白婧 關(guān)富榮 唐國寧

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 桂林 541004)

(廣西師范大學(xué), 廣西核物理與核技術(shù)重點實驗室, 桂林 541004)

在大腦皮層中, 神經(jīng)元大范圍的同步放電可以引發(fā)癲癇, 而癲癇發(fā)作期間可以自發(fā)出現(xiàn)螺旋波, 大量神經(jīng)元的同步放電與螺旋波自發(fā)產(chǎn)生之間的關(guān)系目前仍不清楚.本文通過增加水平長程連接構(gòu)造了具有局域長程耦合區(qū)的二維神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò), 采用Morris-Lecar神經(jīng)元模型研究了具有多個長方形長程耦合區(qū)的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中波的傳播, 數(shù)值模擬結(jié)果表明: 傳播方向與長程耦合朝向平行的平面波和靶波經(jīng)過長程耦合區(qū)會導(dǎo)致長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元同步激發(fā), 這種同步激發(fā)伴隨一部分神經(jīng)元延遲激發(fā), 而另一部分提前激發(fā); 當(dāng)長程耦合區(qū)寬度超過臨界寬度時, 長程耦合區(qū)所有神經(jīng)元延遲激發(fā); 當(dāng)長程耦合區(qū)寬度超過最大導(dǎo)通寬度時, 波將不能通過長程耦合區(qū).當(dāng)適當(dāng)選擇長方形長程耦合區(qū)的尺寸時, 神經(jīng)元同步激發(fā)可使網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)波回傳效應(yīng)和具有波傳播方向的選擇性, 而且這種波傳播方向的選擇性對神經(jīng)元是否處于定態(tài)和耦合強度變化很敏感, 以致高頻平面波列可以部分通過寬度超過最大導(dǎo)通寬度的長程耦合區(qū), 因此可以通過對長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元施加微擾來控制低頻波是否可以通過一定寬度的長程耦合區(qū).對于適當(dāng)選取的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu), 當(dāng)平面波或靶波經(jīng)過長程耦合區(qū)時, 網(wǎng)絡(luò)可自發(fā)出現(xiàn)自維持平面波、螺旋波和靶波等現(xiàn)象.本文對產(chǎn)生這些現(xiàn)象的物理機制作了分析.

1 引 言

非線性波可以在各種反應(yīng)擴散系統(tǒng)中自發(fā)產(chǎn)生[1?3], 如心臟中的竇房結(jié)自發(fā)產(chǎn)生靶波, 當(dāng)心肌組織出現(xiàn)疤痕、波傳導(dǎo)阻塞區(qū)和心肌細(xì)胞電性質(zhì)改變時, 心臟中還會自發(fā)產(chǎn)生螺旋波, 這會導(dǎo)致心動過速, 如果螺旋波破碎成時空混沌, 還會導(dǎo)致心室纖維性顫動而危及生命[3].Chen等[4]采用B?r-Eiswirth可激發(fā)介質(zhì)模型, 研究了平面波與缺陷相互作用, 觀察到高頻平面波通過缺陷后會自發(fā)產(chǎn)生螺旋波.Zimik和Pandit[5]采用心臟模型研究了平面波與局部異質(zhì)性團塊(由心肌細(xì)胞和成纖維細(xì)胞組成)的相互作用, 發(fā)現(xiàn)高頻平面波通過異質(zhì)性團塊也會自發(fā)產(chǎn)生螺旋波, 但是這些情況下螺旋波自發(fā)產(chǎn)生機制與同步無關(guān).

非線性波(如螺旋波、行波)也可以自發(fā)出現(xiàn)在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中[6?8], 如癲癇發(fā)作時腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中可出現(xiàn)螺旋波[6,9], 癲癇發(fā)作的兩個特征是神經(jīng)元大范圍的同步振蕩和出現(xiàn)特定的節(jié)律[10], 這意味著癲癇發(fā)作時自發(fā)形成的螺旋波可能與神經(jīng)元的同步有關(guān); 在低血糖雞視網(wǎng)膜中也觀察到螺旋波自發(fā)產(chǎn)生和螺旋波導(dǎo)致的視網(wǎng)膜受損[11]的現(xiàn)象, 由于大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)螺旋波往往與某種神經(jīng)疾病有關(guān), 掌握神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中螺旋波自發(fā)產(chǎn)生的機制, 有助于有效治療相關(guān)神經(jīng)疾病, 所以螺旋波自發(fā)產(chǎn)生機制的研究受到科學(xué)工作者的極大關(guān)注, 雖然人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)噪聲[12]、自突觸[13]、興奮-抑制性耦合[14]、排斥耦合[15]等都可以在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)自發(fā)產(chǎn)生螺旋波, 由于神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性, 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中螺旋波的自發(fā)產(chǎn)生機制仍未完全清楚, 需要進一步研究.

