蘇曉明， 石豪達， 包·阿迪亞， 馬智慧

(沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

廣義系統(tǒng)理論是英國學(xué)者Rosenbrock于1974年首次提出并逐漸發(fā)展起來的現(xiàn)代控制理論的一個獨立分支，其所描述的實際問題在機器人系統(tǒng)、電路系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)等諸多領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用．在過去的40多年里，許多正常系統(tǒng)中的結(jié)論相繼被推廣到廣義系統(tǒng)，廣義系統(tǒng)理論的研究也因此進入了一個飛速發(fā)展的階段[1-2]．馬爾可夫跳變系統(tǒng)是一類具有多種模態(tài)的混雜系統(tǒng)，各個模態(tài)之間的轉(zhuǎn)移服從馬爾可夫過程．在實際工程中，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)通常會發(fā)生隨機突變，這類突變往往具有馬爾可夫過程的特性，因而可以用馬爾可夫跳變系統(tǒng)來進行建模[3]．近年來，隨著馬爾可夫跳變系統(tǒng)在實際中的廣泛應(yīng)用以及廣義系統(tǒng)理論的不斷發(fā)展，許多學(xué)者開始關(guān)注廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制問題．容錯控制作為控制理論的一個熱門研究方向也取得了豐碩的成果[4-5]．然而關(guān)于故障的確切信息,如其大小和類型通常很難直接獲取，需要利用故障估計技術(shù)才可以獲得詳細信息．到目前為止，對于非線性系統(tǒng)已經(jīng)提出了不同類型的故障估計器：Huang針對具有執(zhí)行器故障的非線性T-S模糊系統(tǒng)提出了魯棒觀測器[6]；Yan設(shè)計了一種時滯非線性系統(tǒng)的滑模觀測器用于估計未知參數(shù)及故障[7-8]；Jiang利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論給出了自適應(yīng)觀測器的設(shè)計方法[9]．

在以往文獻中，對于非線性系統(tǒng)的故障估計已經(jīng)有了一定的成果，而對于非線性廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)的故障估計問題研究尚少．本文針對具有全局利普希茨非線性的廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)，設(shè)計了一種基于中間變量的估計器，用于同時估計系統(tǒng)的狀態(tài)以及故障．然后，構(gòu)造了誤差系統(tǒng)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定李雅普諾夫函數(shù)，證明了誤差系統(tǒng)對于故障函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的，這意味著當(dāng)故障函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)隨著時間收斂于0，誤差系統(tǒng)也是漸近收斂的．這不同于現(xiàn)有的故障估計結(jié)果[10-11].文獻[10-11]的結(jié)論表明，當(dāng)故障函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有界時，誤差系統(tǒng)的狀態(tài)一致有界，僅當(dāng)故障函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒等于0時，誤差系統(tǒng)才是漸近收斂的，但即使一個很小的、有限時間衰減到0的干擾也可能使原本穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)發(fā)散．因此，本文的結(jié)果相對于現(xiàn)有結(jié)果而言，降低了保守性．

1 問題描述和準(zhǔn)備知識

考慮如下形式的一類非線性廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)：

(1)

其中,x(t)∈n，u(t)∈m，y(t)∈p，分別為狀態(tài)向量，控制輸入以及測量出．fa(t)∈r，fs(t)∈q分別為未知的執(zhí)行器故障和傳感器故障．非線性項g(t,x(t))可以表示模型不確定性或擾動，E∈n×n為已知矩陣，并且假設(shè)rank(E)=nE≤n．A(r(t))，B(r(t))，C(r(t))，Da(r(t))和Ds(r(t))是依賴于r(t)具有適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣，{r(t),t≥0}為取值于有限狀態(tài)集合S={1,2,…,N}的齊次右連續(xù)馬爾可夫過程，并且滿足如下的模態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

為方便起見，本文中對于每個r(t)=i∈S，矩陣A(r(t))，B(r(t))，C(r(t))，Da(r(t))和Ds(r(t))可簡寫成Ai，Bi，Ci，Dai和Dsi．那么系統(tǒng)(1)記為如下形式：

(2)

本文對系統(tǒng)做以下假設(shè)：

假設(shè) 1廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)(2)對于任意的i∈S，在時間間隔[0,T]內(nèi)正則且無脈沖．

注1廣義系統(tǒng)正則以及無脈沖定義參見文獻[12]．

假設(shè) 2非線性向量g(t,x(t))為已知向量并且對于任意的t≥0，關(guān)于x(t)∈n是全局利普希茨的，即滿足如下不等式：

|g(t,x1(t))-g(t,x2(t))|≤g|x1(t)-x2(t)|,

假設(shè) 3對于任意t≥0，執(zhí)行器故障fa(t)與傳感器故障fs(t)分別滿足下面兩個不等式：

假設(shè) 4Dai和Dsi皆為列滿秩矩陣，即：rank(Dai)=r，rank(Dsi)=q．

假設(shè) 5對于每個具有非負實部的復(fù)數(shù)λ都有下式成立：

下面給出隨機系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性以及輸入到狀態(tài)穩(wěn)定李雅普諾夫函數(shù)的定義．

