何軍強 劉明生

摘要 基于環(huán)路傳播延時對外差式光鎖相環(huán)穩(wěn)定性和環(huán)路相位誤差的影響，以奈奎斯特判斷準(zhǔn)則為依據(jù)，以環(huán)路相位裕度為度量，研究了延時與環(huán)路中主要參數(shù)的關(guān)系。首先通過環(huán)路數(shù)學(xué)模型，計算出環(huán)路相位裕度。以常用一階無源低通濾波器和一階有源低通濾波器為代表，研究了延時與環(huán)路中自然頻率、阻尼因子、環(huán)路穩(wěn)定性和相位誤差的關(guān)系。結(jié)果表明，實際應(yīng)用中，在保證環(huán)路穩(wěn)定性以及相位誤差的情況下，相位裕度應(yīng)控制在45°～ 60°之間，當(dāng)阻尼因子為1時環(huán)路自然頻率與延時乘積應(yīng)處于0.138～0.266之間。同時計算出此時系統(tǒng)若處于最佳跟蹤性能范圍，環(huán)路延時應(yīng)控制在0～1 ns內(nèi)。

關(guān) 鍵 詞 外差式光鎖相環(huán);延時;相位裕度;阻尼因子;自然頻率

Abstract Based on the influence of loop propagation delay on the stability and phase error of heterodyne optical phase-locked loop， the relationship between delay and parameters in the loop is studied according to the Nyquist criterion and the phase margin of the loop. Firstly， the phase margin of the loop is calculated by the mathematical model of the loop. Taking the first-order passive low-pass filter and the first-order active low-pass filter as two examples， the relationship between delay and natural frequency， damping factor， loop stability and phase error in the loop is studied. The results show that the phase margin should be controlled between 45°-60° and the product of natural frequency and delay should be 0.138-0.266 at? damping? factor? with 1， when the loop stability and phase error are guaranteed in practical application. At the same time， in order to increase the tracking performance of the system， the loop delay should be controlled within 0-1 ns.

Key words HOPLL; delay; phase margin; damping factor; natural frequency

0 引言

隨著人們對大容量、遠(yuǎn)距離、高性能的通信需求，相干光通信已成為21世紀(jì)最主要的通信方式。然而相干光通信中光載波頻率穩(wěn)定性與接收機解調(diào)光載波相干性已成為影響相干光通信質(zhì)量的制約因素。外差式光鎖相環(huán)（Heterodyne Optical Phase Lock Loop，HOPLL）因能主動抑制光載波相位噪聲、合成高相干光等優(yōu)點，已成為相干光通信重要技術(shù)[1-2]。目前，HOPLL已應(yīng)用于毫米波和太赫茲光信號合成、高分辨率光譜測量、微波光子學(xué)、光纖陀螺等領(lǐng)域[3-6]。2017年，Shams等[7]第一次通過實驗驗證HOPLL與光學(xué)頻率梳發(fā)生器（Optical Frequency Comb Generator，OFCG）結(jié)合，合成具有高穩(wěn)定性、低相位噪聲的可調(diào)諧太赫茲光載波;2018年，Balakier等[8]首次通過光子集成電路（Photonic Integrated Circuit，PIC）實現(xiàn)HOPLL對光學(xué)頻率梳中頻線選擇，篩選出具有高相干性光載波——光載波在5 kHz頻率處相位噪聲僅為-100 dBc/Hz;2018年，Katarzyna等[9]通過集成HOPLL和多段可調(diào)諧分布式布拉格反射激光器（DBR）電路實現(xiàn)DBR與參考光信號相位鎖定，在1 THz調(diào)諧范圍內(nèi)合成高純度毫米和太赫茲光載波——光載波在10 kHz頻率偏移處相位噪聲為-96 dBc/Hz等等。因此，設(shè)計高性能HOPLL環(huán)路對相干光通信系統(tǒng)具有重要意義。

