王成志

(集美大學(xué)海洋裝備與機械工程學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

機構(gòu)自由度分析是機構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計的首要前提。隨著機構(gòu)朝復(fù)雜空間多閉環(huán)方向發(fā)展，傳統(tǒng)自由度計算公式已不通用[1-7]，尋找自由度通用分析公式或方法又重新成為機構(gòu)學(xué)研究的熱點，近20年來不斷有學(xué)者提出新方法、新公式[7-12]。其中一些借助李代數(shù)[13-14]、線性變換[15]、螺旋理論[2,6]等數(shù)學(xué)工具的方法，科學(xué)、嚴謹、系統(tǒng)且通用，但要列出給定位置運動約束方程并求秩[3]，理論晦澀、過程復(fù)雜，難以快速計算，不利普遍推廣。例如，螺旋理論法中，難以通過簡單觀察判斷多數(shù)運動螺旋集及約束螺旋集的線性相關(guān)性并求出秩數(shù)，手工求解，即使輔以通用軟件計算，計算過程依然繁雜，加上像螺旋理論這樣的數(shù)學(xué)方法計算得到的自由度有的會隨位型變化[6]，需要多次計算才能判定其瞬時性。所以，將自由度分析計算過程計算機化、自動化具有重要意義。目前自由度自動計算的研究比較少，文獻[16]提出用符號描述并聯(lián)機構(gòu)。另外，局部自由度在機構(gòu)中普遍存在，機構(gòu)自由度的正確分析計算有助于更詳細分析機構(gòu)的運動性質(zhì)。目前多以經(jīng)驗觀察判斷局部自由度[17]，文獻[2,14]則分別提出了機構(gòu)存在局部自由度的基于螺旋理論、李代數(shù)的分析方法，文獻[18]則用桿組運動參數(shù)分析了桿組內(nèi)存在的局部自由度，但這些理論方法只適用并聯(lián)機構(gòu)。

螺旋理論中的單位螺旋中含有的6個Plücker坐標可以表達機構(gòu)的運動、約束，且螺旋集數(shù)學(xué)計算規(guī)范。本文基于該理論，利用Matlab編寫了單環(huán)機構(gòu)和多環(huán)并聯(lián)機構(gòu)的自由度自動分析計算程序，分析了機構(gòu)中過約束的Matlab算法，提出了適用于包括單環(huán)、多環(huán)機構(gòu)在內(nèi)的平面、空間機構(gòu)的局部自由度判斷準則。

1 機構(gòu)自由度程序自動分析計算

對于并聯(lián)機構(gòu)，文獻[2]修正了傳統(tǒng)的Grübler-Kutzbach公式(準則)，給出了通用的機構(gòu)自由度計算公式：

(1)

式中：n為機構(gòu)中活動構(gòu)件數(shù)目；g為運動副的數(shù)目；fi為第i個運動副的自由度；λ為機構(gòu)的公共約束數(shù)(階數(shù)d=6-λ)；ν為冗余約束數(shù)；ξ為局部自由度數(shù)。

g和fi按輸入運動副類型自動計算，而活動構(gòu)件數(shù)為：n=g-1(單閉環(huán))；n=g-l+1(多閉環(huán))。式中：l為分支數(shù)。此式僅適用于一個構(gòu)件僅連接2個運動副時的情形。

顯然，計算自由度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是計算機構(gòu)的3個參數(shù)：λ、ν和ξ，可以通過螺旋理論根據(jù)機構(gòu)運動副所含有的運動信息求出約束信息，從而求出該3個參數(shù)。

1.1 運動副螺旋及基本參數(shù)

單自由度運動副的單位運動螺旋定義(Plücker坐標)為：

$=(s；s0)=(s；r×s+hs)=(l，m，n;P,Q,R)。

(2)

式中：s為螺旋軸線方向的單位矢量；l、m、n為s的3個方向余弦；s0為螺旋的對偶部矢量，s0=(P，Q，R)；r=(x,y,z)是螺旋軸線上任意一點的位置矢量，x、y、z是該點的直角坐標值；h是節(jié)距；P、Q、R是對偶部矢量的3個分量。

