宋揚(yáng)

摘? 要：人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》中的條件概率內(nèi)容從條件概率的定義出發(fā)，衍生出概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，使概率知識(shí)體系更加完善，更利于解決實(shí)際問(wèn)題，反映出著眼學(xué)生核心素養(yǎng)的時(shí)代要求.

關(guān)鍵詞：條件概率;概率乘法公式;全概率公式;貝葉斯公式

研讀人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“新教材”）選擇性必修第三冊(cè)“7.1.1 條件概率”，發(fā)現(xiàn)第46頁(yè)明確指出概率的乘法公式：由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件[A]與[B]，若[PA>0]，則[PAB=][PAPBA]. 至此，筆者眼前一亮，聯(lián)想起一道概率高考題引發(fā)的熱議，看到該公式對(duì)原來(lái)解釋不清的概率問(wèn)題釋疑解惑、清澈見(jiàn)底，尤其以概率的乘法公式為邏輯起點(diǎn)，完善知識(shí)體系的強(qiáng)大功能，不禁為新教材的改編叫好.

考慮到新教材、新知識(shí)、新方法一定會(huì)給廣大一線教師帶來(lái)某種陌生感，為便于大家理解新教材、運(yùn)用新教材，筆者談?wù)勛约旱膶W(xué)習(xí)體會(huì)，謹(jǐn)供同行參考，不妥之處，敬請(qǐng)指正.

一、緣起一樁陳年“公案”

2006年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第18題是一道概率試題，如下.

某公司招聘員工，指定三門(mén)考試課程，有兩種考試方案.

方案1：考試三門(mén)課程，至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò);

方案2：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格為考試通過(guò).

假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是[a，b，c]，且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.

（1）分別求該應(yīng)聘者用方案1和方案2考試通過(guò)的概率;

（2）略.

應(yīng)聘者用方案2考試，通過(guò)的概率是[P=13ab+13bc+][13ac]，并無(wú)懸念;問(wèn)題出在對(duì)[13]與[ab]，[bc]，[ac]相乘關(guān)系的解釋.

有的教師認(rèn)為，完成此事分為選兩科和考試通過(guò)，類比排列組合中分步乘法計(jì)數(shù)原理，得相乘關(guān)系;有的教師認(rèn)為，選兩科與考試通過(guò)是相互獨(dú)立事件，得概率的相乘關(guān)系.

面對(duì)這些說(shuō)法，首都師范大學(xué)馬恩林老師撰文（見(jiàn)文[1]）做出了詳盡的指正，并說(shuō)明要解釋[P=][13ab+13bc+13ac]的合理性，就要利用概率的乘法公式[PAB=PAPBA]. 如果設(shè)事件[D]為考試及格，事件[A，B，C]分別表示選出課程[A，B]，[C]，則選出課程[A，B]且考試及格的概率為[PABD=PABPDAB=13ab]，其余類推.

馬老師的指正，直擊肯綮. 但遺憾的是，當(dāng)年的中學(xué)教材，并沒(méi)有明確馬老師介紹的、出現(xiàn)在大學(xué)教材中的概率乘法公式，只有限定事件[A，B]獨(dú)立的概率乘法公式[PAB=PAPB]. 因此，馬老師在文[1]中給出“現(xiàn)行教材中，兩個(gè)概率能夠相乘的唯一理論依據(jù)是獨(dú)立事件的概率乘法公式”的結(jié)論，于是，一道高考題的解法不能用現(xiàn)行（當(dāng)年）知識(shí)解釋，引發(fā)了熱議.

馬老師曾在文尾謹(jǐn)慎地指出，不排除存在著我們尚不了解、但能夠用中學(xué)數(shù)學(xué)教材中概率論的基礎(chǔ)知識(shí)作為依據(jù)的正確解釋. 并希望通過(guò)此文拋磚引玉，但無(wú)奈當(dāng)時(shí)回應(yīng)者寡，終歸不得要領(lǐng)，致使這道高考題成為概率教學(xué)的一樁“公案”.

現(xiàn)在看來(lái)，馬老師留有余地的預(yù)判是正確的. 因?yàn)槲覀儺?dāng)年只需要對(duì)條件概率的計(jì)算公式[PBA=][nABnA=PABPA]去分母變形，即得不限事件獨(dú)立的概率乘法公式[PAB=PAPBA]，但是當(dāng)年卻被這樣一層“窗戶紙”蒙蔽，以致造成該公式“猶抱琵琶半遮面”般隱匿其間，至今才真相大白.

