吳晶晶 高輝

摘? 要：實(shí)驗(yàn)展示Talbot效應(yīng)能夠加深學(xué)生對于周期性物體衍射現(xiàn)象的理解。然而通過實(shí)驗(yàn)平臺展示Talbot效應(yīng)的靈活性低，且學(xué)生參與度不高，不能保證每位學(xué)生都有動手操作的機(jī)會，不便于學(xué)生課后的創(chuàng)新性拓展?；贛atlab GUI搭建Talbot效應(yīng)仿真平臺，平臺操作的靈活性允許學(xué)生自行設(shè)計不同的周期性結(jié)構(gòu)并觀察其Talbot效應(yīng)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，讓學(xué)生在課后也能夠隨時開展對菲涅爾衍射以及Talbot效應(yīng)的觀察和研究。

關(guān)鍵詞：虛擬仿真? Talbot效應(yīng)? Matlab? 菲涅爾衍射

中圖分類號：O436.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-3791（2021）05（b）-0015-05

Abstract： The experiment shows that Talbot effect can deepen students' understanding of the diffraction phenomenon of periodic objects. However， the experimental platform shows that the flexibility of Talbot effect is low， and the participation of students is not high. It can not ensure that every student has the opportunity to operate， which is not convenient for students' innovative development after class. The Talbot effect simulation platform is built based on Matlab GUI. The flexibility of platform operation allows students to design different periodic structures and observe their Talbot effect， stimulate students' creative thinking， and enable students to observe and study Fresnel diffraction and Talbot effect at any time after class.

Key Words： Virtual simulation; Talbot effect; Matlab; Fresnel diffraction

Talbot效應(yīng)，又稱為衍射自成像效應(yīng)，是傅里葉光學(xué)中一個非常有趣的現(xiàn)象。1830年Talbot發(fā)現(xiàn)：用單色平面波垂直照射一個周期性物體時，在物體后面周期性距離上會出現(xiàn)物體的像，這種自成像的現(xiàn)象就稱為Talbot效應(yīng)[1]。Talbot效應(yīng)自成像的現(xiàn)象是通過光的衍射實(shí)現(xiàn)的，而不是通過透鏡實(shí)現(xiàn)的[2]，在光刻、光學(xué)測量等領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用[3-4]。在大學(xué)物理教材中的信息光學(xué)的章節(jié)通常會介紹Talbot效應(yīng)。在基礎(chǔ)物理課堂上，教師如果能夠更加直觀地展示這一衍射現(xiàn)象，而不是停留在書本介紹，不但能夠加深學(xué)生的理解，還能開闊學(xué)生的視野，引起學(xué)生對科學(xué)研究的興趣。

然而，如果是直接搭建光路來展示Talbot效應(yīng)，存在3個問題：（1）Talbot效應(yīng)是對周期性物體的自成像效應(yīng)，在實(shí)驗(yàn)中無法獲得任意大小、任意周期的周期性物體，降低了實(shí)驗(yàn)的靈活性;（2）單純的老師展示并不能提高學(xué)生的積極性，學(xué)生的參與感不夠強(qiáng);（3）課后沒有實(shí)驗(yàn)儀器，不便于學(xué)生的復(fù)習(xí)或者創(chuàng)新性應(yīng)用[5]。作為教師，不但要直觀地展示這一現(xiàn)象，還要讓每一位學(xué)生都能夠參與進(jìn)來，給予學(xué)生充分自由選擇的空間。

Matlab軟件具有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)運(yùn)算處理能力，能夠快速高效地模擬光波衍射現(xiàn)象，同時，Matlab還支持面向用戶的GUI圖形界面設(shè)計，能夠?yàn)橛脩籼峁┹p松的人機(jī)交互途徑[6]。該文利用Matlab設(shè)計GUI，使得學(xué)生能夠選擇不同結(jié)構(gòu)的周期性光柵或者周期性物體，計算出對應(yīng)的Talbot距離（自成像距離），利用菲涅爾積分計算并觀察在不同衍射距離下的衍射圖形[7]。這一功能不但為學(xué)生提供了更加靈活可選擇的范圍，更直觀地展示Talbot效應(yīng)，加深學(xué)生對衍射現(xiàn)象的理解，還能讓每一位學(xué)生都能參與到實(shí)驗(yàn)中，達(dá)到較好的教學(xué)效果。

1? Talbot效應(yīng)基本原理

當(dāng)一束相干光照射一個具有周期結(jié)構(gòu)的物體，在它的Talbot距離處會衍射得到精確的自成像，這個距離定義為：

式中，d為物體的周期;λ為入射光波長。這就是Talbot效應(yīng)。周期為d的一維周期性物體可以看作是頻率取離散值（n/d，0）的無窮多個平面波分量的線性疊加，其復(fù)振幅為：