可用不同節(jié)距代表不同的單自由度運動副：h=0是轉(zhuǎn)動副R，h=∞是移動副P，h=Const(Const為不等于零的常數(shù))是螺旋副H。

根據(jù)式(2)，可以按“軸線及位置矢量”或“Plücker坐標”兩種方式輸入螺旋信息，程序界面如圖1。

表1列出了常見運動副按“軸線及位置矢量”方式的輸入?yún)?shù)。

表1 常用運動副輸入?yún)?shù)及螺旋表示

其中，球副S和平面副E僅輸入相互不平行的2條螺旋軸線矢量s1、s2(并不要求正交)，然后程序自動求出與該2條軸線正交的第三條螺旋軸線s3。本程序已經(jīng)解決了Matlab須先定義字符變量再使用的傳統(tǒng)方法，可在圖1界面中的螺旋軸線矢量、軸線上坐標點或Plücker坐標輸入框中輸入由任意字母和數(shù)字組合的字符變量，及由變量和“+、-、*、/”運算符號，甚至正弦、余弦等三角函數(shù)組成的簡單表達式，真正做到基于字符變量的自由度計算機自動分析計算。

文獻[2,6]等提倡盡量多的用0、1表達螺旋坐標元素，但如此輸入會弱化運動螺旋模型中所蘊含的部分運動信息。為了正確自動分析局部自由度，輸入?yún)?shù)時還要注意以下規(guī)則。

1)多環(huán)機構(gòu)的分支中存在兩S副及局部轉(zhuǎn)動自由度。多環(huán)機構(gòu)中，位置坐標都取各自球心，而用(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)的3條正交軸代表其等效轉(zhuǎn)動軸；在單環(huán)機構(gòu)中則要以兩球心連線作為兩S副各自的1條螺旋軸線，見表2中的(S…S)結(jié)構(gòu)形式的sA1和sB1。

表2 單環(huán)機構(gòu)中存在局部自由度的8種結(jié)構(gòu)組合形式Tab.2 Eight kinds of configurations containing passivedegree of freedom in single loop mechanisms單環(huán)結(jié)構(gòu)組成Compositions in Single Loop結(jié)構(gòu)特點Features of Compositions1)2)3)4)ABsAsBS…SABsAsBR…SABsAsBC…SABsAsBR…R1111存在兩R副軸線同軸(節(jié)距等于零)Axes of two R pairs are coaxial(pitch equal to ze-ro)$A1×$B1=0$A×$B1=0$A×$B=05)AsABsBhBhAH…H存在兩H副軸線同軸且節(jié)距相等Axes of two H Pairs are coaxial and their pit-ches are equal to each other$A×$B=0且(and)hA=hBABP…PsAsBC…CC…PABsAsBABsAsB6)7)8)存在兩P副的導(dǎo)路矢量相互平行Axes of two P pairs are parallel to each othersA×sB=0 說明Note:A、B等表示運動副上的點,下同Italicized capital letters A,B,etc.indicate the points on the kinematic pair,the same below

2)分支(含單環(huán))中存在R副/C副，且其回轉(zhuǎn)軸線確實指向同一分支中S副的球心，則存在局部轉(zhuǎn)動自由度。故R副/C副螺旋軸線上的位置坐標取球副中心坐標，而S副中取1條螺旋軸線等于R副/C副的螺旋軸線，見表2中的(R…S)和(C…S)結(jié)構(gòu)形式的sB1=sA；按“Plücker坐標”輸入時，則球副有1螺旋與R副/C副的1螺旋相同。

3)對平面副E，若分支中同時存在其他運動副，并且該運動副含有與平面平行的P副，則該分支有局部移動自由度；若分支中同時存在其他運動副，且該運動副含有與該平面垂直的R副，則該分支有局部轉(zhuǎn)動自由度。故前者要注意將E副中的移動導(dǎo)路矢量方向處理成與相關(guān)P副導(dǎo)路矢量方向平行；后者則要將E副含有的轉(zhuǎn)動軸處理成與相關(guān)R副同軸。點、線接觸的高副處理方式類似。例如，滾子推桿凸輪機構(gòu)中高副等效于R、P副，其中的R副軸線要處理成與滾子轉(zhuǎn)動副同軸。

