王成營(yíng)

摘 要 針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法理解和教學(xué)中存在的內(nèi)涵模糊、外延不清的問(wèn)題，基于方法論的視角，根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的實(shí)際需要，考慮小學(xué)生能夠理解的表征方式，將小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法劃分為基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)思想方法、問(wèn)題性數(shù)學(xué)思想方法、策略性數(shù)學(xué)思想方法、整體性數(shù)學(xué)思想方法四個(gè)層次，并從指導(dǎo)功能和適用情境兩個(gè)方面分析了不同層次數(shù)學(xué)思想方法的差異性。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法 指導(dǎo)功能 適用情境 差異性分析

數(shù)學(xué)思想方法是基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)中最具“神秘”色彩的概念之一，意義抽象、內(nèi)容復(fù)雜，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。學(xué)界通?；谡軐W(xué)“本質(zhì)”[1]的視角探討“數(shù)學(xué)思想方法是什么”的問(wèn)題，使數(shù)學(xué)思想方法成為脫離認(rèn)知情境和問(wèn)題情境的孤立知識(shí)，弱化了數(shù)學(xué)思想方法的思維指導(dǎo)作用，不利于數(shù)學(xué)思想方法的教與學(xué)的組織。本文嘗試基于方法論的視角，根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的實(shí)際需要，以小學(xué)生能夠理解的表征方式，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)功能和適用情境進(jìn)行差異性分析，以期幫助小學(xué)數(shù)學(xué)教師厘清數(shù)學(xué)思想方法相關(guān)概念之間的關(guān)系，加深對(duì)思想方法內(nèi)涵的理解，更有效地組織小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)活動(dòng)。

一、基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)工具是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想方法，是知識(shí)與工具本身自有的方法規(guī)定性或操作規(guī)范，是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)。數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具既是人類長(zhǎng)期數(shù)學(xué)實(shí)踐（數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造）的成果，也是進(jìn)一步開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)。當(dāng)然，不是所有數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具都可稱為數(shù)學(xué)思想方法，只有那些能夠?yàn)閿?shù)學(xué)活動(dòng)提供方法性或操作性指導(dǎo)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具才能稱為數(shù)學(xué)思想方法。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念性（陳述性）知識(shí)是包含若干要素的最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型，小學(xué)生至少要掌握數(shù)學(xué)概念的模型、結(jié)構(gòu)、讀法與寫(xiě)法中蘊(yùn)含的思想方法。例如，“自然數(shù)”概念中，除了10以內(nèi)的10個(gè)數(shù)字外，多位自然數(shù)本身就是包括“數(shù)字、數(shù)位、進(jìn)制”三個(gè)要素的結(jié)構(gòu)模型。圖1中用小棒直觀形象的表征方式呈現(xiàn)了自然數(shù)讀寫(xiě)的一些基本方法和規(guī)范要求：每個(gè)位置上只能有0～9中的1個(gè)數(shù)字;相鄰的兩個(gè)位置之間是10倍的關(guān)系——個(gè)位代表“根”，十位代表“捆”，而1捆中有10根;同樣的數(shù)字在不同位置上表示不同的含義——在十位上時(shí)代表幾“十”（捆），在個(gè)位上時(shí)代表幾“個(gè)”（根）;寫(xiě)兩位數(shù)時(shí)，兩個(gè)數(shù)字間的距離要相對(duì)靠近一點(diǎn)，不要看上去像兩個(gè)獨(dú)立的數(shù)字;讀寫(xiě)時(shí)都按照從高位到低位，即從左到右的次序;高位上先讀數(shù)字再讀數(shù)位，個(gè)位上只讀數(shù)字，不讀數(shù)位;中間數(shù)位上是0時(shí)，只讀零，不讀數(shù)位;中間連續(xù)多個(gè)數(shù)位為0時(shí)，只讀一個(gè)零。顯然，小學(xué)生不理解或不掌握以上方法和要求時(shí)，就必然會(huì)出現(xiàn)理解和讀寫(xiě)錯(cuò)誤。

