【摘要】本文以《相遇問題》的教學(xué)設(shè)計(jì)與評析為例，論述在具體教學(xué)中借助多樣素材幫助學(xué)生理解“相遇問題”，通過問題引入，回顧經(jīng)驗(yàn);借助圖形，理解模型;多樣變式，豐富模型等活動(dòng)，借助圖形操作、直觀對比和反思遷移策略，引導(dǎo)學(xué)生感悟解決問題中“兩積之和”的結(jié)構(gòu)，提升解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】《相遇問題》 整合素材 深化模型

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）25-0062-04

《相遇問題》是人教版數(shù)學(xué)四年級上冊第四單元《速度時(shí)間路程》的課后補(bǔ)充內(nèi)容。雖然人教版教材中沒有相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，但五年級上冊教材出現(xiàn)了借助《相遇問題》的模型來列方程解決問題的習(xí)題。因此，在教學(xué)四年級上冊教材《速度時(shí)間路程》一課之后補(bǔ)充相應(yīng)的“相遇問題”內(nèi)容，有利于學(xué)生建立相遇問題的模型，深入理解速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

一、教材分析

針對人教版教材相關(guān)習(xí)題的分析，筆者認(rèn)為《相遇問題》的教學(xué)可以關(guān)注如下四個(gè)方面。

（一）關(guān)注素材的整合

人教版教材中有大量的好題，雖然這些習(xí)題分散在不同單元、不同年級，但它們有著相同的結(jié)構(gòu)，即兩積之和的結(jié)構(gòu)。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)中需要運(yùn)用整合教材的方法，把這些習(xí)題按照一定的邏輯進(jìn)行組合，促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的提升。而《相遇問題》屬于兩積之和的模型，教材中有著大量類似的習(xí)題，教師通過收集、整合、改編這些素材，有利于加強(qiáng)學(xué)生對知識點(diǎn)的理解。

（二）注重圖形的表征

浙江省2019年中小學(xué)質(zhì)量監(jiān)測相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，四年級學(xué)生在利用畫圖來解決問題的相關(guān)能力較為薄弱，即很多學(xué)生并不知道如何利用畫圖表征和分析問題。因此，教師在數(shù)學(xué)課堂中給予學(xué)生更多的借助畫圖分析和表征問題的機(jī)會(huì)，會(huì)對他們提升問題解決能力有所幫助。

（三）深化模型的理解

四年級學(xué)生對“相遇問題”相關(guān)知識并不陌生，但他們并不明白為什么可以這樣計(jì)算、其中有什么聯(lián)系等。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟模型的發(fā)生和發(fā)展過程，讓學(xué)生能夠把新舊模型、正向逆向模型等進(jìn)行聯(lián)系與擴(kuò)展，從而深入理解《相遇問題》模型問題。

（四）溝通習(xí)題的聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，解決數(shù)學(xué)問題的模型更是如此。如果把相遇問題的模型與生活中其他速度類問題進(jìn)行巧妙溝通，那么對學(xué)生理解該模型、提升解決問題的能力將會(huì)有較大的幫助。

二、教學(xué)目標(biāo)

基于以上思考，確定教學(xué)目標(biāo)如下。

1.經(jīng)歷解決具體生活問題的過程，借助實(shí)物和圖形的直觀演示和表征，逐步構(gòu)建相遇問題的數(shù)學(xué)模型。

2.經(jīng)歷從問題情境和已有數(shù)量關(guān)系出發(fā)解決新問題的過程，不斷深入感悟和豐滿模型，有效培養(yǎng)學(xué)生利用畫圖分析解決問題的能力，以及培養(yǎng)學(xué)生解決問題的遷移能力。

3.經(jīng)歷不斷觀察、對比、交流與歸納等學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生感受生活問題的數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和模型思想。

三、教學(xué)過程

（一）問題引入，回顧經(jīng)驗(yàn)

