周子博, 申永軍,2, 楊紹普,2

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，河北 石家莊 050043)

0 引言

隨著振動與噪聲污染問題日益嚴重，對隔振器的要求也越來越高。雙層隔振及浮筏隔振具有較好的隔振性能，在艦船動力機械設(shè)備中得到了實際應(yīng)用。但是較大的中間隔振質(zhì)量會帶來較多弊端，如增大裝置的結(jié)構(gòu)尺寸和質(zhì)量，增加振動控制的成本[1]，因此提高單層隔振性能具有實際意義。目前應(yīng)用最廣泛的隔振評定參數(shù)主要有力傳遞率、插入損失、振級落差和功率流傳遞率[2]。嚴濟寬等[3]發(fā)現(xiàn)以往的隔振理論中都建立在剛性基礎(chǔ)假設(shè)上，并沒有考慮基座阻抗特性的影響，為此重新推導(dǎo)了柔性基礎(chǔ)的插入損失與振級落差設(shè)計公式。后來學(xué)者們[4-5]對柔性基礎(chǔ)下的經(jīng)典評定參數(shù)進行了補充。王家林等[6]針對振級落差和插入損失的對應(yīng)關(guān)系進行了研究，并指出了兩指標(biāo)的適用范圍。Goyder et al[7]最早提出功率流概念，經(jīng)過對簡單無限均質(zhì)梁的分析，認為傳遞到基座的功率流可以作為一種改進的性能指標(biāo)。類似于傳統(tǒng)的性能指標(biāo)，研究者們[8-13]相繼提出功率流的有效比、功率流傳遞率作為隔振系統(tǒng)的評價指標(biāo)，其中，Pan et al[8]和Gadronio et al[9]提出功率流的有效比改進了隔振指標(biāo)的準(zhǔn)確性?；纛５萚13]對功率流傳遞率在隔振設(shè)計中的有效性進行了論證。

杠桿作為力放大機構(gòu)已經(jīng)用于隔振領(lǐng)域，并表現(xiàn)出良好的隔振性能。Flannelly[28]提出了動力反共振隔振器(dynamic anti-resonant vibration isolation, DAVI)，研究發(fā)現(xiàn)杠桿元件可以放大質(zhì)量產(chǎn)生的慣性來抵消彈簧力，擴大隔振器的低頻適用范圍。文獻[29]～文獻[31]研究在大跨度橋、建筑等領(lǐng)域引入杠桿元件后，可以有效減小地震、風(fēng)致振動等危害。文獻[32]提出一種杠桿式非線性能量阱，在振動抑制方面比傳統(tǒng)吸振器具有顯著的優(yōu)勢，并研究了支點位置對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

鑒于慣容與杠桿元件在振動控制領(lǐng)域中的良好性能，在基于柔性基礎(chǔ)的單層隔振系統(tǒng)中引入兩放大機構(gòu)，得到了一種新型隔振器。經(jīng)研究表明，兩放大機構(gòu)的加入，可以有效降低傳遞能量，證明了本文模型具有較好的隔振性能。

1 隔振模型

含有兩放大機構(gòu)的隔振模型如圖1所示。m1表示主系統(tǒng)(被隔振設(shè)備質(zhì)量)，k1表示隔振器的剛度，m2表示柔性基座的質(zhì)量，并將彈簧k2、杠桿元件、慣容三元件串聯(lián)于主系統(tǒng)與柔性基座，c′、k′表示基座的阻尼及剛度。x1、x2、x3分別表示主系統(tǒng)位移、杠桿元件與慣容分割點的位移、柔性基座的位移。同時忽略運動中的摩擦損失，慣容系數(shù)理想化為b，討論模型在受到簡諧激勵F0cos(ωt)下的垂向隔振性能。

圖1 隔振模型

根據(jù)牛頓第二定律，得到該振動系統(tǒng)的動力學(xué)方程

(1)

可以得到矩陣形式

(2)

式中，M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣，整理為

(3)

通過拉氏變換，將解和激勵設(shè)為

(4)

將式(4)代入式(3)中，可以整理為矩陣ZX=F，Z代表阻抗矩陣

(5)

對式(5)求解，可得

(6)

式中

(7)

2 隔振指標(biāo)

