吳衛(wèi)東， 馬 楊， 蔡樹(shù)文， 周興平， 徐 威

(1.黑龍江科技大學(xué) 教學(xué)質(zhì)量評(píng)估中心， 哈爾濱 150022； 2.黑龍江科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

采煤機(jī)截割煤巖時(shí)，截割部承受載荷復(fù)雜[1]，對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)和牽引部形成沖擊，因此，傳動(dòng)系統(tǒng)的扭矩軸要求較好的穩(wěn)健性[2]，張丹等[3]通過(guò)優(yōu)化參數(shù)改善其動(dòng)態(tài)特性。針對(duì)截割部傳動(dòng)齒輪，提高傳動(dòng)機(jī)構(gòu)可靠性是眾多學(xué)者研究的重要方向。吳衛(wèi)東等[4]建立行星輪系數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，使用Isight軟件進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，有效提高截割部行星機(jī)構(gòu)各齒輪的彎曲強(qiáng)度。趙麗娟等[5]以多體動(dòng)力學(xué)理論研究行星輪系受力情況，針對(duì)應(yīng)力集中位置改進(jìn)設(shè)計(jì)參數(shù)，提高行星機(jī)構(gòu)各零部件強(qiáng)度。秦仙蓉等[6]根據(jù)擬合分目標(biāo)函數(shù)關(guān)系完成行星機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化，在重量更輕的情況下，有效提高可靠度和傳動(dòng)特性。張利等[7]使用KISSsoft建立采煤機(jī)行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的參數(shù)化模型，以彎曲疲勞和接觸疲勞的安全系數(shù)為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，有效提高了行星機(jī)構(gòu)的可靠性。

筆者以某型采煤機(jī)截割部行星機(jī)構(gòu)為例，通過(guò)選擇齒數(shù)、模數(shù)和變位系數(shù)為設(shè)計(jì)變量，建立以彎曲應(yīng)力和各齒輪總體積為目標(biāo)的優(yōu)化模型，考慮行星機(jī)構(gòu)優(yōu)化模型的非線性多峰特性，引入煙花算法[8](FWA)，改進(jìn)傳統(tǒng)煙花算法，求解優(yōu)化模型。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 設(shè)計(jì)變量的選取

采煤機(jī)行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)多采用角變位齒輪，考慮優(yōu)化目標(biāo)和約束條件，選擇太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈的齒數(shù)za、zb、zc、模數(shù)m、變位系數(shù)xa、xb、xc7個(gè)齒設(shè)計(jì)變量為

X=(za,zc,zb,m,xa,xb,xc)T。

1.2 目標(biāo)函數(shù)的確定

某采煤機(jī)截割部裝機(jī)功率250 kW，是單級(jí)NGW型行星機(jī)構(gòu)，其太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)速為220 r/min，行星輪個(gè)數(shù)K=4，以齒根彎曲承載能力函數(shù)為目標(biāo)[9]

式中：KA——使用系數(shù)，文中取2；

KV——?jiǎng)虞d系數(shù)，文中取1.035；

KFβ——齒向載荷分布系數(shù)，文中取1.204；

KFα——齒間載荷分布系數(shù)，文中取1；

Yε——彎曲強(qiáng)度重合度系數(shù)，Yε=0.25+0.75/ε；

ε——對(duì)應(yīng)齒輪對(duì)的重合度；

YFa——齒形系數(shù)；

YSa——應(yīng)力修正系數(shù)；

Yβ——螺旋角系數(shù)，文中取1。

行星輪彎曲應(yīng)力目標(biāo)函數(shù)為

式中，εac、εcb——對(duì)應(yīng)齒輪的齒面重合度。

每個(gè)齒輪體積以節(jié)圓和齒寬組成的圓柱體體積等效代替，行星機(jī)構(gòu)體積目標(biāo)函數(shù)為

式中：α——齒頂圓壓力角；

αac、αcb——對(duì)應(yīng)輪組嚙合角。

對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，為使所有目標(biāo)處于一個(gè)量級(jí)，歸一化原目標(biāo)函數(shù)，在求解過(guò)程中獲得更多Pareto解集，設(shè)置動(dòng)態(tài)權(quán)重[10]為

F(x)=w1fcf1(x)+w2fvf2(x)，

式中，fc、fv——目標(biāo)函數(shù)原始值的倒數(shù)。

設(shè)t為當(dāng)前迭代數(shù)，f為權(quán)重循環(huán)頻率，w1、w2為動(dòng)態(tài)權(quán)重，計(jì)算公式為