HOPLL環(huán)路是一個具有慣性環(huán)節(jié)的線性系統(tǒng)[10]。因受環(huán)路負(fù)反饋控制，環(huán)路延時影響著環(huán)路輸出相位和幅度。過大的延時不僅降低環(huán)路相對穩(wěn)定性而且會增大環(huán)路相位誤差。因此實際使用中，為增強環(huán)路穩(wěn)定性和減小相位誤差，通常選擇降低環(huán)路自然頻率。但降低環(huán)路自然頻率會引發(fā)一系列級聯(lián)效應(yīng)，如環(huán)路捕獲范圍變窄、捕獲時間增大、環(huán)路跟蹤性能降低、相位誤差變大等現(xiàn)象。因此，研究延時與環(huán)路穩(wěn)定性以及相位誤差之間關(guān)系很重要。相位裕度作為衡量環(huán)路相對穩(wěn)定性的指標(biāo)，應(yīng)控制在合理范圍內(nèi)。過大的相位裕度引起系統(tǒng)響應(yīng)變慢，過小的相位裕度易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此環(huán)路相位裕度應(yīng)設(shè)置為45°～ 60°之間。本文以奈奎斯特判斷準(zhǔn)則為依據(jù)，以相位裕度為度量，通過控制變量法分析HOPLL環(huán)路相對穩(wěn)定性以及相位誤差，并且對環(huán)路延時、自然頻率、阻尼因子、穩(wěn)定性之間關(guān)系進(jìn)行具體推導(dǎo)，推導(dǎo)結(jié)果對設(shè)計高性能HOPLL具有重要意義。

1 外差式光鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)

圖1a）為典型外差式光鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)圖[11]。環(huán)路結(jié)構(gòu)包括兩臺激光器，2×1光耦合器、光電探測器（PD）、射頻放大器（SOA）、鑒頻鑒相器（PFD）、低通濾波器（LPF），環(huán)路延時環(huán)節(jié)（τ）。圖中一臺激光器作為主激光器，其頻率穩(wěn)定度高，線寬窄，相位噪聲小;另一臺激光器作為從激光器（又稱被鎖激光器），從激光器線寬比較寬，相位噪聲大、可調(diào)諧。

基于奈奎斯特判斷準(zhǔn)則，可以通過環(huán)路相位裕度衡量環(huán)路相對穩(wěn)定性能力[16]。相位裕度，即系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，環(huán)路所能受到相位擾動的大小。由開環(huán)傳遞函數(shù)[Hs]，計算環(huán)路相位裕度，如式（4）所示：

相位裕度φ大小可以表示環(huán)路相對穩(wěn)定能力的大小。當(dāng)相位裕度為正時，環(huán)路呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng)相位裕度為負(fù)時，環(huán)路進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。由式（3）可知，環(huán)路相位裕度與環(huán)路中低通濾波器傳遞函數(shù)[Gs]密切相關(guān)。HOPLL常用環(huán)路濾波器有2種結(jié)構(gòu)：無源低通濾波器和有源低通濾波器。

2.1 一階無源低通濾波器

無源低通濾波器，環(huán)路結(jié)構(gòu)簡單且由無源器件搭建，因此環(huán)路噪聲較小。根據(jù)梅森定理[17]，由低通濾波器產(chǎn)生的噪聲對從激光器影響較小。但無源低通濾波器增益較低，因此對環(huán)路整體增益有限。高階低通濾波器的實現(xiàn)通常伴隨更多環(huán)路極點的引入，嚴(yán)重影響環(huán)路相位域的頻率穩(wěn)定性。因此本文選擇一階無源低通濾波器作為環(huán)路分析模型。一階無源低通濾波器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

2.2 一階有源低通濾波器

有源低通濾波結(jié)構(gòu)具有較大環(huán)路增益，因此對低頻信號具有放大作用從而達(dá)到更佳濾波效果。但同時運放內(nèi)部噪聲隨環(huán)路疊加從而影響環(huán)路鎖定時相位誤差。若運放噪聲偏大，則嚴(yán)重影響到環(huán)路鎖定。高階有源低通濾波器隨著極點的增加同樣影響環(huán)路頻率穩(wěn)定性。因此本文選擇一階有源低通濾波器作為分析模型。一階有源低通濾波器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

3 結(jié)果與分析

3.1 一階有源低通濾波器穩(wěn)定性分析

為了研究環(huán)路自然頻率[ωn]和環(huán)路阻尼因子?之間關(guān)系，首先保證環(huán)路穩(wěn)定性，設(shè)環(huán)路相位裕度分別為45°和60°。如圖4所示。由上及下4條曲線依次表示環(huán)路延時為0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns，圖中縱坐標(biāo)表示環(huán)路自然頻率log10 ωn。