二、條件概率地位升華

新教材中，概率乘法公式撕掉面紗，化繭成蝶，成為重要的概率計(jì)算公式，不僅使這樁“公案”塵埃落定，還使得條件概率的教學(xué)地位陡然提升.

我們不妨還按照原教材中條件概率的計(jì)算公式（不做去分母變形）繼續(xù)分析學(xué)生當(dāng)年的學(xué)習(xí)狀況，學(xué)生在古典概型的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)條件概率，只需按照古典概型的方法，在事件[A]發(fā)生的前提條件下，得出縮小后的樣本空間[A]，于是，求[PBA]就是以[A]為樣本空間，計(jì)算事件[AB]的概率，即[PBA=nABnA]，這是一個(gè)新知識(shí)含量不多（僅限條件概率稱謂），實(shí)則運(yùn)用古典概型知識(shí)就可以解決的簡(jiǎn)單計(jì)算問(wèn)題. 而公式[PBA=][nABnA=PABPA]形同虛設(shè)，最多是從特殊到一般的角度說(shuō)明了[nABnA=PABPA]的演變的合理性，實(shí)則是沒(méi)有下文的“斷頭路”. 由此造成“條件概率”在知識(shí)邏輯體系中的作用降低，甚至成為可有可無(wú)的點(diǎn)綴.

現(xiàn)在新教材的處理就不同了，條件概率的地位今非昔比，其計(jì)算公式[PBA=PABPA]演變成重要的概率乘法公式[PAB=PAPBA]. 該公式的一般性表現(xiàn)在于它的成立與否不以事件[A，B]是否相互獨(dú)立為前提條件，甚至可以根據(jù)需要，把公式[PAB=PAPBA]轉(zhuǎn)換成[PAB=PBPAB]，這就為該公式開(kāi)辟了廣泛的運(yùn)用前景.

三、釋疑解惑 清澈見(jiàn)底

例1? 將僅顏色不同的5個(gè)白球、5個(gè)黑球混在一起，從中任意摸出一球，不放回地連續(xù)摸兩次，求兩次都摸出白球的概率.

分析：設(shè)[Ai i=1，2]代表第[i]次摸出白球，則據(jù)古典概型的知識(shí)，得出[PA1A2=A25A210=5×410×9=29];或改變?cè)囼?yàn)方式，理解為一次摸出兩個(gè)白球，也不改變概率，于是得到[PA1A2=C25C210=5×410×9=29].

從試驗(yàn)方式到樣本空間，上述兩種解法都無(wú)懈可擊，都是學(xué)生應(yīng)該掌握的方法. 但是，在教學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常有人把上述題目的解答過(guò)程表述為[PA1A2=][510×49=29]，教師通常的做法是默認(rèn)答案正確. 但是，如何解釋呢？

若把該解法理解為兩次摸出白球的概率之積（因?yàn)榈谝淮蚊霭浊虻母怕蕿閇PA1=510]并無(wú)歧義），但這樣必須有兩次摸出白球的事件相互獨(dú)立. 而事實(shí)上，第一次摸出白球與否，勢(shì)必對(duì)第二次是否摸出白球造成影響. 顯然，這樣的解釋是不能自圓其說(shuō)的.

有了對(duì)任意兩個(gè)事件[A，B]，只需[PA>0]，就有概率乘法公式[PAB=PAPBA]成立，我們解釋解法[PA1A2=510×49=29]就變得輕而易舉了. 因?yàn)閇PA1A2=][PA1PA2A1=510×49=29]. 其中，[PA2A1=49]是縮小樣本空間的產(chǎn)物.

例2? 某種電器設(shè)備，電路開(kāi)關(guān)閉合會(huì)引發(fā)紅燈或綠燈的閃動(dòng). 已知開(kāi)關(guān)第一次閉合，閃紅燈和閃綠燈的概率都是[12]. 開(kāi)關(guān)第二次閉合時(shí)，若第一次閃紅燈，則再閃紅燈的概率是[13]，閃綠燈的概率是[23];若第一次閃綠燈，則再閃紅燈的概率是[35]，閃綠燈的概率是[25]. 求開(kāi)關(guān)第二次閉合后閃紅燈的概率.

