胡冬梅

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“以學(xué)為主”，充分尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，有助于營(yíng)造良好的課堂氛圍，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛力。為獲得預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，“以學(xué)為主”教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)認(rèn)真研究學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容，做好課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，采取針對(duì)性授課策略，保證學(xué)生能夠深入理解，牢固掌握所學(xué)知識(shí)。本文以“三角恒等變換”教學(xué)為例進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);以學(xué)為主;教學(xué)

“三角恒等變換”是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)。該部分涵蓋很多公式，部分公式較為相近，需要學(xué)生牢固記憶。為避免學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生枯燥感，幫助其構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使其在解題中正確、靈活運(yùn)用相關(guān)公式，應(yīng)結(jié)合自身授課經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)真開(kāi)展“以學(xué)為主”教學(xué)活動(dòng)。

一、預(yù)留時(shí)間，鼓勵(lì)自學(xué)

教學(xué)中為給學(xué)生留下深刻印象，使其搞清楚“三角恒等變換”公式之間的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)做好教學(xué)環(huán)節(jié)的合理設(shè)計(jì)，尤其應(yīng)注重給學(xué)生預(yù)留空白時(shí)間，要求學(xué)生先進(jìn)行“三角恒等變換”公式的學(xué)習(xí)并嘗試著進(jìn)行推導(dǎo)，更好地把握“三角恒等變換”公式的本質(zhì)。同時(shí)，為避免學(xué)生將相關(guān)的公式記混淆，可對(duì)相關(guān)的公式分門(mén)別類(lèi)并運(yùn)用多媒體屏幕進(jìn)行展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的細(xì)微區(qū)別，必要情況下要求學(xué)生運(yùn)用思維導(dǎo)圖、列表格等方法進(jìn)行對(duì)比記憶。另外，自學(xué)的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解答相關(guān)習(xí)題檢驗(yàn)自學(xué)成果，以暴露出自學(xué)的薄弱點(diǎn)，及時(shí)加以彌補(bǔ)。如課堂上可要求學(xué)生解答如下習(xí)題：

已知α∈（0，），2sin2α-1=cos2α，則cosα（ ）

A. B. C. D.

該習(xí)題難度不大，只要能夠牢固記憶“三角恒等變化”公式，利用sin2α+cos2α=1，這一隱含條件不難作答。

∵2sin2α-1=cos2α，∴4sinαcosα-1=2cos2α-1，可得2sinαcosα=cos2α，即，2sinα=cosα，sinα=cosα。

又∵sin2α+cos2α=（cosα）2+cos2α=1，∴cos2α=1，又∵α∈（0，），∴cosα>0，即，cosα=，選擇D項(xiàng)。

二、講解例題，鼓勵(lì)反思

“三角恒等變換”教學(xué)中，開(kāi)展“以學(xué)為主”教學(xué)活動(dòng)時(shí)，不能對(duì)學(xué)生放任不管，仍應(yīng)注重講解相關(guān)例題，只不過(guò)需要把握例題講解時(shí)間，不能占用太多時(shí)間，鍛煉學(xué)生思維的靈活性。教學(xué)實(shí)踐表明，一些學(xué)生往往善于運(yùn)用“三角恒等變換”公式進(jìn)行正向的推理，而在逆向推理上較為薄弱。針對(duì)這一現(xiàn)象，應(yīng)在例題的篩選上多下功夫，注重選擇代表性較強(qiáng)的例題，為學(xué)生展示“三角恒等變換”公式的逆向運(yùn)用。如在課堂上為學(xué)生講解如下例題：

已知x∈（0，），y∈（0，），=，則（ ）

A.y-x= B.2y-x= C.y-x= D.2y-x=

該題難度一般，考查“兩角和與差”公式的逆向應(yīng)用。課堂上講解該例題，能使學(xué)生體會(huì)“兩角和與差”公式逆向推理過(guò)程，又能使其更加牢固的掌握這一公式，使其在以后遇到類(lèi)似問(wèn)題，能夠迅速地找到破題思路。

∵cos2y=（1-sin2y），=

∴==，

即，cosy（cosx+sinx）=siny（cosx-sinx），

cosycosx+cosysinx=sinycosx-sinysinx，cosxcosy+sinxsiny=sinycosx-cosysinx，∴cos（x-y）=sin（y-x），∵x∈（0，），y∈（0，），∴y-x=