心臟系統(tǒng)和大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、工作細(xì)胞的電生理性質(zhì)、細(xì)胞之間耦合方式等都是不相同的, 但是它們有共同特點, 都需要細(xì)胞的同步電活動, 都會出現(xiàn)螺旋波, 如心臟需要心肌細(xì)胞同步激發(fā)收縮來完成泵血功能, 很多大腦的活動都要靠同步來實現(xiàn)[16?18], 如神經(jīng)元間信息的傳遞.研究發(fā)現(xiàn): 時滯不僅會促進神經(jīng)元同步, 還會抑制同步[19];參數(shù)的異質(zhì)性[20]、網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[21,22]都會影響神經(jīng)元的同步.神經(jīng)元在適當(dāng)?shù)脑肼曌饔孟乱矔崿F(xiàn)同步[23]; 噪聲還會在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中誘發(fā)隨機共振現(xiàn)象[24,25], 部分時滯也可以在小世界神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中誘發(fā)隨機多共振現(xiàn)象[26], 噪聲和延遲耦合共同作用也會使神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)隨機共振[27?29], 但是迄今為止, 同步在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)自發(fā)出現(xiàn)螺旋波中所扮演的角色仍缺乏研究.

目前對癲癇研究已經(jīng)取得許多研究成果, 研究結(jié)果表明[30]: 1)電突觸耦合在癲癇發(fā)作時仍然高水平地存在; 2)癲癇發(fā)作時會出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)重組現(xiàn)象,例如在局域癲癇中, 在癲癇剛發(fā)作時會出現(xiàn)一個大的網(wǎng)絡(luò), 在癲癇傳播中, 這個大網(wǎng)絡(luò)會破碎成更小的子網(wǎng)絡(luò), 在局部癲癇將要終止時, 這些小的子網(wǎng)絡(luò)又會形成一個大網(wǎng)絡(luò); 3)在海馬切片中, 局部放電可以將局部網(wǎng)絡(luò)變成不應(yīng)區(qū), 以防止隨后的癲癇活動在整個網(wǎng)絡(luò)中擴散.為了透過現(xiàn)象看本質(zhì), 了解神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中螺旋波的自發(fā)產(chǎn)生機制, 本文構(gòu)造一個具有局域長程耦合的二維神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò), 它是通過在二維近鄰耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)上增加了局域水平長程連接產(chǎn)生, 而且只考慮電耦合, 然后使用Morris-Lecar神經(jīng)元模型[31]研究了平面波和靶波與局域長程耦合形成的神經(jīng)元集團的相互作用, 數(shù)值模擬結(jié)果表明波的傳播情況與長程耦合區(qū)的朝向有關(guān).當(dāng)波的傳播方向與長程耦合區(qū)的朝向垂直時, 波的傳播不受影響.當(dāng)波的傳播方向與長程耦合區(qū)的朝向平行時, 波的傳播情況會受長程耦合區(qū)的影響,表現(xiàn)在: 當(dāng)平面波和靶波經(jīng)過局域長程耦合區(qū)時,波與神經(jīng)元集團相互作用導(dǎo)致神經(jīng)元集團內(nèi)的神經(jīng)元幾乎同步激發(fā), 出現(xiàn)集團內(nèi)一些神經(jīng)元比無長程耦合時提前激發(fā), 另一些神經(jīng)元比無長程耦合時延遲激發(fā), 當(dāng)長程耦合區(qū)足夠?qū)挄r, 延遲激發(fā)時間將超過神經(jīng)元細(xì)胞從峰值回到靜息態(tài)的時間, 產(chǎn)生波回傳效應(yīng); 并且當(dāng)長程耦合區(qū)寬度超過最大導(dǎo)通寬度時, 長程耦合區(qū)將阻礙波的傳播, 這時長程耦合區(qū)具有波傳播方向的選擇性; 在這兩種行為共同作用下, 當(dāng)平面波和靶波通過不同形狀和尺寸的長程耦合區(qū)時會自發(fā)產(chǎn)生平面波(或行波)、螺旋波、靶波等現(xiàn)象.這些研究結(jié)果對了解腦神經(jīng)系統(tǒng)中螺旋波產(chǎn)生的機制有積極意義.此外, 我們還發(fā)現(xiàn)長程耦合區(qū)的波傳播方向選擇性對神經(jīng)元偏離定態(tài)十分敏感, 可以利用這個性質(zhì)制作生物器件, 控制生物體中信號的傳播.下面先介紹我們的模型, 然后給出模擬結(jié)果, 最后給出結(jié)論.

2 模 型

本文使用一個包含 N ×N=200×200 個節(jié)點的二維方形神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò), Morris-Lecar神經(jīng)元分布在網(wǎng)絡(luò)的每個節(jié)點上, 每個神經(jīng)元與其近鄰神經(jīng)元存在電突觸耦合, 在網(wǎng)絡(luò)中存在一塊或多塊長方形長程耦合區(qū), 在長程耦合區(qū)內(nèi)神經(jīng)元之間在水平方向與左、右(即雙邊)8個鄰居有電突觸耦合, 為了使得所有神經(jīng)元的耦合都是雙向耦合, 以及長程耦合區(qū)域內(nèi)的神經(jīng)元不能與區(qū)域外神經(jīng)元有長程耦合, 因此在該長程耦合區(qū)的邊界附近, 一個神經(jīng)元與其他位于長程耦合區(qū)的神經(jīng)元耦合的數(shù)量逐漸減少到4個(假設(shè)長程耦合區(qū)長和寬足夠大), 如圖1所示.在網(wǎng)絡(luò)只有一個長方形長程耦合區(qū)且其左和右邊界分別在 imin和 imax這一列上時, 網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)方程如下[31,32]:

圖1 神經(jīng)元之間的長程耦合示意圖, 虛線代表近鄰耦合,實線代表長程耦合, 空心圓代表長程耦合區(qū)外的神經(jīng)元,實心圓代表長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元Fig.1.Schematic diagram of long-range coupling between neurons.Dashed and solid lines represent the nearest neighbor and long-range coupling, respectively.Hollow and solid circles represent the neurons outside and inside the longrange coupling region, respectively.

