徐純

[摘 要]數(shù)量關(guān)系和空間形式是數(shù)學(xué)研究的兩大基本范疇。培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)的重要目標(biāo)。在教學(xué)中，通過(guò)深度解讀教材，挖掘空間觀念發(fā)展的要點(diǎn)，基于教材解讀，探索學(xué)生空間觀念發(fā)展的路徑，對(duì)提升學(xué)生的核心素養(yǎng)有重要意義。

[關(guān)鍵詞]教材;旋轉(zhuǎn);空間觀念

“描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化”是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要過(guò)程。圖形的旋轉(zhuǎn)作為小學(xué)圖形運(yùn)動(dòng)教學(xué)中的難點(diǎn)，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的空間觀念有重要的意義。教師深度解讀教材，挖掘空間觀念發(fā)展的要點(diǎn)、把握學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)、探尋空間觀念發(fā)展的路徑，可以讓學(xué)生空間觀念的發(fā)展更有向度。以下是筆者的一些思考與實(shí)踐。

一、基于教材編排特點(diǎn)，挖掘空間觀念發(fā)展要點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)是一種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。既然是運(yùn)動(dòng)，就不僅要知道運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，還要知道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。因此，圖形的旋轉(zhuǎn)的學(xué)習(xí)不僅是技能的訓(xùn)練，而且是空間觀念的發(fā)展與提升。那么，教材的編排如何發(fā)展學(xué)生的空間觀念？

1.注重生活經(jīng)驗(yàn)，感知旋轉(zhuǎn)特征，建立空間觀念

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。對(duì)于旋轉(zhuǎn)，蘇教版、人教版、北師大版教材都創(chuàng)設(shè)了汽車(chē)從小區(qū)門(mén)口開(kāi)出的情境，以日常生活中常見(jiàn)的道閘桿引入旋轉(zhuǎn)的概念，喚起學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察道閘桿升起和下降的過(guò)程，比較兩個(gè)過(guò)程的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，感悟旋轉(zhuǎn)的概念與特征：將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為圖形的旋轉(zhuǎn);旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小;旋轉(zhuǎn)的方向有順時(shí)針與逆時(shí)針;旋轉(zhuǎn)的三要素是旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度。當(dāng)學(xué)生能在頭腦中想象道閘桿順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，學(xué)生的空間觀念便得到了發(fā)展。

2.注重動(dòng)手操作，感知圖形旋轉(zhuǎn)，發(fā)展空間觀念

例如教學(xué)蘇教版教材例3（圖略），在方格紙上將直角三角形旋轉(zhuǎn)90°是本課的難點(diǎn)，也是本單元的難點(diǎn)。人教版教材將這一內(nèi)容安排在五年級(jí)下冊(cè)，而北師大版教材則安排在六年級(jí)下冊(cè)。相較于圖形的平移、軸對(duì)稱(chēng)，只要明確距離、找出關(guān)鍵的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可找到旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)圖形，雖然旋轉(zhuǎn)前后圖形任意兩點(diǎn)間的距離不變，但是對(duì)應(yīng)線段比較難找。畫(huà)旋轉(zhuǎn)后的圖形，不僅要兼顧旋轉(zhuǎn)三要素，即明確旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度，還要在頭腦中建立“運(yùn)動(dòng)著”的三角形的表象，需要較強(qiáng)的空間想象力，對(duì)一些學(xué)生來(lái)說(shuō)并不簡(jiǎn)單。筆者通過(guò)前測(cè)，讓學(xué)生畫(huà)出例3中直角三角形旋轉(zhuǎn)后的圖形，學(xué)生的正確率僅為17.65%。如何突破這一難點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念？三個(gè)版本的教材都設(shè)置了動(dòng)手操作活動(dòng)。人教版教材設(shè)置了例2，在方格紙上旋轉(zhuǎn)直角三角形，蘇教版、北師大版教材則提供了和例題相同的三角形讓學(xué)生進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中感知旋轉(zhuǎn)的特性，掌握畫(huà)旋轉(zhuǎn)后的圖形的方法。正是這樣一個(gè)動(dòng)手操作的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生將頭腦中的表象與實(shí)物操作的具象相融合，深度感知旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，有效突破了教學(xué)難點(diǎn)，強(qiáng)化了學(xué)生的空間觀念。

3.注重練習(xí)設(shè)計(jì)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)圖形，深化空間觀念

蘇教版教材例3中，教材精心選擇了3個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的直角三角形，且它們的兩條直角邊都與方格線重合，降低了旋轉(zhuǎn)的難度。通過(guò)比較旋轉(zhuǎn)前后的圖形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系，概括畫(huà)旋轉(zhuǎn)后的圖形的方法。在“練一練”中，教材又安排了長(zhǎng)方形的旋轉(zhuǎn)，圖形由3個(gè)頂點(diǎn)變?yōu)?個(gè)頂點(diǎn)。再到“練習(xí)一”的第4題，設(shè)計(jì)了只有一條邊與方格線重合的圖形，讓學(xué)生通過(guò)一條線段的旋轉(zhuǎn)去想象整個(gè)三角形或梯形旋轉(zhuǎn)后的位置。整個(gè)練習(xí)設(shè)計(jì)由易到難，逐步增加想象的空間，讓學(xué)生在畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形的同時(shí)深化空間觀念。