由圖4a）和圖4b）可知，在相同環(huán)路延時條件ιd下，環(huán)路自然頻率[ωn]并不是環(huán)路阻尼因子?的單調(diào)函數(shù)，而是隨著阻尼因子?增大，環(huán)路自然頻率[ωn]先增大，然后減小。在不同延時條件下，同樣存在最佳阻尼因子使得自然頻率最大。因此，通過選擇最佳阻尼因子有利于環(huán)路動態(tài)跟蹤性能。在相同阻尼因子和相位裕度下，環(huán)路延時越小，環(huán)路自然頻率越大，因此減小環(huán)路延時有助于提升環(huán)路跟蹤性能。對比圖4a）和圖4b），最佳阻尼因子隨著相位裕度增大而變大，因此環(huán)路穩(wěn)定性隨著阻尼因子變大而增強。

由上可知，環(huán)路中存在最佳阻尼因子使環(huán)路自然頻率最大。研究時延與自然頻率之間關(guān)系，設(shè)環(huán)路阻尼因子為? = 1，如圖5所示。圖5中由上及下3條曲線分別表示相位裕度為0°，45°，60°這3種情況。相位裕度為0°表示環(huán)路相對穩(wěn)定臨界值。其中縱坐標(biāo)表示環(huán)路自然頻率lgωn。

由圖5可以發(fā)現(xiàn)，在相位裕度相同時，環(huán)路延時越大，自然頻率越小。但環(huán)路延時在0～1 ns之間，自然頻率變化幅度較大，隨后變化幅度相對緩慢。因此，在環(huán)路穩(wěn)定前提下，為增大環(huán)路捕獲帶寬和跟蹤性能，環(huán)路最佳延時應(yīng)控制在1 ns內(nèi)。在環(huán)路延時相同時，隨著相位裕度增大，環(huán)路自然頻率相應(yīng)減小。因此，增大環(huán)路穩(wěn)定性時，環(huán)路捕獲范圍和跟蹤性能變差。

設(shè)計HOPLL，環(huán)路穩(wěn)定性和相位誤差均影響環(huán)路性能。由文獻(xiàn)[20]可知影響環(huán)路相位誤差因素主要包括激光器內(nèi)部相位噪聲、環(huán)路白噪聲和探測器散粒噪聲。其中激光器相位噪聲和探測器散粒噪聲與環(huán)路自然頻率與延時乘積有關(guān)，即ωnτd。因此有必要研究ωnτd與相位裕度之間關(guān)系。設(shè)阻尼因子? = 1，由式（8）計算兩者之間關(guān)系。如圖6所示，圖中相位裕度單位為rad，橫坐標(biāo)k = ωnιd。

由圖6發(fā)現(xiàn)隨著環(huán)路k增大，相位裕度線性減小因此環(huán)路穩(wěn)定性降低。當(dāng)k = 0.647時，環(huán)路相位裕度為0，處于臨界穩(wěn)定范圍。因此若使相位裕度處于45°～60°之間，k應(yīng)處于0.138～0.266之間。同時，由文獻(xiàn)[21]計算此時環(huán)路相位標(biāo)準(zhǔn)方差小于10°。

為更直觀表示自然頻率、延時與相位裕度之間關(guān)系。設(shè)? = 1，如圖7所示。圖中縱坐標(biāo)為相位裕度，橫坐標(biāo)分別為環(huán)路延時與自然頻率。當(dāng)縱坐標(biāo)相位裕度為負(fù)值時，環(huán)路處于不穩(wěn)定狀態(tài)，無法正常工作。因此為保證HOPLL具有較高穩(wěn)定性，應(yīng)設(shè)計合理環(huán)路時延與自然頻率。

3.2 一階無源低通濾波器穩(wěn)定性分析

通過控制變量法分析一階無源低通濾波器環(huán)路穩(wěn)定性。設(shè)環(huán)路相位裕度為45°和60°，結(jié)合式（6），計算出阻尼因子與自然頻率關(guān)系，如圖8所示。圖8a）表示環(huán)路相位裕度為45°，圖8b）表示環(huán)路相位裕度為60°。由上到下四條曲線分別表示延時0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns?？v坐標(biāo)表示自然頻率lg ωn，