其中 Vij分別表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點 ( i,j) 上神經(jīng)元的膜電位( m V ); I 為背景電流; t 代表時間( m s ); ωi,j代表恢復(fù)變量; C 代表膜電容; gK, gCa和 gL分別表示鉀、鈣離子電流和漏電電流的最大電導(dǎo)率; VK,VCa和 VL分別表示鉀、鈣和漏電電流的反轉(zhuǎn)電位; ε 為耦合強度; H (ρ) 為 階躍函數(shù), 當(dāng) ρ ≥0 時, H (ρ)=1 ,否則 H (ρ)=0 ; d為長程耦合區(qū)的寬度,d=imax?imin.當(dāng) j 不在長程耦合區(qū)時, (1)式最后一項為0.本 文 各 參 量 取 值 如 下: I =39.7μA/cm2,C=20μF/cm2, gK=8μS/cm2, gCa=4μS/cm2,gL=2μS/cm2, VK=?84mV , VCa=120mV , VL=?60mV ,V1=?1.2mV , V2=18mV , V3=12mV ,V4=17.4mV , ? =0.067.在這些參數(shù)下, 單個神經(jīng)元是可激發(fā)的, 其定態(tài)為 Vs=?31.17625 , ωs=0.00694.在數(shù)值模擬中, 使用四階龍格庫塔法解微分方程,時間步長取 ? t=0.01 單位時間, 采用無流邊界條件, 取神經(jīng)元的定態(tài)為網(wǎng)絡(luò)的初態(tài).

3 數(shù)值模擬結(jié)果

首先在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中構(gòu)造一塊長度 L =N 個格點和寬度為 d 個格點的長方形長程耦合區(qū), 然后在系統(tǒng)左邊界 i ∈[1,10] 范圍內(nèi)通過外部刺激使神經(jīng)元瞬間處于激發(fā)態(tài), 產(chǎn)生一列向右傳播平面波,研究平面波的傳播, 接著在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中構(gòu)造一到兩個長方形長程耦合區(qū), 研究平面波與不同大小的神經(jīng)元集團的相互作用, 最后在系統(tǒng)左邊界通過外部刺激產(chǎn)生一個向右傳播的靶波, 研究靶波與不同大小的神經(jīng)元集團的相互作用.

3.1 平面波的傳播與同步產(chǎn)生的效應(yīng)

假設(shè)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中有一塊長度 L =N 個格點和寬度為 d 個格點的長方形長程耦合區(qū), 該長程耦合區(qū)左邊邊界在 imin=20 這一列上, 在平面波向右傳播過程中, 記錄在長程耦合區(qū) j =100 這一行上各格點的激發(fā)時刻, 這些格點從左到右分別記為l=1,2,···,d , 當(dāng) d =1 時, 表示網(wǎng)絡(luò)中無長程耦合區(qū), 當(dāng) d =2 時, 網(wǎng)絡(luò)中只有次近鄰長程耦合.圖2給出不同耦合強度 ε 和不同寬度 d 下神經(jīng)元的激發(fā)時刻隨神經(jīng)元位置的變化, 圖2中水平直線所包含的黑點數(shù)就是長程耦合區(qū)的寬度, 斜線對應(yīng)d=1(即無長程耦合), 圖2(b)是等間隔選取寬度 d 做圖.圖2(a)最下方曲線對應(yīng) d =6 , 圖2(b)最下方曲線對應(yīng) d =7.從圖2可以看出, 長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元激發(fā)時刻隨 d 增加而延遲, 因為當(dāng)波傳播到長程耦合區(qū)左邊界時, 與長程耦合區(qū)左邊界相鄰的神經(jīng)元處于激發(fā)態(tài), 其膜電位大大高于波峰前方與之有耦合的神經(jīng)元的膜電位, 因此這個神經(jīng)元產(chǎn)生刺激電流, 依次使波前方由近到遠的神經(jīng)元偏離靜息態(tài), 從而使長程耦合區(qū)內(nèi)所有神經(jīng)元獲得幾乎相近的正刺激電流, 因為長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元耦合成一個整體, 顯然 d 越大, 各神經(jīng)元獲得的刺激電流就越小, 需要更長的時間才能激發(fā), 這就是延遲激發(fā)的原因.我們稱這個處于激發(fā)態(tài)的神經(jīng)元為產(chǎn)生刺激電流的源, 波前方的神經(jīng)元起到吸收刺激電流的作用, 稱為吸收電流的匯.顯然, 當(dāng)一個神經(jīng)元獲得的刺激電流小于其臨界值時, 源與匯嚴(yán)重不匹配,神經(jīng)元不能被激發(fā), 表現(xiàn)為波不能通過長程耦合區(qū).