1.口答習(xí)題，回顧關(guān)系

師：同學(xué)們，這里有幾個(gè)問題，你們能解決嗎？（學(xué)生逐一回答）

課件出示：

[（1）小明每分鐘步行80米，5分鐘行多少米？

（2）一輛汽車每小時(shí)開40千米，6小時(shí)共開多少千米？

（3）火箭速度15千米/時(shí)

師：剛才我們解決了這幾個(gè)問題，那么，解題的過程中你們又是怎么想的呢？

生1：比如第一題，先找到小明每分鐘行的路程，再乘時(shí)間，就可以算出路程。

生2：就是利用“速度×?xí)r間=路程”來解決。

師：是的，我們都是利用了“速度×?xí)r間=路程”這個(gè)關(guān)系來解決問題。

2.溝通數(shù)形，回顧線段圖

師：我們再來看，第一題可以用這個(gè)圖來表示嗎？

課件變化（隱去第三題的相關(guān)信息）：

（1）小明每分鐘步行80米，5分鐘行多少米？

生1：可以的。這里的一小段表示小明每分鐘行80米，有這樣的5段就是5分鐘，可以求出一共行走的路程。

師：很好。那第二題呢，可以嗎？

（2）一輛汽車每小時(shí)開40千米，6小時(shí)共開多少千米？

生2：不行，因?yàn)轭}目中提出開車6小時(shí)，而這里只有5段，不能表示。

生3：也可以，只要增加一段就可以了。這一段就表示每小時(shí)行40千米，求一共行多少千米？

40千米/時(shí)

一共行多少千米？

師：說得很清楚，看來在解決問題時(shí)，你們已經(jīng)學(xué)會(huì)用線段圖來表示題目的意思。

【評析】這三道口答題雖然簡單，但能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有效地回顧利用“速度×?xí)r間=路程”這個(gè)關(guān)系來解決問題，以及利用線段圖表征問題等經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。同時(shí)，通過討論畫圖為后續(xù)的畫線段圖打下基礎(chǔ)。

（二）借助圖形，理解模型

1.討論習(xí)題，解讀信息

師：剛才我們研究的是一個(gè)人、一輛車行駛的問題，現(xiàn)在我們變一下，變成兩個(gè)人。

課件出示：小明與小紅從兩家同時(shí)出發(fā)，相向而行，小明每分鐘行80米，小紅每分鐘行60米，4分鐘后相遇，他們兩家相距多少米？

師：仔細(xì)觀察一下，問題中有哪些地方需要注意的？

生1：他們是相向而行。

生2：他們同時(shí)出發(fā)。

生3：問題是要求兩地相距多少米。

……

師：好的。我們一起來看一下動(dòng)畫。（課件播放動(dòng)畫）

2.畫線段圖，解決問題

師：對這樣的問題你能用線段圖來表示嗎？（生：可以。）請你們先嘗試畫一畫圖，然后列式解決問題。（學(xué)生操作）

3.數(shù)形結(jié)合，理解模型

師：老師收集了幾種方法，我們一起來看一下。

展示一：

小明：80[×]4=320（米）

小紅：60[×]4=240（米）

一共：320+240=560（米）

師：請介紹一下自己的想法。

生1：小明和小紅都走了4分鐘，所以給兩人都畫了4段。小明的速度是80米/分，小紅的速度是60米/分，所以用80乘4就是小明的路程，60乘4是小紅的路程，兩個(gè)路程相加得出總的路程。

