陶磊

2021年是新高考“3+3”模式、“3+1+2”模式在全國大范圍實踐的第一年. 新高考模式下的高考數(shù)學(xué)試題將數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查融入平淡無奇的背景之中，不僅充分體現(xiàn)了命題人的命題智慧，也為廣大的一線教師研究數(shù)學(xué)教學(xué)提供了寶貴的材料，為今后的課堂數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向. 本文是筆者研讀高考試題的一些心得體會.

一、重視基本概念，從課本中汲取營養(yǎng)

例1. 有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球. 甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（? ?）

A. 甲與丙相互獨立

B. 甲與丁相互獨立

C. 乙與丙相互獨立

D. 丙與丁相互獨立

賞析：這道試題背景在課本中屢見不鮮，學(xué)生非常熟悉. 許多考生出考場后非常開心，都認為第8題很簡單，答案就是A. 因為事件甲和事件丙之間是否發(fā)生相互不受影響. 其實，這道試題的考點非常明確，就是考查事件的相互獨立性.

設(shè)A，B為兩個事件，若P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨立. 顯然，要正確解答這道試題，首先是要計算出甲、乙、丙、丁等相關(guān)事件的概率，然后再根據(jù)事件的相互獨立性的定義做出判斷. 因此，相關(guān)事件概率的計算才是本道試題考查的核心. 這么多個概率值，如何能迅速、準確地計算出來？其實，課本上早已經(jīng)給出了最有效的計算方法——列表法. 如下表所示，豎列數(shù)字表示第一次取出的球的數(shù)字，橫排數(shù)字表示第二次取出的球的數(shù)字，以坐標的形式表示隨機兩次取出的球的數(shù)字的所有情況. 從表中，我們可以很輕松地計算出甲、乙、丙、丁四個事件的概率分別是、、、. 由事件的相互獨立性的定義P（AB）=P（A）P（B）來判斷，只有答案B是正確的.

二、掌握基本方法，根據(jù)問題融會貫通

例2. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，

an+1=an+1，n為奇數(shù)

an+2，n為偶數(shù) .

（1）記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式;

（2）求{an}的前20項和.

賞析：本試題是利用分段函數(shù)的形式來給出數(shù)列{an}的遞推式，許多學(xué)生直接計算求出答案，這種解題方式缺少了“數(shù)學(xué)味”. 其實，我們將題目轉(zhuǎn)換成另一種表達方式就很容易看清題意.

當n為奇數(shù)時，記n=2k-1（k∈N+），則a2k=a2k-1+1. 當n為偶數(shù)時，記n=2k（k∈N+），則a2k+1=a2k+2. 由此，我們就很容易得出：a2k+1=a2k-1+3、a2k+2=a2k+3. 這也就是說：在數(shù)列{an}中，a1，a3，a5，…構(gòu)成一個以1為首項、3為公差的等差數(shù)列;a2，a4，a6，…，an構(gòu)成一個以2為首項、3為公差的等差數(shù)列. 看清了問題的本質(zhì)，解答問題就等心應(yīng)手了.

例3. 在平面直角坐標系xOy中，已知點F1（-，0），F(xiàn)2（，0）點M滿足MF1-MF2=2. 記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)點T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

賞析：第（1）問是考查雙曲線的定義.根據(jù)雙曲線的定義，很容易求出軌跡C為雙曲線的右半支，其方程為x2-=1（x≥1）.

第（2）問是本道試題考查的重點和難點. 首先是如何利用數(shù)學(xué)表達式來表示TA·TB=TP·TQ;其次，就是計算問題. 弦長公式是高中學(xué)生最熟悉的公式之一，如弦長AB==. 其實，弦長公式就是由平面上兩點間的距離公式經(jīng)推導(dǎo)變形而來的. 也就是說，TA·TB=TP·TQ也可以使用弦長公式來進行轉(zhuǎn)換運算.

如設(shè)點T（，n），直線AB的方程為：y-n=k1（x-），聯(lián)立y-n=k1（x-

），

x2

-=1，得（16-k12）x2+（k12-2k1n）x-k12-n2+k1n-16=0. 由韋達定理可以得到xA+xB=，xAxB=. 由于交點A、B均在直線x=的右側(cè)，所以TA=（xA-）、TB=（xB-），故TA·TB=（1+k12）（xA-）（xB-）=（1+k12）[xAxB-（xA+xB）+]. 同理也可以求出TP·TQ的表達式，再由TA·TB=TP·TQ得出等式，將所得到的等式化簡、整理、計算，可以求出直線AB的斜率k1與直線PQ的斜率k2之和為0.

三、加強數(shù)學(xué)實驗，用數(shù)學(xué)思維分析問題

例4. 某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折. 規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推. 則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為? ? ? ? ;如果對折n次，那么Sk=? ? ? ? ?dm2.

賞析：這道試題的背景平凡普通，是希望通過考查學(xué)生的具體實驗操作，讓學(xué)生在思維層次上體驗從感性認識上升到理性認識的完美過程. 對稱折紙，在小學(xué)數(shù)學(xué)中就有這種實踐體驗，但是在高考試題中出現(xiàn)，主要的目的還是考查學(xué)生的抽象思維能力. 由于長方形是軸對稱圖形，沿對稱軸對折后得到的圖形依然是長方形. 對折1次共可以得到兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240×（）1×2=240dm2;對折2次共可以得到三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=240×（）2×3=180dm2. 以此類推，對折n次共可以得到n+1種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Sn=240×（）n×（n+1）dm2. 顯然，計算Sk是考查數(shù)列求和的重要方法——錯位相減法. 將重要的考點不動聲色地藏于平凡普通的背景之中，這不能不讓人贊嘆命題人的命題智慧！這也真實、生動地闡釋了“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，但又高于現(xiàn)實”的內(nèi)涵.

當然，讓學(xué)生在考場上做實驗、慢慢地研究其中的規(guī)律并歸納總結(jié)，顯然難度是極大的. 高考試題與其是說考查學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的能力，倒不如說是考查學(xué)生“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界”的良好習(xí)慣.

責(zé)任編輯 羅 峰