二、基于教材深度解讀，探索空間觀念發(fā)展路徑

1.以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，在觀察與比較中把握內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，發(fā)展空間觀念

【片段1】

師：道閘桿AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，以下4幅圖中，哪幅圖正確？其他3幅哪里有問(wèn)題？

師：將三角形ABC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到4幅圖，請(qǐng)仔細(xì)觀察，它們有著怎樣的同與不同？為什么？

生1：我認(rèn)為相同的地方在于，雖然都發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，但是三角形ABC的大小都沒(méi)有發(fā)生改變。不同之處在于，第①幅圖中三角形ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第②幅圖中三角形ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第③幅圖中三角形ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第④幅圖中三角形ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，它們要么旋轉(zhuǎn)中心不同，要么旋轉(zhuǎn)方向不同，所以旋轉(zhuǎn)后的位置也不相同。

生2：我有補(bǔ)充。不管怎么旋轉(zhuǎn)，它們都是旋轉(zhuǎn)了90°。在每一幅圖中，三角形的每條邊都旋轉(zhuǎn)了90°。

瑞典著名教育家馬飛龍教授曾指出，學(xué)習(xí)就是鑒別，有比較才有鑒別。那么，如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)三要素，進(jìn)而把握旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)？在教學(xué)中，依托學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在觀察中主動(dòng)比較，在比較中深度觀察，此時(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)更能促進(jìn)學(xué)生把握旋轉(zhuǎn)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。

在學(xué)生借助道閘桿的升起和下降這一生活經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)了旋轉(zhuǎn)三要素后，教師在片段一設(shè)置了觀察道閘桿AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的環(huán)節(jié)，利用生活經(jīng)驗(yàn)的支撐，喚起學(xué)生在生活中建立起的表象，建立起生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生在尋找正確答案的同時(shí)找出出錯(cuò)的原因，多角度感知旋轉(zhuǎn)三要素，深度理解旋轉(zhuǎn)的特征。此時(shí)，學(xué)生依托生活經(jīng)驗(yàn)辨析片段一中的4幅圖，通過(guò)在頭腦中建立旋轉(zhuǎn)的表象進(jìn)行判斷。這時(shí)的觀察都伴隨著空間想象，學(xué)生會(huì)思考許多問(wèn)題，如是什么原因?qū)е逻@幅圖的錯(cuò)誤呢？是旋轉(zhuǎn)中心沒(méi)有找對(duì)還是旋轉(zhuǎn)方向錯(cuò)誤？對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生了改變？學(xué)生在觀察、糾錯(cuò)、析因中厘清旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。同時(shí)，對(duì)圖③的判斷更讓學(xué)生對(duì)于旋轉(zhuǎn)是剛體運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小不發(fā)生改變的性質(zhì)有了更深層次的認(rèn)識(shí)。

在片段二中，由生活中的物體到圖形，通過(guò)觀察三角形ABC旋轉(zhuǎn)后圖形的不同位置，全班交流、匯報(bào)旋轉(zhuǎn)后圖形的同與不同，讓學(xué)生以運(yùn)動(dòng)變化的眼光觀察圖形，并再一次感受到圖形旋轉(zhuǎn)后位置變了但是形狀并沒(méi)有改變，相鄰兩點(diǎn)的距離仍相等的特性，而由于旋轉(zhuǎn)的中心不同、方向不同、角度不同，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果不同。學(xué)生在同與不同的比較和辨析中感受平面圖形剛體運(yùn)動(dòng)的不變性質(zhì)，感受變與不變的數(shù)學(xué)思想，提高抽象概括能力，感悟事物間的因果關(guān)系，發(fā)展空間觀念。

2.以動(dòng)手操作為依托，在自主建構(gòu)與深度參與中突破難點(diǎn)，強(qiáng)化空間觀念

【片段3】

師：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了旋轉(zhuǎn)的方向，現(xiàn)在請(qǐng)你伸出右手跟著鐘面上指針的轉(zhuǎn)動(dòng)方向進(jìn)行比畫(huà)，先順時(shí)針，再逆時(shí)針。

【片段4】

師：課前你們已經(jīng)準(zhǔn)備好了活動(dòng)角，請(qǐng)你將活動(dòng)角的兩條邊重合并將開(kāi)口向左，將活動(dòng)角的一條邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，合攏，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°;接著再換個(gè)方向，開(kāi)口向上，將一條邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，合攏再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°……