式中，cn表示各平面波分量的相對振幅和位相分布。當(dāng)平面波照射物體時，物體后表面的光場分布就是g（x）。這一光場衍射距離z后，其衍射場可以通過菲涅爾衍射理論計算得到。這里從頻率域進(jìn)行分析。物場的空間頻譜為：

根據(jù)菲涅爾衍射理論，g（x）在z距離處的衍射場分布的頻譜為：

因此，在ZT的整數(shù)倍距離上可以觀察到物體的像。當(dāng)距離z為ZT的分?jǐn)?shù)倍時，觀察到的就是分?jǐn)?shù)Talbot效應(yīng)，其強(qiáng)度分布通常為原物體結(jié)構(gòu)的周期和位移發(fā)生變化后的結(jié)果[8-9]。

另外，Talbot效應(yīng)并不局限于光柵結(jié)構(gòu)，對于任意周期性結(jié)構(gòu)都存在Talbot效應(yīng)。因此，該平臺需要能夠允許用戶自定義周期性結(jié)構(gòu)，并觀察其衍射結(jié)果。

2? Matlab GUI模擬Talbot效應(yīng)

該文利用Matlab的GUI技術(shù)實(shí)現(xiàn)的主要功能有3項(xiàng)：（1）對方形光柵結(jié)構(gòu)的Talbot效應(yīng);（2）對自定義周期結(jié)構(gòu)的Talbot效應(yīng);（3）對任意圖像的菲涅爾衍射計算。下面分別進(jìn)行介紹。

2.1 方形光柵結(jié)構(gòu)的Talbot效應(yīng)

以二維光柵為例來驗(yàn)證Talbot效應(yīng)以及分?jǐn)?shù)Talbot效應(yīng)。圖1（a）中的二值方形光柵大小為256×256像素，單個周期大小為32×32像素，每個像素為0.125 μm，在x方向和y方向的占空比都為1/2，波長為0.8 μm。圖1（a）在ZT處的衍射強(qiáng)度圖像詳情見圖1（b）所示，與光柵本身完全相同。而根據(jù)分?jǐn)?shù)Talbot效應(yīng)，周期物體在分?jǐn)?shù)Talbot距離處得到的菲涅爾衍射強(qiáng)度分布是物體本身經(jīng)過平移后的疊加的結(jié)果。圖1（c）和圖1（d）顯示了圖1（a）經(jīng)過ZT/2和ZT/4距離的衍射強(qiáng)度分布。可以看到，當(dāng)物體占空比為1/4時，物體在ZT/4處的菲涅爾衍射強(qiáng)度分布就是均勻分布。

為了讓學(xué)生更好地理解Talbot效應(yīng)以及更方便地模擬操作，第一個菜單的圖形面板見圖2。其中M和N表示物體整體的長度和寬度，dx和dy表示結(jié)構(gòu)在x和y方向的周期，wx和wy表示一個光柵一個周期內(nèi)透光部分的x方向和y方? 向的大小。上述參數(shù)都是以像素為單位。“尺寸/像素（μm）”表示每個像素的尺寸，單位為μm?！安ㄩL（μm）”表示光源的波長。

操作面板分為4個功能，第一個功能是生成物體圖形。根據(jù)輸入的光柵結(jié)構(gòu)參數(shù)，點(diǎn)擊“1.生成物體圖形”按鈕生成物體結(jié)構(gòu)，并將物體圖形顯示在第一個圖形框中。第二個功能是計算Talbot距離，點(diǎn)擊“2.計算Talbot距離=”按鈕，ZT=2d2/λ的計算結(jié)果就會顯示在按鈕后的文本框中。第三個功能是進(jìn)行衍射運(yùn)算。先將衍射距離輸入到文本框中，隨后點(diǎn)擊“3.衍射運(yùn)算”按鈕，在用戶所設(shè)置距離處的衍射強(qiáng)度圖像會顯示在第二個圖形框中。這里用戶可以設(shè)置衍射距離為ZT的分?jǐn)?shù)倍和整數(shù)倍，來觀察衍射圖像的變化和規(guī)律。第四個功能是可以設(shè)置一個軸向的衍射距離范圍，點(diǎn)擊“4.軸向截面”按鈕，會將所設(shè)置的距離范圍內(nèi)的衍射圖像橫截面顯示在第三個圖形框中，以方便學(xué)生更加直觀地觀察Talbot效應(yīng)的規(guī)律。3個圖形框下方有“查看/操作”按鈕，可以對圖像進(jìn)行保存和后續(xù)處理。