三、注重訓(xùn)練，鼓勵(lì)交流

“以學(xué)為主”下進(jìn)行“三角恒等變換”教學(xué)時(shí)，為使學(xué)生積累相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力，應(yīng)注重鼓勵(lì)學(xué)生做好日常的訓(xùn)練活動(dòng)，尤其為獲得良好的訓(xùn)練效果，要求學(xué)生認(rèn)真落實(shí)以下內(nèi)容：其一，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間緊，因此在訓(xùn)練時(shí)應(yīng)提高訓(xùn)練效率，避免題海戰(zhàn)術(shù)，應(yīng)結(jié)合自身實(shí)際做好訓(xùn)練習(xí)題的挑選，注重將重點(diǎn)放在鞏固記憶不牢固的知識(shí)上;其二，端正訓(xùn)練態(tài)度。訓(xùn)練的過(guò)程中不能簡(jiǎn)單地追求得出正確答案，應(yīng)要求學(xué)生多進(jìn)行反思與交流。其中反思的內(nèi)容包括習(xí)題考查了哪些知識(shí)點(diǎn)、設(shè)計(jì)的是否有陷阱、怎樣快速的尋找到解題思路等。同時(shí)，與多與其他學(xué)生交流學(xué)習(xí)心得，多借鑒他人高效的解題方法。如輔助角是“三角恒等變換”部分的重要內(nèi)容，為更好地掌握該內(nèi)容，要求學(xué)生多做相關(guān)的訓(xùn)練習(xí)題，如下題：

已知函數(shù)f（x）=（3sinx-4cosx）|cosx|在x=x0處取得最大值，則sin2x0的值為（）

A. B. C.- D.-

該習(xí)題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，主要有分類(lèi)討論、輔助角等，是一道優(yōu)秀的習(xí)題。訓(xùn)練中要求學(xué)生認(rèn)真對(duì)待，詳細(xì)寫(xiě)出解題過(guò)程。

∵cosx的正負(fù)未知，因此，需要進(jìn)行分類(lèi)討論。

①當(dāng)cosx≥0，則f（x）=（3sinx-4cosx）cosx=3sinxcosx-4cos2x=sin2x-2cos2x-2=sin（2x-φ）-2，f（x）max=-2=;

②當(dāng)cosx<0，f（x）=（3sinx-4cosx）（-cosx）=-3sinxcosx+4cos2x=-sin2x+2cos2x+2=cos（2x+φ）+2，此時(shí)cosφ=，sinφ=，此時(shí)f（x）max=+2=;此時(shí)2x0+φ=2kπ，2x0=2kπ-φ，∴sin2x0=sin（2kπ-φ）=sin（2kπ-φ）=-sinφ=-，選擇D項(xiàng)。

四、拓展能力，鼓勵(lì)總結(jié)

“以學(xué)為主”下的“三角恒等變換”教學(xué)中，為避免學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中淺嘗輒止，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的學(xué)習(xí)，并鼓勵(lì)其做好學(xué)習(xí)的總結(jié)。學(xué)生自學(xué)的過(guò)程中往往進(jìn)行訓(xùn)練以達(dá)到鞏固學(xué)生所學(xué)，提高學(xué)以致用能力的目的，但是為了更好地拓展解題能力，訓(xùn)練時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不能滿足于已取得的成績(jī)，要求在訓(xùn)練的過(guò)程中做一些有難度的習(xí)題，拓展自身視野。同時(shí)，認(rèn)真總結(jié)相關(guān)習(xí)題特點(diǎn)、習(xí)題“難”在何處以及相關(guān)的破題思路，從而對(duì)所學(xué)知識(shí)有個(gè)更為全面、清晰的認(rèn)識(shí)。如為拓展學(xué)生能力，可要求學(xué)生解答如下習(xí)題：

已知α=1°，β=61°，γ=121°，則以下結(jié)論正確的是（ ）

（1）tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=3;

（2）tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=-3;

（3）=3;

（4）=-3;

A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）D.（2）（4）

該習(xí)題具有一定難度，需要學(xué)生積極聯(lián)系所學(xué)，把握角度之間的內(nèi)在關(guān)系，運(yùn)用“三角恒等變換”公式加以巧妙的變形、求解。

∵α=1°，β=61°，γ=121°，∴tan（β-α）=tan60°=，tan（γ-β）=tan60°=，tan（α-γ）=tan（-120°）=。

∴tanβ-tanα=（1+tanαtanβ）①，tanγ-tanβ=（1+tanβtanγ）②，tanα-tanγ=（1+tanγtanα）③。

①+②+③得：（3+tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ）=0

∴tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ=-3，（2）正確。

將①×tanγ，②×tanα，③×tanβ分別得到：

tanβtanγ-tanαtanγ=（tanγ+tanαtanβtanγ）

tanγtanα-tanβtanα=（tanα+tanαtanβtanγ）

tanαtanβ-tanγtanβ=（tanβ+tanαtanβtanγ）

以上各式相加得到：tanα+tanβ+tanγ+3tanαtanβtanγ=0，

∴=-3，（4）正確。綜上正確答案為D項(xiàng)。

結(jié)束語(yǔ)

在“以學(xué)為主”的背景下開(kāi)展“三角恒等變換”教學(xué)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)將更多的時(shí)間留給學(xué)生，自己則扮演好“領(lǐng)路人”的角色，讓學(xué)生自己學(xué)習(xí)、思考、總結(jié)并給予學(xué)生學(xué)習(xí)上的指引，使其在訓(xùn)練中犯錯(cuò)、糾錯(cuò)，如此既能營(yíng)造活潑的數(shù)學(xué)課堂氛圍，又能更好地加深學(xué)生印象，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使其更加愿意學(xué)，積極地學(xué)。

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