w1(t)=|sin(2πt/f)|，

w2(t)=1-w1(t)。

1.3 約束條件的確定

(1)傳動(dòng)比約束

為保證工作性能，優(yōu)化后按照傳動(dòng)比的誤差不得大于10%，可得

g1=|(1+zb/za)-5.06|-0.5≤0。

(2)重合度約束

zc(tanαc-tanαac)]≤0，

zb(tanαb-tanαcb)]≤0。

式中，αa、αc、αb——對(duì)應(yīng)的齒頂圓壓力角，rad。

(3)齒頂厚約束

g4=0.25m-(mza+2m(1+xa-Δy))·

g5=0.25m-(mzc+2m(1+xc-Δy))·

g6=0.25m-(mzb-2m(1-xb-Δy))·

式中，Δy——齒頂高變動(dòng)系數(shù)。

(4)齒輪過(guò)渡曲線干涉約束

(5)齒面接觸強(qiáng)度約束

太陽(yáng)輪與行星輪的材料均為18Cr2Ni4WA，其接觸疲勞極限σHlim=1 600 MPa，內(nèi)齒圈材料為42CrMo，其接觸疲勞極限為σHlimb=1 000 MPa。齒面接觸強(qiáng)度許用應(yīng)力為σHP=0.95σHlim，接觸應(yīng)力計(jì)算式為

式中：ZH——節(jié)點(diǎn)區(qū)域系數(shù)；

ZE——彈性系數(shù)，文中取值為189.812 N/MPa；

Zβ——螺旋角系數(shù)，文中取1；

u——齒數(shù)比。

對(duì)應(yīng)的太陽(yáng)輪與行星輪、行星輪與內(nèi)齒圈的接觸應(yīng)力約束為

(6)行星齒輪的領(lǐng)接條件約束

(7)齒輪的無(wú)側(cè)隙嚙合

(8)行星輪系同心條件

(9)裝配條件

h3=(za+zc)/4=C，

式中，C——任意整數(shù)。

2 改進(jìn)的煙花算法

2.1 煙花算法

FWA以模擬煙花爆炸作為隨機(jī)探索機(jī)制，在選擇策略中平衡適應(yīng)度在與個(gè)體在種群中聚集情況，使煙花算法構(gòu)建一種平衡局部探索和全局探索資源分配的方式，各算子具體運(yùn)行方式如下。

(1)種群的初始化

設(shè)xi=(xi1,xi2,…,xij,…,xiD)為第i個(gè)煙花的當(dāng)前位置，其表達(dá)式為

xi=(xmax-xmin)rand(1,D)+xmin，

式中：M——種群規(guī)模；

D——變量維度；

xij——第i個(gè)煙花j個(gè)維度上的分量。

(2)爆炸火花的范圍和數(shù)量

設(shè)煙花位置為xi，則其子代數(shù)量Si以及爆炸半徑Ai計(jì)算方式為

式中：Mii、Aii——調(diào)節(jié)數(shù)量、爆炸半徑；

fmax、fmin——f(xi)的適應(yīng)度最大值、最小值；

e——定義的極小量。

設(shè)置每個(gè)子代火花的數(shù)量范圍，進(jìn)行約束為

(3)子代火花生成

hk=Airand(-1,1)。

(4)高斯變異火花

煙花算法通過(guò)在子代火花中隨機(jī)選取火花進(jìn)行高斯變異方式跳出局部最優(yōu)解，變異公式為

對(duì)超出許可領(lǐng)域的火花根據(jù)公式更新位置信息為

(5)迭代選擇方式

采用輪盤賭的方式選擇其他的個(gè)體，篩選概率為

式中，R(xi)——除xi外所有個(gè)體歐式距離之和。

2.2 改進(jìn)策略

結(jié)合煙花算法的執(zhí)行流程，活躍型煙花算法(Activation fireworks algorithm，AFWA)，流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)煙花算法的流程Fig. 1 Flow of improved fireworks algorithm

(1)自適應(yīng)爆炸范圍

為提高算法在迭代初期的全局尋優(yōu)和末期的精細(xì)化探索，使用Sigmoid函數(shù)構(gòu)建火花半徑的變化函數(shù)，爆炸范圍條件函數(shù)為

式中：n1、n2——自定義調(diào)節(jié)系數(shù)；

T——總迭代次數(shù)；

t——當(dāng)前迭代次數(shù)。

新的爆炸半徑函數(shù)為

(2)學(xué)習(xí)算子

針對(duì)火花間缺乏信息交流的問(wèn)題，引入粒子群算法的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)其余火花向目前最優(yōu)方向進(jìn)行探索，具體構(gòu)造方式為

Δx=xi+cφ(k)(gbest(xi)-xi)，

式中：φ(k)——隨機(jī)選擇的維度；

c——自定義學(xué)習(xí)因子。

3 算法仿真測(cè)試

3.1 標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的測(cè)試

為驗(yàn)證改進(jìn)算法性能，選擇Sphere、Schwefel、Rosenbrock、Ackley、Griewank和Rastrigrin共6種典型測(cè)試函數(shù)[8]進(jìn)行驗(yàn)證。以Matlab2019版作為運(yùn)行平臺(tái)編譯，F(xiàn)WA的參數(shù)設(shè)置種群規(guī)模為20，其它見(jiàn)文獻(xiàn)[8]，AFWA算法調(diào)節(jié)系數(shù)分別取6和0.4，學(xué)習(xí)因子為1.45，其他參數(shù)與FWA相同。所有函數(shù)問(wèn)題維度均為30，迭代1 000代，尋優(yōu)曲線部分見(jiàn)圖2。