【片段5】

師（出示蘇教版教材例3）：你能把這個(gè)三角形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°嗎？先獨(dú)立想象，如果有困難，再拿出課前剪好的三角形旋轉(zhuǎn)一下。

曹培英指出，在整個(gè)小學(xué)階段，觸覺(jué)、運(yùn)動(dòng)覺(jué)與視覺(jué)的協(xié)同活動(dòng)，始終是獲得空間觀念的有力支撐。三次操作活動(dòng)，層層深入。第一次操作，讓學(xué)生在手的比畫(huà)過(guò)程中，明確了順時(shí)針和逆時(shí)針的區(qū)別。身體的參與，讓學(xué)生獲得大量的空間知覺(jué)，有利于清晰判斷順時(shí)針、逆時(shí)針的方向。第二次操作，通過(guò)旋轉(zhuǎn)活動(dòng)角的一條邊，學(xué)生感知線段在不同位置旋轉(zhuǎn)，結(jié)果也是不同的，通過(guò)活動(dòng)角的轉(zhuǎn)動(dòng)，深度感知逆時(shí)針與順時(shí)針的方向，進(jìn)而由空間知覺(jué)發(fā)展為空間表象。第三次操作，是讓學(xué)生掌握怎樣將直角三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，教師沒(méi)有教給學(xué)生旋轉(zhuǎn)的方法，而是讓學(xué)生充分進(jìn)行空間想象，自主建構(gòu)。有的學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，把圖形想象成自己，用“躺下”“趴倒”來(lái)描述旋轉(zhuǎn)方向，化解難點(diǎn)。有的學(xué)生將直角三角形的旋轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓷l與方格相垂直的線段的旋轉(zhuǎn)，化二維為一維，化難為易。此時(shí)進(jìn)行操作，是學(xué)生經(jīng)歷空間想象后的操作，是帶有驗(yàn)證性質(zhì)的操作，不僅給學(xué)生提供了“腳手架”，而且能讓學(xué)生將頭腦中建構(gòu)的表象與實(shí)物的操作相對(duì)照，讓學(xué)生確定自己的想象正確或修正自己的錯(cuò)誤，從而發(fā)展空間觀念。

3.以多元練習(xí)為載體，在想象與演示中理解與內(nèi)化，提升空間觀念

【片段6】

（1）把三角形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

（2）把四邊形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。][B][A]

師：三角形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，它的位置會(huì)在哪里？請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，在頭腦中想象出圖形的位置。

【片段7】

師：你們玩過(guò)俄羅斯方塊嗎？如圖所示，怎樣移動(dòng)圖中的圖形①，可以消掉下面的方塊？

生1：將圖形①繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后向下平移6格，就可以消掉下面的方塊。

生2：也可以把圖形①繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后向左平移1格，再向下平移7格。

生3：還可以將圖形①繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后向左平移5格，再向下平移6格。

師：下面兩個(gè)圖形呢？

空間觀念的核心是空間想象力。如何發(fā)展學(xué)生的空間想象力？在片段六中，教師首先給學(xué)生一定的時(shí)間去充分想象旋轉(zhuǎn)后的圖形是什么樣的、在什么位置，并獨(dú)立畫(huà)出來(lái)，再通過(guò)多媒體演示學(xué)生想象的過(guò)程，由虛到實(shí)，由頭腦中的表象到可以觀察到的圖形，讓學(xué)生的空間觀念充分發(fā)展。在練習(xí)中，教師創(chuàng)設(shè)俄羅斯方塊的游戲情境，讓學(xué)生在消掉方塊的游戲中心情愉悅地展開(kāi)想象，輕松愉快地發(fā)展空間想象力。在片段七中，學(xué)生大膽發(fā)揮想象，匯報(bào)自己不同的方法，可以通過(guò)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)圖形①后平移，消掉下面的方塊，也可以繞另外的某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后再進(jìn)行平移完成游戲。不唯一的方法為學(xué)生空間想象力的發(fā)展提供了更多的可能，同時(shí)該情境將旋轉(zhuǎn)與平移兩種運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，深度發(fā)展學(xué)生的空間觀念。在學(xué)生想象后，教師對(duì)不同的方法輔以多媒體動(dòng)畫(huà)演示，展示學(xué)生想象的過(guò)程與結(jié)果，將學(xué)生頭腦中已有的正確的表象進(jìn)行強(qiáng)化，化模糊為清晰，讓空間觀念在學(xué)生的頭腦中“落地生根”。

解讀教材是每一位教師必做的功課，發(fā)展學(xué)生空間觀念是“圖形與幾何”教學(xué)不變的主題，在“圖形與幾何”的教學(xué)中，在深度解讀教材的基礎(chǔ)上，探索學(xué)生空間觀念的發(fā)展路徑，是一線教師永恒的研究課題。

（責(zé)編 吳美玲）