分析：設(shè)事件[A]為“第二次閉合后閃紅燈”. 顯然事件[A]由事件“第一次閃紅燈后第二次又閃紅燈”和事件“第一次閃綠燈后第二次閃紅燈”構(gòu)成. 若學(xué)生根據(jù)兩個(gè)事件互斥，得到解法[PA=12×13+1-12×][35=715]，教師該如何點(diǎn)評(píng)？

很明顯，根據(jù)兩個(gè)互斥事件構(gòu)成和事件的概率等于兩事件的概率和并無(wú)歧義，問(wèn)題出在“第一次閃紅燈”與“第二次閃紅燈”（包括“第一次閃綠燈與第二次閃紅燈）的概率為什么可以相乘？如果運(yùn)用獨(dú)立事件的概率公式來(lái)解釋，顯然是說(shuō)不通的，因?yàn)榈谝淮伍W燈的顏色勢(shì)必對(duì)第二次閃燈的顏色造成影響. 如果沒(méi)有學(xué)習(xí)概率的乘法公式，這是無(wú)法避免的糾結(jié).

正確的解法依然是要運(yùn)用概率的乘法公式，即設(shè)[Ai i=1，2]代表第[i]次閃紅燈，[Bi i=1，2]代表第[i]次閃綠燈，則有[PA=PA1A2+B1A2=PA1A2+PB1A2=][PA1PA2A1+PB1PA2B1=12×13+1-12×35=715.]

例3? 已知3張獎(jiǎng)券中只有1張有獎(jiǎng)，甲、乙、丙3名同學(xué)依次不放回地各隨機(jī)抽取1張，他們中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序有關(guān)嗎？（選自新教材選擇性必修第三冊(cè)第47頁(yè).）

分析：欲說(shuō)明中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序是否有關(guān)，我們不妨任意設(shè)定一個(gè)抽獎(jiǎng)順序（如依“甲、乙、丙”順序抽獎(jiǎng)），然后計(jì)算他們各自的獲獎(jiǎng)概率，看是否與順序有關(guān).

解決此題，如果不用概率乘法公式，只能運(yùn)用古典概型的知識(shí)，得[P甲中獎(jiǎng)=A11A22A33=13]，[P乙中獎(jiǎng)=][A12A11A11A33=13]，[P丙中獎(jiǎng)=A22A11A33=13]. 這種解法雖然說(shuō)明三人中獎(jiǎng)的概率相同，但對(duì)任意選定的抽獎(jiǎng)順序“甲、乙、丙”的展示，卻不夠明確.

而借助概率的乘法公式就不同了，我們可以設(shè)[A，B，C]分別表示甲、乙、丙3名同學(xué)中獎(jiǎng)的事件，任取抽獎(jiǎng)順序?yàn)椤凹?、乙、丙”，那么三人中?jiǎng)的概率分別是[PA=13]，[PB=PAB=PAPBA=1-13×][12=13]，[PC=PAB=PAPBA=1-13×12=13].

如此求證，“甲、乙、丙”的抽獎(jiǎng)順序鮮明，計(jì)算簡(jiǎn)便，說(shuō)明他們中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序無(wú)關(guān)更有力度，概率的乘法公式功莫大焉.

四、邏輯奠基，完善體系

有了概率的乘法公式，我們就有了計(jì)算兩個(gè)事件[A，B]都發(fā)生的概率的一般方法. 有時(shí)需要根據(jù)兩個(gè)事件的發(fā)生順序，來(lái)選擇使用[PAB=PAPBA]或[PAB=PBPAB]. 由此聯(lián)想，若三件事[A，B，C]都發(fā)生，概率如何求？自然可以根據(jù)實(shí)際需要，確定事件[A，B，C]的發(fā)生順序，把該公式類似地推廣為[PABC=][PAPBAPCAB]. 若求多個(gè)事件都發(fā)生的概率，亦可依此類推.

該公式揭示了兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用. 至此，新教材完成了從條件概率到概率乘法公式，從概率乘法公式到全概率公式，進(jìn)而到貝葉斯公式的推演，可謂邏輯貫通、“枝繁葉茂”. 對(duì)比新、舊教材的條件概率部分，感到隨著課程改革的漸次深入，我們的教材也在日臻完善，反映出著眼學(xué)生核心素養(yǎng)的時(shí)代要求.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬恩林，連四清. 概率計(jì)算中概率乘法問(wèn)題的商榷[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，46（8）：55-56.