此外，雖然螺旋系的相關(guān)性與坐標系選擇無關(guān)[2]，但若是對稱并聯(lián)機構(gòu)，因運動螺旋需合并在一起分析，故若按分支局部坐標系輸入?yún)?shù)，要給出局部坐標與全局坐標的轉(zhuǎn)動關(guān)系，程序會在合并為動平臺的運動螺旋集S前先進行螺旋坐標變換?？傊嬎憔植孔杂啥葧r，應(yīng)輸入更符合實際運動副運動狀態(tài)的模型。1.2由Plücker坐標反求位置矢量及節(jié)距

假設(shè)坐標系原點向螺旋軸線所作垂線的垂足位置矢量為r=(rx,ry,rz)，因兩正交矢量數(shù)量積為零[19]，有：

s·rT=0。

(3)

已知螺旋的Plücker坐標時，式(2)和式(3)組成的線性方程組有4個標量方程，4個變量rx、ry、rz和h，故可求出r(垂足點)和節(jié)距h。注意，反求得到的r將不同于原來的設(shè)定，故給“新建機構(gòu)”界面設(shè)定好選擇輸入方式后不再改變。

1.3 運動螺旋集和約束螺旋集

設(shè)$ji為第j個分支中第i個運動副的運動螺旋，則分支j中所有運動螺旋所組成的螺旋集(所有螺旋相加，可含重復(fù)螺旋)就是該分支的運動螺旋集，寫成矩陣：Sj=[$j1；$j2；…]。將機構(gòu)所有分支的運動螺旋集合并，構(gòu)成了機構(gòu)運動螺旋集S。Sj和S都可能線性相關(guān)。

1.4 局部自由度分析計算

一個并聯(lián)機構(gòu)的一條分支串聯(lián)鏈中，如有4個轉(zhuǎn)動副軸線平行，則形成局部自由度[2]。但若同樣由這4個軸線平行的轉(zhuǎn)動副組成單環(huán)機構(gòu)(這時是平面四連桿機構(gòu))，其運動螺旋系肯定線性相關(guān)(單環(huán)機構(gòu)的運動螺旋集必線性相關(guān)，否則是不能相互運動的桁架)，此時機構(gòu)自由度為1，而不存在局部自由度。所以，“局部運動螺旋系Sj線性相關(guān)則存在局部自由度”的準則只適用于多環(huán)機構(gòu)，單環(huán)機構(gòu)的判定條件要修正。這個例子也說明，如果將自由度(含局部自由度)≥1的單環(huán)機構(gòu)作為多環(huán)并聯(lián)機構(gòu)的一個分支，則該分支必然是線性相關(guān)的，即該分支存在局部自由度。

另外，不同類型的多自由度運動副之間可以具有局部自由度，但是要將多自由度運動副等效為單自由度的運動副后，同類型的單自由度運動副之間才可能存在局部自由度。即，R副、P副和H副(包括等效復(fù)合副中的R副和P副，下同)相互之間不可能產(chǎn)生局部自由度，只有同樣的R副之間、H副之間才可能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動局部自由度，同樣的P副之間才可能產(chǎn)生移動局部自由度。螺旋副H理論上來說也是R、P復(fù)合副，但H副本身含有的位移信息及轉(zhuǎn)動信息綜合在了1個螺旋中，它們與其他P副的位移信息及其他R副的轉(zhuǎn)動信息都不相同?；蛘哒f，H副不可能與其它類型的運動副形成移動或轉(zhuǎn)動局部自由度，但不同位置的H副之間可能存在轉(zhuǎn)動局部自由度。推論：多個(≥2)有相同節(jié)距的螺旋之間才存在局部自由度，不同節(jié)距螺旋之間不存在局部自由度。

1.4.1 多環(huán)機構(gòu)

多環(huán)機構(gòu)分支中存在局部自由度的充要條件：分支中存在多個(≥2)有相同節(jié)距的螺旋，且分支中的運動螺旋集線性相關(guān)。注意：

1)局部相對運動的兩構(gòu)件可以是鄰近的兩構(gòu)件，也可以是分支中距離較遠的兩構(gòu)件，即，這種“局部”涵蓋到整個分支。

2)分支中局部自由度數(shù)：

ξj=size(Sj,1)-rank(Sj)。

(4)

