殷玲 蔣孝國(guó)

摘? 要：“三個(gè)理解”和內(nèi)隱性課程資源中均蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)、學(xué)生和教學(xué)等方面的內(nèi)容. 將兩者結(jié)合，相互印證，并結(jié)合教學(xué)案例具體闡述如何在新授課教學(xué)中從理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的角度創(chuàng)設(shè)適切的問題情境，挖掘和整合內(nèi)隱性課程資源，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：理解數(shù)學(xué);理解學(xué)生;理解教學(xué);內(nèi)隱性課程資源

新一輪高中課程改革以促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展為本，以提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)，而挖掘與整合數(shù)學(xué)內(nèi)隱性課程資源，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑之一. 內(nèi)隱性數(shù)學(xué)課程資源主要包括內(nèi)隱素材性資源（即數(shù)學(xué)知識(shí)的背景、過程、環(huán)境及文化元素等）和內(nèi)隱條件性資源（即教師的教學(xué)知識(shí)，學(xué)生原有的認(rèn)知情況，合適的教學(xué)手段，方法和環(huán)境等）. 結(jié)合章建躍博士提出的“三個(gè)理解”——理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)內(nèi)隱性課程資源中也蘊(yùn)含了對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)生和教學(xué)等方面的要求. 因此，筆者認(rèn)為，基于“三個(gè)理解”，可探索、挖掘與整合內(nèi)隱性課程資源，以優(yōu)化教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 本文著眼于新授課教學(xué)，輔以案例，借助適切的問題情境具體闡述，與大家交流.

一、基于理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，挖掘知識(shí)形成過程中的資源

數(shù)學(xué)概念是不斷抽象的結(jié)果. 例如，函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，歷經(jīng)初中和高中兩個(gè)階段，從“變量說”過渡到“對(duì)應(yīng)說”;又如，在教學(xué)“平面和平面垂直”時(shí)，為了引入面面垂直的判定定理，需要先學(xué)習(xí)二面角的知識(shí). 但是對(duì)于學(xué)生而言，二面角是個(gè)全新的概念. 在教學(xué)中教師要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具體到抽象、從感性到理性的過渡，從而完成概念的構(gòu)建.

案例1：平面和平面垂直（1）.

導(dǎo)入語(yǔ)：大家會(huì)折紙么？一張薄薄的紙，經(jīng)一雙巧手，翻、折、疊、拉等，可以呈現(xiàn)很多精美的造型. 今天，我們利用折紙，一起來發(fā)現(xiàn)生活中有趣的數(shù)學(xué)問題. 取一張正方形紙，進(jìn)行一次對(duì)折. 經(jīng)過對(duì)折，可以得到如圖1所示的兩個(gè)立體圖形. 它們都有兩個(gè)平面和一條公共棱. 你能從生活中找到類似的模型嗎？

打開的筆記本電腦、翻開的書、教學(xué)樓的屋頂……，教師指明這樣的立體模型有很多，是今天要學(xué)習(xí)的二面角.

問題1：如何定義二面角？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生類比平面中的角來定義二面角.

追問1：平面中角的定義是什么？

從平面內(nèi)一點(diǎn)引發(fā)兩條射線所組成的圖形叫做角.

追問2：大家仔細(xì)觀察折紙模型，將維度升級(jí)，給二面角下個(gè)定義.

從一條直線引發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角.

追問3：仿照平面幾何中角的記法[∠AOB，] 二面角怎么表示？

問題2：在折紙的過程中，可以發(fā)現(xiàn)二面角張開的程度不同，如何刻畫？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考后，討論、回答：可以通過平面角刻畫二面角的大小. 教師鼓勵(lì)學(xué)生在模型上畫出符合條件的平面角，并分組討論操作的可行性，體驗(yàn)二面角平面角的存在性和唯一性. 二面角大小的度量是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，教師參與討論，給予指導(dǎo)，并讓學(xué)生展示討論結(jié)果.

【評(píng)析】教師利用折紙這個(gè)簡(jiǎn)單易行的活動(dòng)，有意識(shí)地引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作，直觀感知立體圖形，借助類比和轉(zhuǎn)化，得出二面角的定義、表示、度量，既能鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，還能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)活動(dòng)的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

理解數(shù)學(xué)指教師清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景、形成過程和方法，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯體系、結(jié)構(gòu)和與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系. 本案例將生活與數(shù)學(xué)相結(jié)合，利用折紙活動(dòng)吸引學(xué)生參與到實(shí)踐操作中來，通過折一折、畫一畫、想一想，直觀感知二面角，這是從生活中建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程. 可見，基于理解數(shù)學(xué)，可以挖掘知識(shí)形成過程中的資源，通過學(xué)生體驗(yàn)性活動(dòng)，讓學(xué)生形成伴隨學(xué)習(xí)活動(dòng)過程的體驗(yàn)性知識(shí)（包括對(duì)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、結(jié)果、應(yīng)用的體驗(yàn)）等，從而激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識(shí)，形成良性循環(huán)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

二、基于理解學(xué)生，立足學(xué)生薄弱點(diǎn)，挖掘符合學(xué)生認(rèn)知的資源

數(shù)學(xué)教學(xué)的對(duì)象是學(xué)生，教學(xué)的起始點(diǎn)應(yīng)基于學(xué)情. 因此，理解學(xué)生、掌握學(xué)情是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)的重要基礎(chǔ). 為了幫助學(xué)生提高思維品質(zhì)，需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)采用符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方式，從學(xué)生的角度出發(fā)，立足學(xué)生的薄弱點(diǎn)，引發(fā)思考，探究數(shù)學(xué)知識(shí).