圖2 不同耦合強度和不同寬度下神經(jīng)元激發(fā)時刻隨位置 l 的變化, 斜線對應(yīng)無長程耦合情況, 不同水平線上的黑點個數(shù)對應(yīng)不同寬度的長程耦合區(qū) (a) ε =0.2 ; (b)ε=0.4Fig.2.The firing time point of neurons varies with location l for different coupling strengths and different widths of the long-range coupling region.The oblique line corresponds to the network without long-range coupling, and the number of black dots on different horizontal lines is the width of the corresponding coupling region: (a) ε =0.2 ; (b) ε =0.4.

從圖2還可以看出以下三點.1)無長程耦合區(qū)時, 神經(jīng)元的激發(fā)時刻隨神經(jīng)元位置的變化呈斜線, 表明神經(jīng)元從左到右依次激發(fā).但是有長程耦合區(qū)時, 神經(jīng)元的激發(fā)時刻隨神經(jīng)元位置的變化呈水平直線, 而且耦合強度和長程耦合區(qū)寬度越大線越平直, 這個結(jié)果表明神經(jīng)元幾乎同步激發(fā), 水平線與斜線交點的左側(cè)神經(jīng)元延遲激發(fā), 交點右側(cè)神經(jīng)元提前激發(fā), 隨著 d 的增加, 神經(jīng)元延遲激發(fā)的比率逐漸增加.2)存在一個長程耦合區(qū)臨界寬度dth, 當(dāng) d ≥dth, 長程耦合區(qū)內(nèi)所有神經(jīng)元都會延遲激發(fā), 耦合強度 ε =0.2,0.4 對應(yīng)的臨界值分別是dth=23,53.可見增大神經(jīng)元之間的耦合強度, 可提高 dth的值.3)存在最大導(dǎo)通寬度 dmax, 當(dāng)長程耦合區(qū)寬度超過其最大導(dǎo)通寬度 dmax時, 波將不能通過長程耦合區(qū), 耦合強度 ε =0.2,0.4 對應(yīng)長程耦合區(qū)最大導(dǎo)通寬度分別是 dmax=26,59.數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn), 最大導(dǎo)通寬度敏感依賴神經(jīng)元之間耦合強度變化, 如 ε 從0.2增加到0.2005, dmax從26增加到27.

圖2給出了波傳播方向與長程耦合朝向平行時平面波傳播情況, 如果波傳播方向與長程耦合朝向是垂直的, 我們不難得出波可以無延遲通過長程耦合區(qū).為了對長程耦合區(qū)具有對波傳播方向的選擇性有直觀印象, 圖3給出了在水平方向和豎直方向上施加一次刺激產(chǎn)生的平面波通過長程耦合區(qū)時不同時刻的斑圖, 斑圖的灰度值與神經(jīng)元的膜電位成正比(在無特別指出下, 后面的斑圖同樣處理), 白色對應(yīng)神經(jīng)元處于激發(fā)態(tài)(即波前), 深黑色區(qū)對應(yīng)神經(jīng)元處于超極化狀態(tài)(波背), 淺黑色區(qū)對應(yīng)神經(jīng)元處于靜息態(tài), 圖3(a)—(c)為水平方向的平面波通過長程耦合區(qū)的斑圖, 也就是波傳播方向與長程耦合朝向平行時平面波傳播情況, 可以看到只有一列平面波向右傳播時, 在長程耦合區(qū)寬度 d ≥dmax情況下, 平面波不能通過長程耦合區(qū);圖3(d)—(f)為豎直方向的平面波通過長程耦合區(qū)的斑圖, 也就是波傳播方向與長程耦合朝向垂直時平面波傳播情況, 在長程耦合區(qū)寬度 d ≥dmax情況下, 平面波的傳播沒有受到影響, 與無長程耦合區(qū)相同, 這說明長程耦合區(qū)對波傳播方向有選擇性.

圖3 在 ε =0.2 的情況下不同時刻的膜電位斑圖, 白色虛線矩形框內(nèi)為長程耦合區(qū), 其寬度 d =50.上下兩排圖的波傳播方向分別與長程耦合方向平行和垂直 (a), (d) t =74ms ; (b), (e) t =228ms ; (c), (f)t=556msFig.3.Membrane-potential patterns at different time points for ε =0.2.The box marked by a white dotted rectangle shows the long-range coupling region, and its width is equal to 50.The wave propagation directions in the upper and lower row panels are parallel and perpendicular to the long-range coupling direction, respectively: (a), (d) t =74ms ; (b), (e) t =228ms ; (c), (f)t=556ms.

長程耦合區(qū)除了對波的傳播方向有選擇性外,還具有波回傳效應(yīng), 為了對此有直觀印象, 使用圖2選取的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)并選取不同的長程耦合區(qū)寬度, 記 錄 j =100 這 一 行 上 從 i =1 列 到 i =80 列 這