其中：rank(Si)是Matlab求矩陣Si的秩數(shù)的函數(shù)；size(Si,1)是求Si行數(shù)的函數(shù)。

3)運動螺旋集線性相關(guān)就表明有相同節(jié)距的螺旋，這里增加該條件是為了便于觀察。多環(huán)機構(gòu)分支中線性相關(guān)的螺旋幾何特征比較復(fù)雜，例如，2個轉(zhuǎn)動螺旋共軸且等節(jié)距、2個移動副導(dǎo)路平行、3個以上轉(zhuǎn)動軸平行等組成的螺旋系都是線性相關(guān)的。更多的幾何條件可參考文獻[2]，可用式(4)求得ξj>0，則表示運動螺旋集線性相關(guān)。

1.4.2 單環(huán)機構(gòu)

單環(huán)機構(gòu)分支中存在局部自由度的充要條件：機構(gòu)中存在兩個有相同節(jié)距的螺旋，且各自P副的導(dǎo)路矢量相互平行，或各自非P副(h=Const或h=∞)螺旋同軸。注意：

1)若單環(huán)機構(gòu)中一個運動副與多個運動副可能都滿足相同的局部自由度存在條件，則滿足相同條件的運動副中只有2個運動副產(chǎn)生同性質(zhì)(相對轉(zhuǎn)動或移動)的局部自由度。一般根據(jù)最小阻力定律判定局部自由度發(fā)生位置，本文規(guī)定該運動副僅與符合條件最近的運動副之間存在1個局部自由度。單環(huán)機構(gòu)中可能存在多個不同性質(zhì)，或者同性質(zhì)但不同條件的局部自由度。

2)表2列出了單環(huán)機構(gòu)中兩運動副存在局部自由度的8種典型結(jié)構(gòu)組合形式。

編程用到兩個重要關(guān)系：兩矢量叉乘等于0矢量時表示兩矢量或兩螺旋相互平行，而兩螺旋的叉積(旋量積)等于0螺旋時表示兩螺旋共線。兩螺旋的叉積定義為：

(5)

1.5 過約束分析計算

1.5.1 公共約束數(shù)λ計算

1.5.2 冗余約束數(shù)ν計算

(6)

文獻[2,17]給出的冗余約束數(shù)公式是

(7)

顯然，式(6)和式(7)的內(nèi)涵都是指與其他約束線性相關(guān)的冗余約束數(shù)，沒有差別。兩式也適用于單閉環(huán)機構(gòu)，當然，ν是多分支并聯(lián)而產(chǎn)生的，單閉環(huán)的ν為零。

1.6 二次反螺旋及應(yīng)用

若求出Sr中線性無關(guān)的一組集sr，再次求反螺旋，則得到二次反螺旋srr。對并聯(lián)機構(gòu)，srr表示動平臺的運動可能性，對應(yīng)矩陣的行數(shù)就是動平臺的自由度；對單閉環(huán)或開環(huán)機構(gòu)，srr代表末桿(拆架后的機架或開環(huán)的末桿)的運動螺旋，其行數(shù)為末桿的自由度數(shù)或機構(gòu)階數(shù)。

注意，若用null函數(shù)求得二次反螺旋srr=[ ]，要根據(jù)末桿(動平臺)是無約束的自由狀態(tài)還是全約束不能動兩種情況來調(diào)整srr，即：

式中：rref是Matlab的簡化列梯形矩陣函數(shù)。

此外，對于分支含閉環(huán)的并聯(lián)機構(gòu)，如Delta機構(gòu)[2,8,17]，可以先分析分支閉環(huán)中假設(shè)為動平臺的運動螺旋系srr，觀察或用式(2)和式(3)組成的線性方程組求出對應(yīng)的螺旋軸線矢量及軸線上特定點位置矢量，然后將機構(gòu)中的分支閉環(huán)用等效運動副螺旋替換(若按“Plücker坐標”方式輸入機構(gòu)運動副信息時，分支閉環(huán)直接用相應(yīng)srr等效替換即可)，則可分析這類機構(gòu)自由度。