分析隔振器的隔振性能，經(jīng)典的分析方法中利用力傳遞率、插入損失、振級落差等來評判傳遞到基座的力或振幅。但是傳統(tǒng)的性能指標(biāo)僅是涉及速度或力而不涉及兩者之間的相位差，當(dāng)減振目標(biāo)是降低結(jié)構(gòu)的聲振幅或振動能量時，尤其在船舶領(lǐng)域，這些指標(biāo)不再準(zhǔn)確地反映隔振性能[7]。功率流作為評價隔振性能的重要參數(shù)，同時考慮力和速度的量值，使系統(tǒng)振動輸出有了絕對度量。因此本文不僅考慮隔振系統(tǒng)的力傳遞率、振級落差等經(jīng)典隔振指標(biāo)，還考慮功率流傳遞率的情況。

2.1 力傳遞率

力傳遞是加入隔振器后傳遞到基座的動態(tài)力有效值與輸入的動態(tài)激振力有效值的比值

(8)

力傳遞率表示為極差(dB)形式

(9)

2.2 插入損失

插入損失表示加入隔振器后基座的響應(yīng)有效值與加入隔振器前基座的響應(yīng)有效值的比值

(10)

式中，x′為無隔振器時，柔性基礎(chǔ)在相同力激勵下的響應(yīng)

(11)

式中，Q44=-ω2(m1+m2)+iωc′+k′。

將式(11)代入式(10)中，由于位移插入損失、速度插入損失、加速度插入損失相同(上下求導(dǎo)抵消)，可以得到插入損失率

(12)

2.3 振級落差

振級落差作為經(jīng)典隔振指標(biāo)，在我國國家標(biāo)準(zhǔn)和軍標(biāo)中有明確規(guī)定。參考艦船上各類隔振裝置的隔振效果評價指標(biāo)[13]，振級落差指被隔振系統(tǒng)的響應(yīng)有效值與隔振后的基座振動響應(yīng)有效值的比值

(13)

觀察式(6)和式(13)可知，位移振級落差、速度振級落差、加速度振級落差相等?？梢缘玫?/p>

(14)

2.4 功率流

在本文隔振系統(tǒng)中，力和速度都是簡諧變化的，在一段時間內(nèi)的平均功率更能反映傳入系統(tǒng)的能量強度。功率流可表示為頻率ω的函數(shù)，另外T=2π/ω，可以得到

(15)

(16)

(17)

至此，已經(jīng)推導(dǎo)出所有隔振指標(biāo)設(shè)計公式。下文主要分析此模型的力傳遞率、振級落差、功率流傳遞率。

3 固有頻率及反共振頻率分析

當(dāng)外界激勵頻率等于系統(tǒng)固有頻率時會發(fā)生共振，故需要避免激振頻率與固有頻率相等的情況。而反共振指系統(tǒng)在某些特定頻率的簡諧激勵作用下，系統(tǒng)某些部位出現(xiàn)簡諧響應(yīng)為零的情況，即在一定頻率下系統(tǒng)某些部位的動柔度為零[33]，因此控制激振頻率在反共振頻率附近可以有效抑制振動。根據(jù)圖1隔振模型，忽略阻尼的作用，可以得出

(18)

將式(4)代入式(18)，得到系統(tǒng)特征矩陣

(19)

令特征矩陣的行列式為零

|M-ω2K|=0

(20)

可以得到

Aω6-Bω4+Cω2-k1k2k3=0

(21)

利用盛金公式得出系統(tǒng)的3個固有頻率

(22)

式中

(23)

令特征矩陣的行列式不為零，則復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)為

(24)

記Δ=det|D|，整理為

(25)

式中，H11(ω)、H12(ω)、H13(ω)分別為各階振幅與力的比值。式(25)分子等于零代表各階產(chǎn)生反共振現(xiàn)象，主要考慮傳遞到基座的力及能量的變化，故令H13(ω)=0，整理得到基座的反共振頻率

(26)

(27)

4 性能分析

本文采用某隔振試驗系統(tǒng)，應(yīng)用文獻[34]中的參數(shù)。參數(shù)如表1所示。

表1 參數(shù)值

圖2與圖3給出了不同慣容值與放大比對隔振系統(tǒng)力傳遞率的影響?？梢郧宄乜闯?，隨著慣容值以及杠桿放大比的增大，隔振系統(tǒng)的第一、二階固有頻率向坐標(biāo)軸左移，數(shù)值減小。同樣可以得出，系統(tǒng)反共振頻率位于力傳遞率的峰谷位置，意味著系統(tǒng)隔振效率最好。值得一提的是，由于慣容和杠桿元件的放大作用，促使反共振頻率向低頻移動，提高了隔振系統(tǒng)在低頻的隔振效率。