些神經(jīng)元的膜電位隨時間的變化, 得到膜電位時空斑圖如圖4所示, 圖4(a)對應(yīng)的長程耦合區(qū)寬度為 d =6 , 可以看出, 長程耦合區(qū)左右兩邊只出現(xiàn)一條傾斜線, 表明平面波從系統(tǒng)左邊界向右傳播, 產(chǎn)生向右的傾斜線, 當(dāng)平面波傳播到長程耦合區(qū)邊界時, 平面波終止在邊界處, 經(jīng)過一段延時后, 長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元同時被激發(fā), 由于長程耦合區(qū)左側(cè)神經(jīng)元還未回到靜息態(tài), 所以同步激發(fā)形成的波只能向右傳播, 那么這樣只出現(xiàn)向右的傾斜線;圖4(b)和圖4(c)對應(yīng)的長程耦合區(qū)寬度分別為d=14, d =21 , 在這兩張圖中可以觀察到: 長程耦合區(qū)的左邊出現(xiàn)兩條傾斜線, 右邊出現(xiàn)一條傾斜線, 長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元同時被激發(fā), 一方面產(chǎn)生向右傳播的波, 形成向右傾斜的直線, 另一方面產(chǎn)生向左傳播的波, 形成向左傾斜的直線, 我們把這種現(xiàn)象稱為波回傳效應(yīng).圖4(d)長程耦合區(qū)寬度為 d =27 , 此時耦合區(qū)寬度已經(jīng)超過最大導(dǎo)通寬度, 波無法通過長程耦合區(qū).可見神經(jīng)元的同步激發(fā)可導(dǎo)致長程耦合區(qū)具有波傳播方向的選擇性及神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)具有波回傳效應(yīng).

圖4 在 ε =0.2 和不同的長程耦合區(qū)寬度的情況下一行格點的膜電位的時空斑圖, 兩白色虛線之間的區(qū)域為長程耦合區(qū) (a)d=6 ; (b) d =14 ; (c) d =21 ; (d)d=27Fig.4.Spatiotemporal patterns of membrane potential of a row of grid points for ε =0.2 and different widths of long-range coupling region.The region between the two white dotted lines is the long-range coupling region: (a) d =6 ; (b) d =14 ; (c) d =21 ;(d) d =27.

通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn): 長程耦合區(qū)的波傳播方向的選擇性不僅與耦合強度有關(guān), 還與神經(jīng)元偏離定態(tài)的幅度有關(guān), 例如在圖2(a)情況下, 將長程耦合區(qū)寬度取為 d >dmax(d=27,dmax=26) , 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的初態(tài)改為 V0=?31.09658 , ω0=0.00696 , 這個初態(tài)只比定態(tài)值高一點, 這時平面波依然可以通過長程耦合區(qū), 我們把這種現(xiàn)象稱為波傳播方向選擇性對神經(jīng)元偏離定態(tài)幅度的敏感性, 正是這種敏感性, 導(dǎo)致周期大于等于 4 80ms 的低頻平面波不能通過長程耦合區(qū), 因為在圖2(a)情況下延遲時間超過 2 60ms , 神經(jīng)元動作電位持續(xù)時間約120ms, 在平面波擾動下, 長程耦合區(qū)的神經(jīng)元可以在 4 80ms 內(nèi)回到定態(tài), 使平面波不能通過長程耦合區(qū).周期小于等于 4 70ms 平面波波列可以部分通過長程耦合區(qū), 例如外部刺激產(chǎn)生周期為450ms 的平面波, 第1至第3列波無法通過長程耦合區(qū), 在這幾列波擾動下, 第4列波就可以通過長程耦合區(qū), 以后類似現(xiàn)象重復(fù)出現(xiàn), 每4列波通過1列波.如果外部刺激產(chǎn)生周期為 3 00ms 的平面波, 則第1列平面波不能通過長程耦合區(qū), 其產(chǎn)生的擾動使長程耦合區(qū)內(nèi)神經(jīng)元偏離了定態(tài), 所以第2列平面波能夠通過長程耦合區(qū).但是當(dāng)?shù)?列平面波達到長程耦合區(qū)左邊界時, 長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元剛好處于不應(yīng)期, 從而阻止了平面波通過,同時也為第4列平面波通過長程耦合區(qū)創(chuàng)造了條件, 使第4列波可以通過長程耦合區(qū).以后會觀察到第7, 9, 12列平面波可以通過長程耦合區(qū), 波通過長程耦合區(qū)無規(guī)律的原因是, 有些波列遇到回傳波而不能通過長程耦合區(qū).不同周期平面波通過長程耦合區(qū)情況如圖5所示.圖5是在系統(tǒng)左邊界i∈[1,10] 范圍內(nèi)通過周期外部刺激產(chǎn)生周期為 T 、向右傳播平面波得到的結(jié)果, 在無長程耦合區(qū)情況下, 每1列波通過情況用空心圓連線表示, 有長程耦合情況下平面波通過情況用黑方塊連線表示.

圖5 在 d =27 , ε =0.2 和不同周期T平面波下神經(jīng)元的激發(fā)時刻隨位置 l 的變化.空心圓對應(yīng)無長程耦合結(jié)果, 實心方塊對應(yīng)有長程耦合的結(jié)果 (a) T =300ms ; (b) T =450ms ; (c)T=480msFig.5.The firing time point of neurons varies with location l for d =27 , ε =0.2 and different periods of planar wave.The hollow circles show the results obtained without long-range coupling, while the solid squares show the results obtained with long-range coupling: (a) T =300ms ; (b) T =450ms ; (c) T =480ms.

對于周期更小的平面波, 主要出現(xiàn)平面波遇到長程耦合區(qū)神經(jīng)元處于不應(yīng)態(tài)和平面波遇到回傳波而不能通過長程耦合區(qū).如果增加長程耦合區(qū)的寬度 d , 只要平面波的周期足夠小, 同樣出現(xiàn)部分平面波列可以通過長程耦合區(qū).