展示二：

（80+60）[×]4=560（米）

生2：我是先求出小明和小紅一分鐘走的路程，然后用路程去乘他們行走的時(shí)間。

師：誰能把他的意思用畫圖的方式表示出來。

生3：左邊一段是小明每分鐘行的，右邊一段是小紅每分鐘行的。他們相加就是1分鐘共行的路程，一共有這樣的四組線段，所以用（80+60）×4=560（米）。

師：是的，這樣連一連，可以讓我們看得更加清楚。

展示三：

師：為了讓大家更容易理解，老師把這樣的圖“請”到黑板上來。誰愿意再來解釋一下這個(gè)圖是什么意思？

生4：這里的紅色一段就是小明的速度，黃色一段是小紅的速度，把它們加起來就是一分鐘共行的路程。（引導(dǎo)學(xué)生移動(dòng)線段，把圖整理如下）

4.對比關(guān)系，提煉模型

師：同學(xué)們，上面的一組線段是不是更加清楚了？那么這一組線段表示的是什么？

生5：一組線段表示小明和小紅每1分鐘共行的路程，四組線段表示他們一共行了4分鐘。

師：那是不是利用了“速度×?xí)r間=路程”這個(gè)關(guān)系來解決問題？（生：是的。）這里的80+60還叫速度嗎？

生1：不是速度了，可以叫速度和。

師：是的。把兩個(gè)人的速度合在一起就可以叫速度和。它們的關(guān)系是怎樣的？

生2：速度和×?xí)r間=總路程。

師：剛才我們用兩種方法都求出了總路程，那么他們之間又有什么不同的地方呢？讓我們再來回顧一下。

課件出示：

師：是的。第一種方法是用“速度×?xí)r間”，算出小明和小紅的路程;而第二算法是先求兩人的速度和，再用速度和去乘共同行駛的時(shí)間，最后算總路程。

【評析】“相遇問題”對學(xué)生來說并不陌生，很多學(xué)生還會(huì)運(yùn)用“速度和乘時(shí)間”求總路程。因此，教師要把教學(xué)重點(diǎn)放在理解和溝通“速度和×?xí)r間=路程”和原來關(guān)系之間的聯(lián)系和區(qū)別。通過引導(dǎo)學(xué)生圍繞線段說一說、連一連、擺一擺等活動(dòng)，從多種角度表征和理解速度和，同時(shí)開展“速度和×?xí)r間=路程”和“速度×?xí)r間=路程”的討論與比較，不斷擴(kuò)展解決問題的結(jié)構(gòu)，使學(xué)生深入理解相遇問題模型。

（三）多樣變式，豐富模型

1.相反變式，感悟模型

師：接下來，我們繼續(xù)看大屏幕，題目要變一下。

課件出示：

師：想一想，上面的哪個(gè)問題也可以用這個(gè)線段圖來表示？同桌可以交流一下。

師：現(xiàn)在老師來做個(gè)調(diào)查，認(rèn)為第一個(gè)可以的請舉手，第二個(gè)呢？（學(xué)生舉手）誰愿意來說一說可以怎么表示？

生1：我認(rèn)為第一個(gè)可以，第二個(gè)不可以。因?yàn)榈谝粋€(gè)是相向而行，第二個(gè)是背向而行。

生2：我覺得第二個(gè)也可以，雖然是背向而行，但題目中講了是從同一個(gè)地點(diǎn)出發(fā)的。

師：如果背向而行可以表示上面的問題，那么能用“速度和×?xí)r間=總路程”來解決嗎？

生3：可以的。因?yàn)樽筮呥@一段就表示80米，右邊這一段是60米，把他們相加就是1分鐘行的路程，這樣一共有5分鐘，所以可以用（80+60）×5=700（米）。

課件出示：

師：是的。前面是相向而行（板書），這里是背向面行，雖然行走的方向不同，但他們解決問題的方法卻是相同的。

【評析】學(xué)習(xí)完經(jīng)典習(xí)題之后，筆者設(shè)計(jì)了一些反向變式，圍繞《相背問題》的討論，讓學(xué)生再次感受“速度和×?xí)r間=路程”的關(guān)系，更重要的是讓學(xué)生感受到：原來這樣的相背問題可以運(yùn)用類似的方法來解決，從而擴(kuò)充《相遇問題》的內(nèi)涵。

2.公式變式，全面理解

師：這幅圖的意思你們看懂了嗎？誰來說說它表示的是什么問題呢？

課件出示：

生1：甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行50千米，兩地相距440千米，他們從兩地出發(fā)幾小時(shí)后相遇？

師：非常好！我們一起來看課件。

課件出示：

（1）A、B兩地相距440千米，甲乙兩車同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。甲車每小時(shí)行60千米，乙每小時(shí)行50千米。幾小時(shí)后兩車相遇？