案例2：共面向量定理.

導(dǎo)入語(yǔ)：一個(gè)數(shù)學(xué)概念的推廣會(huì)帶來更好的性質(zhì)與應(yīng)用，學(xué)生能夠從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性，感悟由此產(chǎn)生的影響. 為了解決平面上有關(guān)點(diǎn)、直線的位置關(guān)系和度量問題，我們引進(jìn)了平面向量及其運(yùn)算. 上節(jié)課我們進(jìn)一步擴(kuò)大視野，將向量由平面向空間推廣，建立相應(yīng)的運(yùn)算，今天我們繼續(xù)研究空間向量的有關(guān)性質(zhì).

觀察如圖2所示的長(zhǎng)方體，回答下列問題.

（1）你能找出一個(gè)與[AC]共線的向量嗎？

（2）你能用[AB， AD]表示出[AC]嗎？

（3）[AB， AD， A1C1]具有怎樣的關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師引導(dǎo)學(xué)生直觀感知共面向量，并提出問題.

問題1：類比共線向量的定義，你能給出共面向量的定義嗎？

追問：空間中任意兩個(gè)向量是共面向量嗎？任意三個(gè)向量共面嗎？

問題2：平面向量中，向量[b]與非零向量[a]共線的充要條件是[b=λa，] 類比到空間向量，若[p]與兩個(gè)不共線向量[a，b]共面，那么它們之間存在怎樣的關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平面向量基本定理，得出存在有序?qū)崝?shù)組[x，y，] 使得[p=][xa+yb.]

追問：對(duì)于空間中的三個(gè)向量[p，a，b]（[a]與[b]不共線），若存在有序?qū)崝?shù)組[x，y]使[p=xa+yb，] 那么向量[p，a，b]共面嗎？

【評(píng)析】此案例源于筆者參加的一次區(qū)評(píng)優(yōu)課，借班上課的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，因此教師基于學(xué)情，利用長(zhǎng)方體這一基本模型，設(shè)置針對(duì)性較強(qiáng)的問題，引入概念. 第（1）小題復(fù)習(xí)共線向量定理;第（2）小題復(fù)習(xí)平面向量基本定理;第（3）小題引出共面向量的概念. 問題設(shè)置均在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，起點(diǎn)低但有梯度，拾級(jí)而上，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn);教師適時(shí)追問，引導(dǎo)學(xué)生深度思考任意三個(gè)向量是否共面，何時(shí)共面，自然引入本節(jié)課的主題——探究共面向量定理. 在共面向量定理探究環(huán)節(jié)，必要性通過回顧平面向量基本定理就可解決，充分性則類比共面向量的作圖進(jìn)行驗(yàn)證，教學(xué)先易后難、循序漸進(jìn).

理解學(xué)生，即認(rèn)識(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維特征和認(rèn)知規(guī)律，了解學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、能力基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)難點(diǎn)知識(shí)的思維障礙等. 挖掘內(nèi)隱性課程資源，也需要考慮學(xué)生的思維水平，建構(gòu)緊扣教學(xué)目標(biāo)的、有的放矢的問題情境. 作為課堂的主體，學(xué)生的積極性和求知欲直接影響教學(xué)效率，案例充分考慮學(xué)生學(xué)情，挖掘符合學(xué)生認(rèn)知的資源，從共線向量、平面基本向量入手，設(shè)置有階梯且目標(biāo)明確的問題驅(qū)動(dòng)課堂，幫助學(xué)生理清知識(shí)的邏輯關(guān)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移. 當(dāng)然，從理解學(xué)生的角度挖掘內(nèi)隱性課程資源，還可以關(guān)注學(xué)生的興趣點(diǎn)、困惑點(diǎn)、頓悟點(diǎn)，挖掘課堂生成的意外點(diǎn)等資源，促進(jìn)學(xué)生多維思考，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

三、基于理解教學(xué)，把握教材重、難點(diǎn)，挖掘優(yōu)化教學(xué)方法的資源

希伯特將教學(xué)描述為“在課堂中圍繞內(nèi)容，并促進(jìn)學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成的師生、生生活動(dòng)”. 教學(xué)的任務(wù)是創(chuàng)造一個(gè)學(xué)生參與的環(huán)境來引發(fā)學(xué)生的思考，而不是直接將知識(shí)或方法灌輸給學(xué)生. 在一次公開課教學(xué)中，筆者聽了一節(jié)青年教師的新授課，教學(xué)流程如下.