由于長程耦合區(qū)的波傳播方向的選擇性敏感依賴神經(jīng)元偏離定態(tài)的幅度, 我們可以通過對耦合區(qū)內(nèi)的部分神經(jīng)元施加一個微擾讓原來不能通過長程耦合區(qū)的平面波能通過該區(qū)域, 例如在(1)式右邊第一項方括號內(nèi)加一個刺激電流 I′=1.4μA/cm2,這個電流只施加在第20列到第24列這5列格點上.當(dāng)平面波傳播到長程耦合區(qū)左邊界, 第20列的神經(jīng)元偏離定態(tài)達到 ? 15.5mV 時, 開始加電流刺激, 刺激持續(xù)時間為 1 0ms , 刺激結(jié)束時第20列的神經(jīng)元的膜電位只比沒有刺激電流時增加了約0.17mV, 這時平面波可以通過長程耦合區(qū).減少刺激神經(jīng)元的數(shù)量, 相應(yīng)要增加刺激電流強度或刺激時間, 也能使平面波通過長程耦合區(qū).這些結(jié)果表明, 可以利用長程耦合區(qū)的波傳播方向選擇性對神經(jīng)元偏離定態(tài)的幅度, 以及對耦合強度變化的敏感性制作生物控制器件, 通過調(diào)節(jié)耦合強度或?qū)ι窠?jīng)元施加擾動控制波的通行.

3.2 平面波和靶波與不同尺寸的神經(jīng)元集團的相互作用

在二維點陣神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中構(gòu)造一個或兩個不同尺寸的長方形長程耦合區(qū), 在網(wǎng)絡(luò)中存在一個或兩個神經(jīng)元集團, 研究平面波、靶波與神經(jīng)元集團的相互作用, 這種作用稱為波-集團相互作用, 我們發(fā)現(xiàn)這種相互作用會在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生各種自維持有序波.為了簡單起見, 下面的研究中, 將耦合強度固定在 ε =0.2.

3.2.1 平面波與神經(jīng)元集團相互作用誘發(fā)平面波

在二維點陣網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造兩塊相同的長方形長程耦合區(qū), 長程耦合區(qū)的長度 L =N 個格點, 寬度為d=14個格點, 長程耦合區(qū)與系統(tǒng)左邊界平行, 兩塊區(qū)相距Δ = 13個格點, 這樣在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中存在左右兩個神經(jīng)元集團.在系統(tǒng)左邊界 i ∈[1,10] 范圍內(nèi)通過一次刺激產(chǎn)生一列向右傳播的平面波, 當(dāng)平面波與左邊長程耦合區(qū)接觸時, 平面波與左邊神經(jīng)元集團相互作用, 由于同步激發(fā), 將產(chǎn)生向左和向右傳播的平面波, 向左傳播的平面波最終運動出系統(tǒng)的左邊界, 向右傳播的平面波與右邊長程耦合區(qū)的神經(jīng)元集團相互作用, 又經(jīng)同步激發(fā)產(chǎn)生向左和向右傳播的平面波, 向右傳播的平面波最終運動出系統(tǒng)的右邊界, 向左傳播的波與左邊神經(jīng)元集團相互作用, 又經(jīng)同步激發(fā)產(chǎn)生向左和向右傳播的平面波, 這種相互激發(fā)作用, 導(dǎo)致自維持平面波出現(xiàn),其產(chǎn)生過程如圖6所示.

圖6 在 L =N , d =14 和Δ = 13的情況下不同時刻的膜電位斑圖, 左邊(右邊)兩條白色虛線之間為長程耦合區(qū) (a)t=150ms ; (b) t =292ms ; (c) t =342ms ; (d) t =370ms ; (e) t =428ms ; (f) t =478ms ; (g) t =528ms ; (h) t =570ms.Fig.6.Patterns of the membrane potential at different time points for L =N , d =14 and Δ = 13.The region between two white dotted lines on the left (right) is the long-range coupling region: (a) t =150ms ; (b) t =292ms ; (c) t =342ms ; (d) t =370ms ;(e) t =428ms ; (f) t =478ms ; (g) t =528ms ; (h) t =570ms.

在上述平面波與集團相互作用中, 改變長程耦合區(qū)之間的距離Δ, 原則上不會影響平面波的自發(fā)產(chǎn)生.但是當(dāng)Δ ≤ 10 時, 則不能產(chǎn)生自維持平面波.原因是: 當(dāng)波回傳效應(yīng)產(chǎn)生的波進入兩塊長程耦合區(qū)之間的空間后, 波前面的長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元處于靜息態(tài), 波后面的長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元處于超極化狀態(tài), 其膜電位更負(fù), 這時處于激發(fā)態(tài)的神經(jīng)元受到波后方處于超極化神經(jīng)元的拖累, 使其更快復(fù)極化, 導(dǎo)致其無法向波前方神經(jīng)元提供足夠長時間的電流刺激(即損失部分激發(fā)能), 從而無法使波前方處于靜息態(tài)的神經(jīng)元激發(fā), 結(jié)果兩塊長程耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元不能相互激發(fā)產(chǎn)生平面波.