（2）小明和小紅兩家相距360米，他們同時(shí)出發(fā)，相向而行，小明每分鐘走70米，出發(fā)3分鐘后相遇，小紅每分鐘走幾米？

師：上面兩題你們能畫出線段圖并解決問題嗎？（學(xué)生獨(dú)立操作，展示交流。）

師：我們一起來看看這個(gè)同學(xué)的方法。

展示一：

師：他的方法正確嗎？（正確）

展示二：

師：第二題，請大家仔細(xì)看一下，問題出在哪里？

生1：150是小紅3分鐘走的路程，所以150還需要除以3。

生2：這里的150是指上面的一整段，而我們要求的是小紅的速度，所以還需要把150平均分成3段。

展示三：

師：再來看看剛才這兩種算法，想一想，與我們今天學(xué)習(xí)的方法一樣嗎？

生1：第一種方法是求時(shí)間，第二種方法是求另一個(gè)速度。

生2：第一種用總路程÷速度和=時(shí)間，第二種先用總路程÷時(shí)間=速度和，再用速度和減去另一個(gè)速度。

師：其實(shí)你們說得都很有道理。雖然隨著條件和問題的變化，我們想到了“總路程÷時(shí)間=速度和”和“總路程÷速度和=時(shí)間”這兩個(gè)關(guān)系，但它們都是建立在前面關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考和解決問題。

【評析】上面兩道習(xí)題是相遇問題公式的變式，通過解決問題，學(xué)生可以感悟與提煉不同習(xí)題背后的數(shù)量關(guān)系。同時(shí)借助對比與交流，使學(xué)生了解到公式之間有著緊密的聯(lián)系，它們都是由“速度和×?xí)r間=路程”演變而來，幫助學(xué)生理解不同數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系與區(qū)別，促進(jìn)學(xué)生全面深入地理解相遇問題模型。

3.遷移變式，拓展模型

師：同學(xué)們，知道今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么嗎？

生1：行程問題。

生2：相遇問題。

師：是的，我們今天學(xué)習(xí)的就是行程問題中的相遇問題。剛才我們用畫圖的方法解決了很多行程的問題，那么，生活中還有哪些問題也可以用這樣的方法來解決呢？

課件出示：

師：這是挖隧道問題，可以用畫圖的方法來解決嗎？

師：其實(shí)生活還有很多問題，比如兩個(gè)人跳繩、兩個(gè)人打字等問題都可以用這樣的方法來解決。

課件出示：

【評析】在課堂結(jié)束環(huán)節(jié)揭題，其實(shí)就是讓學(xué)生在慢慢解決問題的過程中，逐步滲透擴(kuò)充相遇問題的模型，促使學(xué)生有效地理解。把相遇問題的方法遷移到生活中的其他速度類問題，有效溝通了不同習(xí)題之間的聯(lián)系，使得學(xué)生再次感悟“速度和×?xí)r間=總數(shù)”這種模型，也為今后學(xué)生解決這類問題打下基礎(chǔ)，有效提升學(xué)生解決問題的能力。

雖然“相遇問題”并非四年級數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，但教師要善于整合教材資源，合理設(shè)計(jì)內(nèi)容來提升解決問題教學(xué)的質(zhì)量。解決問題本身也是幫助學(xué)生感悟模型思想的主要途徑之一，隨著課程改革的深入，越來越多的教師關(guān)注數(shù)學(xué)思想的感悟與運(yùn)用，因此，教師在解決數(shù)學(xué)問題的教學(xué)中要善于收集、整理、對比和運(yùn)用材料，通過對比、溝通和遷移感悟解決問題的變與不變，有效提升學(xué)生解決問題的能力。

注：本文作者參加2019年杭州市小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀摩評比活動(dòng)中榮獲一等獎(jiǎng)。

【作者簡介】孔忠偉（1984— ），浙江杭州人，大學(xué)本科學(xué)歷，高級教師，區(qū)兼職教研員，區(qū)名師導(dǎo)航站站長，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 楊 春）