圖2 函數(shù)測(cè)試曲線Fig. 2 Function test curve

求解50次，得到最優(yōu)數(shù)值解、平均解和方差統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果

由圖2和表1可以看出，AFWA相對(duì)于傳統(tǒng)FWA表現(xiàn)出顯著的優(yōu)越性。在f1～f3函數(shù)中，最終求解的最優(yōu)值、方差和平均值除Sphere函數(shù)外均優(yōu)于原始算法，f4～f6函數(shù)中，從圖2可以看出，改進(jìn)后的算法尋優(yōu)速度更快。

3.2 偏移函數(shù)測(cè)試

在對(duì)于FWA的研究過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)FWA在尋優(yōu)過(guò)程中對(duì)最優(yōu)解的位置有明顯的敏感性，通過(guò)偏移函數(shù)最優(yōu)解的位置，使最優(yōu)位置不在原點(diǎn)或其附近時(shí)，則FWA的求解結(jié)果會(huì)變的很差[11-12]。

為檢測(cè)改進(jìn)算法對(duì)于偏移函數(shù)的尋優(yōu)能力，給出如表2所示的偏移指數(shù)SI，設(shè)UL為函數(shù)的邊界差值，偏移距離Sv使被測(cè)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)位置遠(yuǎn)離搜索區(qū)域原始位置，而測(cè)試函數(shù)的變量搜索范圍不發(fā)生改變。

表2 偏移指數(shù)與偏移量

偏移函數(shù)測(cè)試AFWA與FWA算法，將6種典型測(cè)試函數(shù)進(jìn)行6次偏移，每個(gè)偏移度的函數(shù)都計(jì)算50次，記錄其最優(yōu)值、平均值和方差。測(cè)試結(jié)果在圖3中展示部分，詳細(xì)數(shù)據(jù)如表3所示。

圖3 偏移函數(shù)測(cè)試曲線Fig. 3 Offset function test curve

表3 FWA的不同偏移指數(shù)實(shí)驗(yàn)

表4 AFWA的不同偏移指數(shù)實(shí)驗(yàn)

綜上所述，通過(guò)圖3和表3的對(duì)比，改進(jìn)后的算法幾乎不受原點(diǎn)偏移的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的AFWA算法不僅具有較好的穩(wěn)定性和跳出局部最優(yōu)的能力，且在收斂速度和精度上也有明顯提高，可以應(yīng)用于求解多峰特性的行星機(jī)構(gòu)優(yōu)化模型。

4 優(yōu)化模型的求解

求解行星機(jī)構(gòu)優(yōu)化模型為典型的混合離散函數(shù)問(wèn)題[13]，為使煙花算法能夠求解混合離散模型，在齒數(shù)變量的尋優(yōu)變化時(shí)進(jìn)行圓整處理，將模數(shù)建立為數(shù)組，使用位置序號(hào)為變量參與尋優(yōu)。為獲得多目標(biāo)問(wèn)題Pareto解集，通過(guò)動(dòng)態(tài)權(quán)重在不同方向上探索，將每次迭代的尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行非支配排序，以支配等級(jí)最高的個(gè)體組成新的父本火花參與下一次迭代，存儲(chǔ)每次迭代過(guò)程中尋到的Pareto解，后進(jìn)行非支配排序獲得最終前沿，得到如圖4中Pareto前沿。

圖4 體積與行星輪彎曲應(yīng)力的Pareto前沿Fig. 4 Pareto front of volume and wheel bending stress

在符合原始結(jié)構(gòu)條件下，選擇彎曲強(qiáng)度最高的優(yōu)化結(jié)果如表5和6所示。

表5 優(yōu)化結(jié)果與原始設(shè)計(jì)的比較

表6 優(yōu)化結(jié)果與原始設(shè)計(jì)的比較

5 結(jié) 論

(1)通過(guò)Sigmoid自適應(yīng)函數(shù)和學(xué)習(xí)算子，有效提高煙花算法的尋優(yōu)性能并和穩(wěn)健性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，AFWA在6種測(cè)試函數(shù)上的尋優(yōu)性能與傳統(tǒng)煙花算法相比是有著明顯的優(yōu)勢(shì)。

(2)應(yīng)用改進(jìn)后的算法優(yōu)化行星機(jī)構(gòu)多目標(biāo)，并設(shè)置動(dòng)態(tài)權(quán)重分配，使得目標(biāo)權(quán)重分配合理并獲得較好pareto前沿，總體積降低0.95%，太陽(yáng)輪彎曲應(yīng)力減小15.9%、內(nèi)齒圈彎曲應(yīng)力減小16.7%，行星輪彎曲應(yīng)力減小15.8%，優(yōu)化后齒輪承載能力顯著提高。