2 實例分析

用本程序分析了平面、空間、單環(huán)及多環(huán)等各類機構(gòu)的自由度，計算結(jié)果完全正確，且絕大多數(shù)機構(gòu)的計算效率非常高。以下舉例說明判定機構(gòu)局部自由度的方法及過程。

2.1 麥弗遜(MacPherson)式轉(zhuǎn)向懸架

圖1界面中的機構(gòu)是麥弗遜轉(zhuǎn)向懸架[19]，不考慮車輪轉(zhuǎn)動，該多環(huán)機構(gòu)就是一個以轉(zhuǎn)向節(jié)DBC為動平臺的并聯(lián)機構(gòu)，三個分支分別為GEC(運動副類型分別為P、S、S)、AD(S、C)、FB(R、S)。在轉(zhuǎn)向器齒條左右對稱位置上建立如圖1所示全局坐標系，則根據(jù)前面參數(shù)輸入規(guī)則，C、E、B位置球副的2條特征回轉(zhuǎn)軸線取簡單的0、1元素，但A處球副的1條特征回轉(zhuǎn)軸線要按表2的C…S結(jié)構(gòu)形式輸入，即各運動副的特征回轉(zhuǎn)軸線方向分別為：

sG=(0,1,0)；sE1=sC1=(1,0,0);sE2=sC2=(0,1,0)；sA1=sD=(l,m,n);sA2=(1,0,0)；

sB1=(0,0,1);sB2=(0,1,0);sF=(1,0,0)；

輸入上述螺旋軸線矢量方向及各運動副位置矢量，可求出3個分支各運動副的運動螺旋。

GEC分支：

AD分支：

FB分支：

故各分支運動螺旋集：

SGEC=($G;$E1;$E2;$E3;$C1;$C2;$C3);SAD=($A1;$A2;$A3;$D1;$D2);SFB=($F;$B1;$B2;$B3)。

這里Matlab直接用運動副坐標的字符變量計算，得出各運動螺旋及反螺旋，涉及的變量雖然多，但不計軸線矢量和位置矢量的輸入時間，程序分析過程耗時約1.2 s，這是手工計算難以達到的。

2.2 空間轉(zhuǎn)向梯形機構(gòu)

RSSR空間轉(zhuǎn)向梯形機構(gòu)簡圖如圖2所示。其中：A、D處為轉(zhuǎn)動副，B、C處為球副。該機構(gòu)有8個運動螺旋，按參數(shù)輸入規(guī)則，得到兩球副中各有一條運動螺旋分別為：

$B1=(Δx,Δy,Δz;yBΔz-zBΔy,zBΔx-xBΔz,xBΔy-yBΔx)；

$C1=(Δx,Δy,Δz;yCΔz-zCΔy,zCΔx-xCΔz,xCΔy-yCΔx)。

式中：Δx=xC-xB；Δy=yC-yB；Δz=zC-zB。

這是單環(huán)機構(gòu)，$B1×$C1=0，且hB1=hC1=0，因此兩個球副之間有一個轉(zhuǎn)動局部自由度，即ξ=1，而M=1。若選BC桿為動平臺，機構(gòu)就相當于有兩個分支(2-RS)的并聯(lián)機構(gòu)，兩個球副在不同的分支中，此時無法判定其存在局部自由度，所以ξ=0，但M=2。實際上，這是因為B、C球副之間的構(gòu)件是輸出構(gòu)件，其產(chǎn)生的繞自身軸線的轉(zhuǎn)動自然計入到了輸出構(gòu)件的自由度中。這也說明對含有局部自由度的機構(gòu)，用式(1)計算的自由度數(shù)與輸出構(gòu)件選擇有關(guān)?；蛘甙次墨I[20]的觀點，該機構(gòu)的自由度是2，名義自由度是1。

本例中，若不以兩球心連線作為兩球副的一條轉(zhuǎn)動軸線，而是用sB1=sC1=(l,m,n)計算運動螺旋，則得到機構(gòu)的運動螺旋集維數(shù)是8，秩是6，所以M=2，也無法判定局部自由度。

