王曉麗

(山東省青島第一中學(xué) 266000)

一、教學(xué)分析

垂直關(guān)系是立體幾何中兩大基本關(guān)系之一，讓學(xué)生通過本節(jié)課熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，是本節(jié)課的一個(gè)重要任務(wù).依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)版》對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)及直觀想象素養(yǎng)的要求，培養(yǎng)學(xué)生能夠?qū)εc學(xué)過的知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題，通過對(duì)其條件與結(jié)論的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述論證過程.培養(yǎng)學(xué)生能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形；能夠借助圖形提出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，解決實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題.本課為一輪復(fù)習(xí)課，積極踐行新課程理念，通過一些問題的設(shè)置，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)線線垂直、線面垂直、面面垂直有一個(gè)完整的知識(shí)框架.并且通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠體會(huì)重要的幾何模型在實(shí)際應(yīng)用中的重要作用，體會(huì)“降維”思想在立體幾何中的應(yīng)用.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.理解線面垂直的定義，總結(jié)線面垂直的判定方法和性質(zhì)，形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu).能熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)定理解決問題，能從實(shí)際問題情境中找到符合定理模型的基本元素，證明一些有關(guān)垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

2.在應(yīng)用定理解決實(shí)際問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法和“降維”思想，體會(huì)數(shù)學(xué)定理作為一種基本模型的應(yīng)用價(jià)值，提高邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).

3.了解《九章算術(shù)》中的重要立體幾何模型，體會(huì)數(shù)學(xué)文化對(duì)當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展的意義和價(jià)值.

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：(1)理解線面垂直的定義，總結(jié)線面垂直的判定方法和性質(zhì)，形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu).(2)能熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)定理解決問題，能從實(shí)際問題情境中找到符合定理模型的基本元素，證明一些有關(guān)垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

2.教學(xué)難點(diǎn)：樹立模型意識(shí)，能從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)模型，應(yīng)用定理，熟練的解決問題.

四、教學(xué)過程

1.引入

引例如圖1，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．(1)證明：DE⊥面PBC;(2)你還能發(fā)現(xiàn)哪些線面垂直關(guān)系?寫出并證明你的結(jié)論;(3)你還能發(fā)現(xiàn)哪些面面垂直關(guān)系?寫出并證明你的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖:引例是學(xué)生非常熟悉的一個(gè)四棱錐，里面的線面垂直，面面垂直關(guān)系也非常好找.引例中的幾何體也是例1圖形的基礎(chǔ)，通過引例為下面變式中垂直關(guān)系的進(jìn)一步研究作好鋪墊．通過簡(jiǎn)單的題目讓學(xué)生回憶起線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理，并在課前通過自己復(fù)習(xí)回顧，查閱課本，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2.合作探究

例1如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB，垂足為F，聯(lián)結(jié)DE，DF，BD，BE．

(1)求證:PB⊥平面DEF;

(2)試判斷:四面體BDEF中有幾個(gè)面是直角三角形，并指出其中的直角;

設(shè)計(jì)意圖:例1的2個(gè)小題分別是對(duì)線面垂直、線線垂直的判斷或證明，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握線面垂直的判定和性質(zhì)定理模型及其應(yīng)用．而且，變式的第2問中的這個(gè)四面體也是我們熟悉的模型，四個(gè)面都是直角三角形.這是必修2教材中的一個(gè)探究問題.這個(gè)模型中蘊(yùn)含著一些重要的線面垂直，線線垂直，面面垂直的關(guān)系.通過此題，讓學(xué)生回扣課本，進(jìn)一步體會(huì)定理的內(nèi)涵，和三者之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)線面垂直在線線垂直和面面垂直中起到重要的橋梁作用.

變式1如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，且PA=PD，Q是AD的中點(diǎn).

求證：PB⊥AD

設(shè)計(jì)意圖:以例1的四棱錐為基礎(chǔ),讓頂點(diǎn)P進(jìn)行移動(dòng)，移動(dòng)到AD的正上方，底面ABCD拉成菱形，得到一個(gè)新的四棱錐，讓學(xué)生在這個(gè)幾何體中繼續(xù)探究垂直關(guān)系.通過對(duì)圖形的變式，讓學(xué)生繼續(xù)深化證明線線垂直，線面垂直的方法，挖掘題目中可以利用的條件.

變式2如圖4，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，在PC上找一點(diǎn)M，思考：當(dāng)點(diǎn)M滿足什么條件時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.

設(shè)計(jì)意圖：變式2是在變式1的基礎(chǔ)上讓P點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)，移動(dòng)到使得PA垂直于面ABCD,通過變式讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)如何找尋面面垂直，線面垂直的判定條件，深化判定定理和性質(zhì)定理.

求證:平面PAD⊥平面PBD．

設(shè)計(jì)意圖：變式3是在變式2的基礎(chǔ)上，把底面變成平行四邊形，又對(duì)條件進(jìn)行了變換，是想讓學(xué)生體會(huì)在變換條件的過程中，如何轉(zhuǎn)化條件，得到自己所證明的結(jié)論，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.

在例1中有兩個(gè)幾何體我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家很早就有研究，而且它們還擁有自己的名字:一個(gè)是底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的名字叫“陽馬”;另一個(gè)是四個(gè)面都為直角三角形的四面體叫“鱉臑”．關(guān)于“陽馬”和“鱉臑”，《九章算術(shù)·商功》里是這樣描述的:“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”

設(shè)計(jì)意圖：通過“陽馬”“鱉臑”的引入，了解我國(guó)古代對(duì)立體圖形的研究方向和方法，體會(huì)古代數(shù)學(xué)家對(duì)人類的貢獻(xiàn)．同時(shí)，也讓學(xué)生體會(huì)到其實(shí)我們做的很多立體幾何的題目都來源于長(zhǎng)方體中，以長(zhǎng)方體為載體，通過切割，嵌入，翻折等變化，得到一些新的圖形，但是有時(shí)如果站在全局的角度看待這些問題，分析其結(jié)構(gòu)特征還原成基本模型，問題也會(huì)迎刃而解.

3.總結(jié)感悟

學(xué)生自己總結(jié)解決空間垂直問題的基本方法，分享自己的感悟，體會(huì)這節(jié)課所運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想方法.

設(shè)計(jì)意圖：一輪復(fù)習(xí)課本身就是幫助學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)，除了做題之外，學(xué)生自己的總結(jié)反思也十分重要.所以一堂課下來，應(yīng)該把時(shí)間留給學(xué)生，讓學(xué)生自己整理這堂課的收獲.這樣也能培養(yǎng)學(xué)生自我梳理知識(shí)的習(xí)慣.