2.2 自定義結(jié)構(gòu)的Talbot效應(yīng)

任意結(jié)構(gòu)的周期性物體也存在Talbot效應(yīng)，對任意結(jié)構(gòu)的周期性物體Talbot效應(yīng)的研究不但能促進(jìn)學(xué)生研究的積極性，還能激發(fā)出更多的創(chuàng)造性思想。圖3（a）為周期性的字母排列物體，大小為256×256像素，單個周期為64×64像素，其他參數(shù)與圖1相同。圖3（b）-3（e）分別為ZT/8、ZT/4、ZT/2和ZT處的衍射強(qiáng)度分布。

第二個菜單的圖形面板見圖4，大部分按鍵與圖2相同，區(qū)別在于結(jié)構(gòu)參數(shù)部分。這一部分可以讓學(xué)生用戶自定義選擇電腦中的圖片作為周期性結(jié)構(gòu)。通過面板上的“自定義圖形……”按鈕，可以打開文件夾選擇電腦中任意圖像作為結(jié)構(gòu)，并將圖像顯示在按鈕右側(cè)。操作部分的按鈕與圖2中的功能相同。學(xué)生可以自由地選擇和制作不同圖案作為結(jié)構(gòu)，然后設(shè)置不同的尺寸和周期，從而制作感興趣的周期性物體，并驗(yàn)證和觀察其Talbot效應(yīng)。這一部分的功能為學(xué)生在課堂和課后對Talbot效應(yīng)的拓展性應(yīng)用提供了自由的平臺。

2.3 對任意圖像的菲涅爾衍射

第三個菜單的功能屬于附加功能。光的菲涅爾衍射理論在波動光學(xué)中是非常重要的理論，需要學(xué)生能夠深入理解。在實(shí)際的光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，如果想要觀察任意圖形的菲涅爾衍射，通常需要借助空間光調(diào)制器等價格較貴的設(shè)備，并且很難為每一位學(xué)生提供操作機(jī)會。對菲涅爾衍射的仿真實(shí)驗(yàn)的需求較高。因此，在第三部分附加了如圖5所示的面板。學(xué)生可以通過“選擇二值/灰度圖形……”按鈕選擇電腦中的任意圖片，并顯示到第一個圖形框中。設(shè)置不同的衍射參數(shù)后，點(diǎn)擊“顯示衍射強(qiáng)度圖像”按鈕，就可以得到菲涅爾衍射結(jié)果。

3? 結(jié)語

隨著計算機(jī)軟件、硬件的發(fā)展，計算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)平臺的功能越來越全面。利用Matlab GUI功能搭建的Talbot效應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn)平臺能夠?yàn)閷W(xué)生提供非常簡單易懂的操作界面、靈活多變的功能、正確可靠的運(yùn)算結(jié)果，不但能夠激發(fā)學(xué)生的動手積極性，還能拓寬學(xué)生的知識面，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造能力，并為學(xué)生自主科研提供了平臺。

參考文獻(xiàn)

[1] 呂乃光.傅里葉光學(xué)[M].2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006：90-93.

[2] 黃高坤.二維柵格泰伯效應(yīng)的理論和實(shí)驗(yàn)研究[D].西南大學(xué)，2019.

[3] 尹東旭，周素梅，謝意木男.球面波入射二維光柵的泰伯效應(yīng)[J/OL].激光與光電子學(xué)進(jìn)展：1-11[2021-07-06].https：//www.kns.cnki.net/kcms/detail/31.1690.TN.20210113.1053.006.html.

[4] 徐星.基于二維柵格的泰伯—莫爾效應(yīng)的微小角度測量的理論和實(shí)驗(yàn)研究[D].西南大學(xué)，2020.

[5] 袁霞.Talbot效應(yīng)探究實(shí)驗(yàn)設(shè)計[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2019，32（1）：80-83.

[6] 謝根，蘇艷麗，王小平，等.MATLAB GUI在普通物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2019，32（4）：72-75.

[7] Kotov M M，Danko V P，Goloborodko A A. Simulation of Talbot Effect from a Binary Phase Grating using Fresnel Integral Approach[J].Optics and Lasers in Engineering，2021，137：106400.

[8] Morozov A N，Salbieva L R，Skuibina B G，et al.Observation of the High-Order Fractional Talbot Effect in the Optical Range[J].Optics and Laser Physics，2018，7（6）：368-370.

[9] Yang R，Xue Z，SHI Z Y，et al.Scalable Talbot Effect of Periodic Array Objects[J].Chinese Optics Letters，2020，18（3）：030501.