圖2 不同慣容值下力傳遞率與頻率的關(guān)系

圖3 不同放大比下力傳遞率與頻率的關(guān)系

另外，隔振系統(tǒng)的振級落差由圖4和圖5給出，傳遞功率流率如圖6和圖7所示。同時為了更直觀地了解慣容值和放大比對固有頻率和反共振頻率的影響，圖8和圖9分別給出了固有頻率和反共振頻率與慣容值和放大比的關(guān)系。

圖4 不同慣容值下振級落差與頻率的關(guān)系

圖6 不同慣容值下傳遞功率流與頻率的關(guān)系

圖7 不同放大比下傳遞功率流與頻率的關(guān)系

圖8 不同放大比下第一階固有頻率與慣容值的關(guān)系

圖9 不同放大比下第二階固有頻率與慣容值的關(guān)系

振級落差在低頻區(qū)域與力傳遞率表現(xiàn)類似，故截取高頻區(qū)展開分析。如圖4所示，第三階固有頻率不變，因此慣容值的變化并不會影響高頻下隔振系統(tǒng)的振級落差，但隨著頻率的增加隔振性能越好。由圖5可知，在激振頻率為1 000 Hz時振級落差會趨于相等，激振頻率等于第三階固有頻率時，系統(tǒng)發(fā)生共振，振級落差達到最低點，隔振性能最差。并且在高頻區(qū)隨著放大比的增大，隔振性能有所下降。

圖6和圖7給出了隔振系統(tǒng)的低頻傳遞功率流特性。從圖6和圖7可知，隨著頻率的增加，隔振系統(tǒng)的傳遞功率流總體減小，隔振效率越好；隨著慣容值和放大比的增大，會出現(xiàn)共振頻率及間距減小的現(xiàn)象，有利于擺脫共振頻帶。另外在反共振頻率附近，隔振效率最高。需要指出的是，在二階固有頻率附近有2個較小的波峰，說明傳遞功率流綜合考慮了力和速度的幅值和相位的關(guān)系。

圖8～圖11清晰地顯示了隔振系統(tǒng)的三階固有頻率以及反共振頻率與控制變量(慣容值與放大比)的關(guān)系。可以看出第一、二階固有頻率及反共振頻率隨慣容值的增大而減小，相同慣容值的情況下，放大比越大固有頻率及反共振頻率亦隨之減小。從圖10可以直觀地看出，第三階固有頻率值獨立于慣容值與放大比的變化，保持在175.7 Hz。當(dāng)慣容值及放大比趨于無窮時，第一階固有頻率與反共振頻率趨于0，第二階固有頻率趨于8 Hz。

圖10 不同放大比下第三階固有頻率與慣容值的關(guān)系

圖11 不同放大比下反共振頻率與慣容值的關(guān)系

5 模型對比

為了證明含兩放大機構(gòu)的新型單層隔振系統(tǒng)的優(yōu)勢，將本文模型與參數(shù)相同的普通單層隔振模型、含慣容的單層隔振模型進行了比較。據(jù)表1中的參數(shù)，另取放大比L=3L0和慣容值b=b0，模型對比見圖12。

圖12 模型對比

從圖12可以看出，含有慣容的單層隔振系統(tǒng)存在反共振頻率，在20 Hz附近要比單層隔振系統(tǒng)性能更優(yōu)，但在高于30 Hz后會失去優(yōu)勢；本文隔振系統(tǒng)卻避免了單層隔振系統(tǒng)與含慣容的單層隔振系統(tǒng)的缺陷，在高頻與低頻都有較好的表現(xiàn)。另外可以通過改變放大比或者慣容值來改變共振頻率，適應(yīng)不同隔振需求，因此從能量角度也驗證了含有慣容與杠桿元件的隔振系統(tǒng)的優(yōu)勢。

6 結(jié)論

研究了一種含有慣容和杠桿元件的柔性基礎(chǔ)單層三自由度隔振模型，通過解析計算得到模型傳遞到基座的力傳遞率、振級落差、插入損失以及功率流的設(shè)計公式。通過對參數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)兩放大機構(gòu)可以不同程度縮小共振頻率，減小共振區(qū)頻帶。通過與單層隔振系統(tǒng)以及含慣容的單層隔振系統(tǒng)的比較得出，本文模型在低頻與高頻區(qū)都改善了隔振性能，還可以通過改變兩放大元件參數(shù)適應(yīng)不同工程需求。