由圖8a）、b）發(fā)現(xiàn)當(dāng)環(huán)路延時相同時，自然頻率隨阻尼因子變大而增大。因此，環(huán)路跟蹤性能隨阻尼因子變大而增強。但環(huán)路跟蹤性能增強時，自然頻率與延時乘積增大，因此環(huán)路相位誤差增大，故環(huán)路動態(tài)跟蹤性能與相位誤差之間存在矛盾。當(dāng)阻尼因子相同時，自然頻率隨著環(huán)路延時變小而增大。因此可以通過減小環(huán)路延時增強環(huán)路動態(tài)跟蹤性能。

為研究環(huán)路延時與自然頻率關(guān)系，設(shè)阻尼因子為1，以相位裕度60°為參考。如圖9所示，圖中縱坐標(biāo)表示自然頻率lgωn。

由圖9發(fā)現(xiàn)環(huán)路自然頻率隨延時增加而減小。當(dāng)延時處于0～1 ns之間，自然頻率衰減幅度較大，大約衰減一個數(shù)量級。因此過大延時導(dǎo)致環(huán)路動態(tài)性能急劇變差。為保證系統(tǒng)具有最佳捕獲性能，理想環(huán)路延時應(yīng)控制在1 ns內(nèi)。

為更直觀表示一階無源低通濾波器環(huán)路延時、自然頻率和相位裕度關(guān)系，如圖10所示。圖10中阻尼因子為1，縱坐標(biāo)表示環(huán)路相位裕度、橫坐標(biāo)表示延時和自然頻率。

當(dāng)環(huán)路相位裕度為正時，環(huán)路處于穩(wěn)定狀態(tài)。由式（6）與圖10分析，若延時與自然頻率設(shè)置不合理，環(huán)路容易脫鎖從而影響系統(tǒng)正常工作。對比圖7和圖10，發(fā)現(xiàn)一階無源低通濾波器在相同延時與自然頻率下，環(huán)路相位裕度優(yōu)于一階有源低通濾波器相位裕度。但實際情況中，為增大環(huán)路增益在相位噪聲允許情況下，選擇有源低通濾波器作為環(huán)路濾波結(jié)構(gòu)。

實際設(shè)計HOPLL不僅考慮到環(huán)路帶寬、阻尼因子和環(huán)路延時，同時也應(yīng)考慮到半導(dǎo)體激光器線寬[22]。過大線寬需要更小傳播延時。由實驗測試，引用文獻(xiàn)[22]，由200 mm光纖回路產(chǎn)生1 ns傳播延時計算，設(shè)計線寬為3 MHz穩(wěn)定HOPLL且標(biāo)準(zhǔn)相位誤差10°時，延時須控制在1 ns。

4 結(jié)論

HOPLL中環(huán)路延時影響環(huán)路相對穩(wěn)定性及相位誤差。本文以相位裕度衡量環(huán)路穩(wěn)定性，以常用兩種低通濾波結(jié)構(gòu)：一階無源低通濾波器和一階有源低通濾波器為研究模型，分析環(huán)路自然頻率、阻尼因子、延時與穩(wěn)定性以及相位誤差關(guān)系。結(jié)果表明，對于一階有源低通濾波器，環(huán)路存在最佳阻尼因子使環(huán)路自然頻率最大;對于一階無源低通濾波器，環(huán)路自然頻率隨阻尼因子變大而增大。但增強環(huán)路跟蹤性能時，環(huán)路相位誤差逐漸增大。兩種環(huán)路結(jié)構(gòu)性能均受環(huán)路延時影響。環(huán)路自然頻率與延時乘積k影響環(huán)路穩(wěn)定性以及相位誤差。隨著k增大，環(huán)路相對穩(wěn)定性降低、相位誤差增大，因此k值應(yīng)處于合理范圍。設(shè)計HOPLL相位裕度應(yīng)控制在45°～ 60°之間。當(dāng)環(huán)路濾波器為一階有源低通濾波器且環(huán)路阻尼因子為1時，環(huán)路自然頻率與延時乘積應(yīng)處于0.138～0.266之間。同時為使環(huán)路具有較大跟蹤范圍，環(huán)路延時應(yīng)處于1 ns內(nèi)。

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