記為1，統(tǒng)計(jì)包含孔洞的小方格數(shù)目為Nδ1(A1)。然后將碼尺變?yōu)锳2（δ2，δ2）的正方形，統(tǒng)計(jì)含孔洞缺陷的小方格數(shù)目為Nδ2（A2）。以此類推直至碼尺大小小于圖像像素的大小，如圖10所示。

圖10 盒維數(shù)計(jì)算分形維數(shù)示意圖Fig.10 Schematic diagram of fractal dimension calculation of box dimension

分別對(duì)δ與Nδ（A）取對(duì)數(shù)，再通過最小二乘法擬合-logδ與logNδ（A），得到兩者之間的斜率，即得到孔洞缺陷分形圖的分形維數(shù)d。

計(jì)算出的各個(gè)疲勞階段下的損傷試件的分形維數(shù)如表3 所示。

表3 各疲勞試件分形維數(shù)計(jì)算Tab.3 Calculation of fractal dimension of each fatigue test piece

4 疲勞損傷分形損傷變量表征

根據(jù)上文分析可知，試件內(nèi)部缺陷數(shù)量與缺陷體積的分布符合統(tǒng)計(jì)意義上的分形特征。在缺陷體積與缺陷數(shù)量的變化幅值一定的前提下，分形維數(shù)越大，缺陷體積尺度級(jí)別越多，缺陷體積變化梯度越大。即相對(duì)于大體積孔洞，小體積缺陷的數(shù)量更多，但總體積較小，損傷程度較小。在分形維數(shù)已知的前提下，缺陷體積變化幅值越大，則缺陷數(shù)量越多，缺陷總體積越大，損傷程度也越大。綜上所述，表征疲勞破壞區(qū)域孔洞缺陷的損傷變量可表示為

式中：Δv——每個(gè)循環(huán)階段下缺陷體積變化幅值；n——缺陷個(gè)數(shù)；d——分形維數(shù)；v——損傷區(qū)基體材料體積。

在對(duì)材料損傷程度進(jìn)行表征時(shí)，通常會(huì)從2個(gè)狀態(tài)來研究損傷狀況，包括研究初始狀態(tài)時(shí)承載面積A 與損傷后材料的有效承載面積之間的比值，以及研究材料初始狀態(tài)的彈性模量與損傷后彈性模量之間的比值，其均為將初始狀態(tài)的損傷值D 視為0。隨著損傷程度的不斷增加，損傷值D 也隨之增大，當(dāng)材料破壞時(shí)，D 值接近于1。因此，為更好描述孔洞缺陷損傷演化規(guī)律，對(duì)式（7）進(jìn)行無量綱化，表達(dá)式為

式中：Dd——表征疲勞損傷演化規(guī)律的損傷變量；w0——初始損傷度量；w——損傷演化過程中的損傷度量；wf——材料失效時(shí)損傷度量。

當(dāng)材料處于未損傷的狀態(tài)時(shí)，w=w0，Dd=0，隨著循環(huán)周次的增加，材料開始受到損傷。在損傷初期，孔洞個(gè)數(shù)、孔洞體積幅值及分形維數(shù)增大，但分形維數(shù)的增量明顯小于孔洞個(gè)數(shù)與體積幅值的增量。而在損傷后期，孔洞的體積幅值繼續(xù)增加，分形維數(shù)則不斷減少。在整個(gè)損傷過程中，ω不斷增加，其范圍為ω0＜ω＜ωf，即0＜Dd＜1。理論上，在材料失效時(shí)，ω=ωf，Dd=1。

圖11 為試件分形損傷變量Dd與疲勞加載循環(huán)周次之間的關(guān)系圖。

從圖11 可以看出，隨著循環(huán)周次的增加，損傷變量呈上升趨勢(shì)。在疲勞加載初期，分形損傷變量增速較為緩慢。而在疲勞加載中期開始，分形損傷變量增速明顯加快。這是因?yàn)樵诩虞d初期，試件內(nèi)部缺陷開始萌生并且緩慢增長，而當(dāng)缺陷數(shù)量增長到一定數(shù)目后，缺陷之間開始貫穿形成更大的缺陷，損傷部分所占的體積迅速增大，從而導(dǎo)致試件機(jī)械性能迅速退化，最終失效破壞。而在疲勞加載末期，即材料即將失效時(shí)，3 組試件的分形損傷變量分別為0.132，0.138，0.135，數(shù)值基本一致，由此可得使用分形損傷變量來表征疲勞損傷的演化規(guī)律是可行的。

圖11 分形損傷變量Dd 隨循環(huán)周次的變化Fig.11 Variation of fractal damage variable Dd with the cycle

5 結(jié)論

為找出一種合適的損傷變量用以表征疲勞損傷程度，本文通過對(duì)各循環(huán)階段下試件內(nèi)部缺陷的分形特性進(jìn)行研究，結(jié)果表明：

（1）通過對(duì)試件內(nèi)部損傷缺陷進(jìn)行階段性損傷分析，結(jié)果表明試件內(nèi)部缺陷體積大小與缺陷數(shù)量之間符合統(tǒng)計(jì)意義上的分形特征。

（2）可以通過盒維數(shù)法求出試件內(nèi)部損傷缺陷的分形維數(shù)。

（3）提出了一種基于試件內(nèi)部缺陷體積幅值、缺陷數(shù)目及分形維數(shù)建立分形損傷變量D_d的方法，結(jié)果表明，分形損傷變量完全可以用來表征疲勞損傷的演化規(guī)律。