P{|x(t)|≤β(|x0|,t-t0)+γ(‖ut‖)}≥1-ε, ?t≥t0

(3)

對于任意的初始狀態(tài)x0和任意局部本質(zhì)有界的u成立，則稱系統(tǒng)(2)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的．

ETP=PTE≥0,

(4)

V(x)=xTETPx,

(5)

V(x)f(x,u)≤-κV(x)+γ(|u|)

(6)

成立，則稱函數(shù)V為這個廣義系統(tǒng)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定李雅普諾夫函數(shù)．

注2根據(jù)文獻[14]主要結(jié)果的證明可知，如果系統(tǒng)(2)存在一個輸入到狀態(tài)穩(wěn)定李雅普諾夫函數(shù)，那么該系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的．

如下引理將在主要結(jié)果的證明中用到：

引理 1對于向量x∈n和y∈n，以及具有適當(dāng)維數(shù)的實矩陣X和Y，存在標(biāo)量ε>0，總有如下不等式成立：

2xTXYy≤εxTXXTx+ε-1YyyTYT.

(7)

2 基于中間變量的估計器設(shè)計

(8)

其中，

接下來提出一種可以同時估計系統(tǒng)(2)的狀態(tài)、執(zhí)行器故障和傳感器故障的中間估計器．首先，引入了一個中間變量：

(9)

然后，考慮如下基于中間變量的估計器：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

定理1考慮假設(shè)1～假設(shè)5 成立．給定標(biāo)量μ>0，ε>0，如果存在矩陣Pi>0(i∈S)，Hi和標(biāo)量δ>0，使得對于每個i∈S，滿足下面不等式：

(16)

(17)

其中,

證構(gòu)造誤差系統(tǒng)(14)和誤差系統(tǒng)(15)的李雅普諾夫函數(shù)為

(18)

(19)

(20)

根據(jù)引理1，有以下不等式成立：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

將不等式(21)～不等式(25)代入式(20)有：

(26)

(27)

其中,

(28)

又由李雅普諾夫函數(shù)(18)有

(29)

令Ξ2=-Ξ1，當(dāng)Ξ1<0時，有Ξ2>0．因此，有如下不等式成立：

(30)

其中,

(31)

根據(jù)定義2可知，當(dāng)滿足不等式(16)和不等式(17)時，誤差系統(tǒng)(14)和誤差系統(tǒng)(15)是關(guān)于故障函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的．利用schur補引理可證得Ξ1<0與線性矩陣不等式(17)等價，其中，Hi=PiLi．證畢．

注 3對于初始的μ=μ0，ε=ε0，通過求解線性矩陣不等式(17)可以得到觀測增益Li和標(biāo)量δ．如果不等式(17)不可解，重置μ=μ1，ε=ε1，直到線性矩陣不等式(17)可解為止．

注 4由于輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性蘊含著收斂輸入收斂狀態(tài)的性質(zhì)[15]，所以當(dāng)故障的導(dǎo)函數(shù)隨著時間趨于0時，誤差系統(tǒng)的狀態(tài)也是收斂的．這與現(xiàn)有結(jié)果是不同的．現(xiàn)有結(jié)果表明，當(dāng)故障函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有界時，誤差系統(tǒng)的狀態(tài)一致有界，僅當(dāng)故障函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒等于0時，誤差系統(tǒng)才是漸近收斂的．但即使一個很小的、有限時間衰減到0的干擾也可能使原本穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)發(fā)散．

3 數(shù)值算例

考慮如下含有兩個模態(tài)的非線性廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣為

非線性項取為

假定系統(tǒng)中執(zhí)行器故障與傳感器故障的形式如下：

本例的目的是要設(shè)計形如式(10)～式(13)的估計器使得誤差系統(tǒng)(14)和誤差系統(tǒng)(15)對于故障函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的．假定初始模態(tài)r0=1，選取參數(shù)ε=1，μ=0.3．利用Matlab中的LMI工具箱，求解線性矩陣不等式(16)和不等式(17)，可得觀測器增益

圖1 系統(tǒng)(1)的跳變模態(tài)

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x1(t)及其估計

圖 3 系統(tǒng)狀態(tài)x2(t)及其估計

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x3(t)及其估計

圖 5 執(zhí)行器故障fa(t)及其估計

圖6 傳感器故障fs(t)及其估計

4 結(jié) 論

本文研究了一類具有全局利普希茨非線性的廣義馬爾可夫跳變系統(tǒng)的故障估計問題，考慮了執(zhí)行器故障和傳感器故障并存的情形．設(shè)計了基于中間變量的估計器用于估計該系統(tǒng)的狀態(tài)、執(zhí)行器故障以及傳感器故障．證明了誤差系統(tǒng)對于故障函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的．給出了一個數(shù)值算例用以驗證該方法的有效性．