案例3：拋物線的性質(zhì).

師：上節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，本節(jié)課我們來研究拋物線的幾何性質(zhì).

下面我們來學(xué)以致用，完成例題.

……

在不到5分鐘的性質(zhì)歸納之后，就是滿滿的課堂例題講解.

誠(chéng)然，在這位教師看來，填寫表格對(duì)學(xué)生而言沒有什么難度，所以教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)是例題的講解，即拋物線性質(zhì)的應(yīng)用. 其實(shí)不然，弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造，也就是通過學(xué)生自己的做數(shù)學(xué)活動(dòng)，把本來需要教師傳授的知識(shí)、需要浸潤(rùn)的觀念變?yōu)閷W(xué)生在活動(dòng)中自主生成、緘默感受的東西，這是一種自然、有效的學(xué)習(xí)方法. 因此，本課時(shí)教師的任務(wù)并不是將現(xiàn)成的結(jié)論灌輸給學(xué)生，而是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造的活動(dòng)，即讓學(xué)生參照橢圓或雙曲線的幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)拋物線的性質(zhì)進(jìn)行獨(dú)立探索.

筆者在與執(zhí)教教師交流溝通后，創(chuàng)設(shè)問題情境如下.

導(dǎo)入語(yǔ)：生活中處處有拋物線的身影，噴泉、拱橋、彩虹……就連大家喜歡的小游戲“憤怒的小鳥”中也存在拋物線的身影，想知道小鳥能否擊中小豬，就需要研究拋物線的有關(guān)性質(zhì).

問題1：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，如何探究拋物線的性質(zhì)？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答“通過類比橢圓的性質(zhì)探究了雙曲線的性質(zhì)，可以嘗試類比橢圓的性質(zhì)探究拋物線的性質(zhì)”. 教師給予鼓勵(lì)，并指明類比不僅是形式上的類比，也可以是探究方法和思維方式的類比.

問題2：以焦點(diǎn)在[x]軸上的橢圓為例，回憶橢圓性質(zhì)的探究過程.

師生活動(dòng)：學(xué)生回答并相互補(bǔ)充，完成對(duì)橢圓性質(zhì)的復(fù)習(xí)，包括范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性等. 教師適時(shí)追問.

追問1：如何得到[x]和[y]的取值范圍？

通過觀察幾何圖形和從代數(shù)角度計(jì)算可得.

追問2：如何得到頂點(diǎn)和對(duì)稱性？

問題3：以[y2=2px p>0]為例，從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度探究拋物線的性質(zhì).

【評(píng)析】通過充滿趣味的小游戲創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 在教學(xué)中著重滲透類比思想，抓住本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，即類比橢圓的性質(zhì)研究拋物線的性質(zhì)，鍛煉學(xué)生的歸納和推理能力. 特別地，在研究變量范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性的時(shí)候，要多問學(xué)生幾個(gè)“為什么”，讓學(xué)生不僅能從幾何圖形直觀感知拋物線的性質(zhì)，還要理解圓錐曲線幾何性質(zhì)的研究過程——幾何性質(zhì)代數(shù)化，形成用解析法研究幾何問題的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，促進(jìn)學(xué)生深度理解[x，y]的代數(shù)特征和幾何意義，進(jìn)行有效的思維固著.

理解教學(xué)，是指教師清楚教學(xué)的本質(zhì)與功能，掌握一定的教學(xué)方法和教學(xué)藝術(shù)，清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)的基本原則，能夠把教與學(xué)作為有機(jī)的、統(tǒng)一的、相互促進(jìn)的整體來處理.

例如，案例3中教學(xué)不應(yīng)該滿堂灌例題，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生先對(duì)拋物線的性質(zhì)進(jìn)行本質(zhì)探究，從而進(jìn)一步掌握用解析法來研究解析幾何，提升學(xué)生自主解決一般問題的能力. 基于理解教學(xué)，教師需要精心研究教材與教法，熟悉教學(xué)的重、難點(diǎn)，優(yōu)化教學(xué)方法，可以根據(jù)對(duì)內(nèi)隱性課程資源中素材性課程資源的理解，結(jié)合外顯條件性資源，構(gòu)建適合學(xué)生共同參與學(xué)習(xí)的課堂環(huán)境，通過不斷追問、質(zhì)疑、反思等途徑，幫助學(xué)生歸納學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)學(xué)生深層次思考，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是實(shí)施有效教學(xué)的根本保證. 基于“三個(gè)理解”，可以化隱性資源為顯性資源，并為挖掘內(nèi)隱性課程資源提供思路和一般方法，構(gòu)建促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的優(yōu)質(zhì)環(huán)境，促進(jìn)學(xué)生理解力、思考力、應(yīng)用力和創(chuàng)新力持續(xù)發(fā)展.

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