3.2.2 平面波與神經(jīng)元集團相互作用誘發(fā)螺旋波

本節(jié)研究平面波與小一些的神經(jīng)元集團的相互作用.使用類似產(chǎn)生自維持平面波的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),適當(dāng)選取兩塊相同的長程耦合區(qū), 其長度為 L 、寬度為 d , 兩個長程耦合區(qū)之間的距離為Δ, 通過平面波與這兩個神經(jīng)元集團相互作用可產(chǎn)生螺旋波,而且是許多小螺旋波.當(dāng)Δ比較大時, 由于波回傳效應(yīng), 產(chǎn)生穩(wěn)定的螺旋波斑圖需要的時間會更長,當(dāng)Δ比較小時, 可以快速得到穩(wěn)定的螺旋波斑圖,例如取 L =35 個格點, 寬度 d =14 個格點, 兩塊區(qū)相距Δ = 1個格點, 則平面波與這兩個神經(jīng)元集團相互作用會較快自發(fā)產(chǎn)生螺旋波, 其產(chǎn)生過程如圖7所示.

從圖7可以看出, 由于延遲激發(fā)的原因, 平面波到達左邊長程耦合區(qū)的左邊界時, 并不會立即導(dǎo)致該耦合區(qū)內(nèi)的神經(jīng)元激發(fā), 平面波只能沿該長程耦合區(qū)的上下邊界向右傳播, 在傳播過程中誘發(fā)耦合區(qū)上下邊界附近的神經(jīng)元激發(fā), 形成向耦合區(qū)中間傳播的波, 當(dāng)平面波即將到達該長程耦合區(qū)右邊界線時, 該耦合區(qū)內(nèi)其他神經(jīng)元同步激發(fā), 一方面產(chǎn)生向前傳播的波, 導(dǎo)致右邊長程耦合區(qū)內(nèi)神經(jīng)元激發(fā), 另一方面產(chǎn)生向后傳播的行波, 該行波的兩端沿左邊耦合區(qū)邊界運動, 在耦合區(qū)的上下邊界附近形成小螺旋波波頭, 最后逐漸形成穩(wěn)定的兩個小螺旋波.

圖7 在 L =35 , d =14 , Δ = 1的情況下不同時刻的膜電位斑圖, 兩個白色虛線框內(nèi)為長程耦合區(qū) (a) t =150ms ;(b) t =306ms ; (c) t =318ms ; (d) t =346ms ; (e) t =442ms ; (f) t =490ms ; (g) t =514ms ; (h)t=816msFig.7.Patterns of the membrane potential at different time points for L =35 , d =14 and Δ = 1.The two boxes marked by white dotted rectangle show the long-range coupling regions: (a) t =150ms ; (b) t =306ms ; (c) t =318ms ; (d) t =346ms ;(e) t =442ms ; (f) t =490ms ; (g) t =514ms ; (h) t =816ms.

如果保持 d =14 , 將Δ改為13, 取長程耦合區(qū)的長度分別為 L =61,101,161 , 得到不同時刻膜電位斑圖如圖8所示.從圖8可以看出, 適當(dāng)選擇長度, 都可以得到螺旋波, 只是由于 L , Δ比較大, 斑圖長時間沒有穩(wěn)定, 始終在變化, 形成的螺旋波只有波頭, 無法形成大螺旋波.圖8(a)—(f)是對稱的斑圖, 圖8(g)—(i)隨著時間的演化, 斑圖上下部分不再對稱, 這主要是由于長程耦合區(qū)上下邊界到系統(tǒng)邊界距離不相等引起的, 如果取 L =162 ,使長程耦合區(qū)上下邊界到系統(tǒng)邊界距離相等, 就可以得到對稱的斑圖, 這個結(jié)果表明, 當(dāng) L 較大時會有邊界效應(yīng).

圖8 在 d =14 , Δ = 13和不同L下不同時刻的膜電位斑圖, 兩個白色虛線框內(nèi)為長程耦合區(qū).三個長程耦合區(qū)的長度分別為L=61,101,161 (a) t =1308ms ; (b) t =2890ms ; (c) t =3718ms ; (d) t =1370ms ; (e) t =2690ms ; (f) t =3710ms ;(g) t =1296ms ; (h) t =2400ms ; (i)t=3750msFig.8.Patterns of the membrane potential at different time points for d =14 , Δ = 13 and different L.The two boxes marked by white dotted rectangle show the long-range coupling regions.The lengths of the three long-range coupling regions are equal to 60,101, 161, respectively: (a) t =1308ms ; (b) t =2890ms ; (c) t =3718ms ; (d) t =1370ms ; (e) t =2690ms ; (f)t=3710ms;(g) t =1296ms ; (h) t =2400ms ; (i) t =3750ms.

在固定 d =14 的情況下, 能夠產(chǎn)生螺旋波的最小 L 與兩塊長程耦合區(qū)的間隔Δ有關(guān), 當(dāng)Δ = 1時, 只要 L ≥7 , 平面波經(jīng)過長程耦合區(qū)一般都可以產(chǎn)生螺旋波, 其他間隔Δ對應(yīng)的最小L值也接近7.如果網(wǎng)絡(luò)中只有一塊長方形長程耦合區(qū),適當(dāng)選擇L值也可以得到與圖8類似的小螺旋波.