2.3 雙螺旋機構(gòu)

如圖3機構(gòu)中，由3個構(gòu)件和3個運動副組成，其中A、B處各有1個螺旋副，C處1個移動副。3個運動螺旋分別為：

其反螺旋有4個(略)，λ=4，ν=0。根據(jù)其結(jié)構(gòu)$A×$B=0，即兩運動螺旋滿足同軸條件。按兩種情形討論：

1)當hA≠hB時，上述3個運動螺旋線性相關(guān)(秩為2)，但并不存在局部自由度，可求得ξ=0，M=1，這與文獻[2]結(jié)果相同。

2)若hA=hB(螺旋同向)時，3個運動螺旋線性相關(guān)，秩也仍然為2，本文程序最后求得ξ=1，M=0。因為依據(jù)表2，這種情形下有一個局部轉(zhuǎn)動自由度，表明這時構(gòu)件1的轉(zhuǎn)動僅是構(gòu)件1的螺旋轉(zhuǎn)動，并沒有帶動構(gòu)件2產(chǎn)生相對機架3的移動。文獻[2]沒有分析這一情形。這個例子表明，單環(huán)機構(gòu)不能單用“運動螺旋系線性相關(guān)”來判定局部自由度，單環(huán)機構(gòu)中運動螺旋集線性相關(guān)只是表明其部分或全部構(gòu)件可動。

另外，如果將2個螺旋副都等效為RP副，按情形(2)分析，會錯誤判斷出存在3個局部自由度，故而不能將螺旋副H等效為RP副。

2.4 凸輪機構(gòu)

圖4凸輪機構(gòu)也屬于單環(huán)機構(gòu)，由于高副可以用RP等效(螺旋分別用$BP和$BR表示)，這個機構(gòu)相當于是RRPRP單閉環(huán)機構(gòu)，其5個運動螺旋為：

其中：$BP=$C，有$BR×$C=0，機構(gòu)有3個反螺旋(略)，最后求出λ=3，ν=0，ξ=1，M=1，與實際情況相符。當然這時求出的活動構(gòu)件數(shù)n=4，它是在高副低代時增加了一個虛擬桿造成的。當機構(gòu)中含有沒列在表1中的等效復(fù)合運動副時，計算得到的活動構(gòu)件數(shù)n大于實際構(gòu)件數(shù)，此時的n僅僅是作為計算的參考。

2.5 RRFRC機構(gòu)

RRFRC機構(gòu)簡圖見圖5。其中：C處是平面副；E處是圓柱副；其余是轉(zhuǎn)動副。各運動副螺旋軸線為：

sA=(1,0,0)；sB=(a,b,c)；sC1=(lC1,mC1,nC1)；sC2=(lC2,mC2,nC2)；

sD=(e,f,g)；sE=(0,1,0)

式中：sC1、sC2是平面副上兩不平行的矢量，則可以獲得由8個螺旋組成的螺旋集，秩為6，ξ=0，M=2。但若機構(gòu)運動到某個位置瞬間，平面副與y軸平行，即：sC2=(0,1,0)，則螺旋集的維數(shù)及秩數(shù)不變，但sC2×sE=0，這時不同構(gòu)件的C、E兩點之間產(chǎn)生瞬時局部自由度，即：ξ=1，M=1。

3 結(jié)論

本文利用Matlab提供的強大字符變量、矩陣處理能力，編寫了基于螺旋理論的機構(gòu)自由度自動分析計算程序。程序可在矢量或坐標輸入框處輸入任意字母、數(shù)字和簡單三角函數(shù)等組成的表達式，使運動螺旋模型更符合實際情況，也便于局部自由度的自動分析計算。與手工計算相比，分析計算效率更高效?？偨Y(jié)得到以下結(jié)論：1)分支中運動螺旋系線性相關(guān)存在局部自由度的判斷準則只適用于多環(huán)機構(gòu)。單環(huán)機構(gòu)中兩副之間存在局部移動自由度的充要條件是：存在兩個h=∞的螺旋導(dǎo)路矢量相互平行；或者，分支中存在0