3.2.3 平面波與神經(jīng)元集團相互作用誘發(fā)靶波

前面我們討論了平面波與兩個神經(jīng)元集團的相互作用, 下面我們討論網(wǎng)絡(luò)中只有一個長程耦合區(qū).適當(dāng)選取長方形長程耦合區(qū)的長度, 并且讓其寬度足夠?qū)? 則平面波與神經(jīng)元集團相互作用可誘發(fā)靶波.這是一種由小螺旋波對為振源的靶波, 例如當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中有一塊長度為 L =41 個格點、寬度為d=21個格點的長程耦合區(qū)時, 平面波經(jīng)過該區(qū)后,網(wǎng)絡(luò)中會自發(fā)產(chǎn)生靶波, 其形成過程如圖9所示.可以看出, 由于延遲激發(fā)的原因, 平面波不能從耦合區(qū)左邊界進入耦合區(qū), 在沿著該耦合區(qū)上下邊界向右傳播過程中, 在豎直方向形成向長程耦合區(qū)中間傳播的平面波, 平面波一端逐漸形成螺旋波波頭沿耦合區(qū)邊界運動(參見圖9(c)).當(dāng)運動到耦合區(qū)的右邊界時, 螺旋波波臂在耦合區(qū)右邊界拐角處從波頭附近折斷(參見圖9(d)), 形成小螺旋波對, 最終演化成了靶波.

圖9 在 ε =0.2 , L =41 和 d =21 的情況下不同時刻的膜電位斑圖.白色虛線框內(nèi)為長程耦合區(qū) (a) t =292ms ; (b)t=320ms ; (c) t =348ms ; (d) t =640ms ; (e) t =758ms ; (f) t =854ms ; (g) t =890ms ; (h)t=932msFig.9.Patterns of the membrane potential at different time points for ε =0.2 , L =41 and d =21.The box marked by white dotted rectangle shows the long-range coupling region: (a) t =292ms ; (b) t =320ms ; (c) t =348ms ; (d) t =640ms ; (e)t=758ms ; (f) t =854ms ; (g) t =890ms ; (h) t =932ms.

3.3 靶波與神經(jīng)元集團相互作用誘發(fā)有序波

現(xiàn)在將平面波換成靶波, 仍使用圖6、圖7、圖9的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)研究靶波與神經(jīng)元集團的相互作用.考慮兩種情況.第一種情況, 產(chǎn)生靶波的外部刺激施加在系統(tǒng)左邊界正中間, 覆蓋9個格點, 其坐標(biāo)如下: i ∈[1,3] , j ∈[99,101] , 該靶波源記為S1.第二種情況, 產(chǎn)生靶波的外部刺激施加在系統(tǒng)左邊界的中間偏下方, 覆蓋9個格點, 其坐標(biāo)如下: i ∈[1,3] ,j∈[77,79], 該靶波源記為S2.在三種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下,靶波源S1產(chǎn)生的一個靶波與神經(jīng)元集團相互作用,分別得到圖10(a)—(c)所示的結(jié)果, 靶波源S2產(chǎn)生的一個靶波與神經(jīng)元集團相互作用, 分別得到圖10(d)—(f)所示的結(jié)果.從圖10可以看出, 改用靶波與神經(jīng)元集團相互作用, 得到與圖6、圖7、圖9類似結(jié)果, 只是在靶波作用下不能形成平面波, 而只能形成行波, 它的波面有一定的彎曲.

上述數(shù)值模擬結(jié)果表明: 特定結(jié)構(gòu)的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)可以產(chǎn)生波回傳效應(yīng)和具有波傳播方向的選擇性, 這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)極容易產(chǎn)生有序波, 有序波產(chǎn)生的本質(zhì)是波與神經(jīng)元集團相互作用結(jié)果必須滿足神經(jīng)元的同步激發(fā)條件, 因為長程耦合將許多神經(jīng)元連接成一個整體.由于腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是具有可朔性的, 在病態(tài)情況下有可能出現(xiàn)本文提出的這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu), 使網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)螺旋波.

4 結(jié) 論

本文采用Morris-Lecar神經(jīng)元模型研究了具有特殊結(jié)構(gòu)的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中平面波的傳播和平面波、靶波與神經(jīng)元集團的相互作用, 發(fā)現(xiàn)具有特殊結(jié)構(gòu)的長程耦合區(qū)具有波回傳效應(yīng)和波傳播方向的選擇性, 它是由于神經(jīng)元的同步激發(fā)產(chǎn)生的, 此外我們還發(fā)現(xiàn)這種長程耦合區(qū)的波傳播方向選擇性對神經(jīng)元偏離定態(tài)和耦合強度的變化十分敏感,當(dāng)平面波傳播方向與長程耦合方向一致時, 導(dǎo)致足夠高頻率的平面波波列可部分通過寬度超過最大導(dǎo)通寬度的長程耦合區(qū).適當(dāng)選擇網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu), 當(dāng)平面波和靶波與具有一定形狀的神經(jīng)元集團相互作用時, 可以在網(wǎng)絡(luò)中自發(fā)產(chǎn)生平面波、行波、螺旋波和靶波, 同步在其中扮演了重要角色, 這些結(jié)果有助于我們理解在腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中自發(fā)出現(xiàn)的螺旋波和行波.