圖1

小學(xué)數(shù)學(xué)命題性（程序性）知識(shí)是包含多個(gè)概念或概念要素的最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，其中小學(xué)生至少要掌握它的變式（形）方法和化歸方法（從問(wèn)題情境中建構(gòu)或識(shí)別出該數(shù)學(xué)關(guān)系模型）兩類思想方法，從而形成應(yīng)用數(shù)學(xué)命題（規(guī)則）解決相關(guān)問(wèn)題的能力。例如，數(shù)學(xué)命題s=v×t表征了路程、速度、時(shí)間三個(gè)要素間最簡(jiǎn)單的關(guān)系模型，通過(guò)s=v×t，v=，t=三種變式對(duì)應(yīng)解決求路程、求速度、求時(shí)間三類簡(jiǎn)單問(wèn)題。若小學(xué)生能夠依據(jù)對(duì)相關(guān)問(wèn)題情境的分析，聯(lián)想并識(shí)別出其中一種變式來(lái)規(guī)范地解答問(wèn)題，則表明具備了教學(xué)目標(biāo)所要求的知識(shí)應(yīng)用能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)工具性知識(shí)是關(guān)于某個(gè)量的測(cè)量活動(dòng)或制作活動(dòng)的操作性規(guī)范要求，是提高數(shù)據(jù)測(cè)量精度和符合相關(guān)活動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)的根本保證。例如，量角器的使用方法、直尺的使用方法、時(shí)鐘的識(shí)別方法等。這類思想方法依附于數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)工具，可以稱為知識(shí)性思想方法，或方法性數(shù)學(xué)知識(shí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具教學(xué)中，教師不僅要從本質(zhì)的視角，指導(dǎo)小學(xué)生從實(shí)物觀察與情境感知中獲得感性經(jīng)驗(yàn)，從制作與操作活動(dòng)中獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而從這些經(jīng)驗(yàn)中抽象概括出共同本質(zhì)——數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)命題，還要從方法的視角，將數(shù)學(xué)知識(shí)與觀察活動(dòng)、思維活動(dòng)、操作活動(dòng)等具體活動(dòng)任務(wù)和相關(guān)的問(wèn)題情境結(jié)合起來(lái)，指導(dǎo)小學(xué)生遇到類似任務(wù)或情境時(shí)怎么進(jìn)行模型識(shí)別、信息感知、并聯(lián)想相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)提供思維指導(dǎo)。

二、問(wèn)題性數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技巧

數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技巧屬于問(wèn)題性數(shù)學(xué)思想方法，是針對(duì)具體問(wèn)題整體而言的，是對(duì)某類相對(duì)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題解答過(guò)程中，某些共同的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)形式和規(guī)律的抽象概括，反映了數(shù)學(xué)知識(shí)獲得過(guò)程與問(wèn)題解決過(guò)程的本質(zhì)。不考慮策略選擇的情況下，復(fù)雜問(wèn)題的具體解答過(guò)程也稱為解題方法。

數(shù)學(xué)方法通常包含三個(gè)要素：明確的目的、適用的條件或范圍、操作的步驟或次序。世上沒(méi)有萬(wàn)能的方法，任何方法都是有條件、有目的的。數(shù)學(xué)方法的目的代表了思維的方向、指向或意圖，解釋“為什么要這樣做”。數(shù)學(xué)方法的“適用條件”解釋“什么時(shí)候可以這樣做”，決定了“什么情境下應(yīng)用這種方法”，或者說(shuō)，“感知到情境中的哪些信號(hào)時(shí)應(yīng)聯(lián)想到這種方法”。數(shù)學(xué)方法的“操作步驟或次序”解釋“如何做”、“怎樣做”，代表了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和程序性，決定了“應(yīng)該怎么做”，或者說(shuō)，“必須怎樣做”。如果不能嚴(yán)格按照要求操作，方法應(yīng)用過(guò)程中就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法必須深刻理解上述三個(gè)要素，才能真正掌握這個(gè)方法。否則，就會(huì)在個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題情境等多個(gè)因素的干擾下出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。

例如，在計(jì)算23+15-28+7-11=（20+3）+（10+5）-（30-2）+（10-3）-（10+1）=6的過(guò)程中運(yùn)用了“湊十法”。“湊十法”的適用條件是：100以內(nèi)自然數(shù)的加減運(yùn)算。目的是將兩位數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)的加減運(yùn)算，從而通過(guò)口算提升運(yùn)算速度，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性。操作步驟主要包括兩步：先將每個(gè)兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為整十加或減一個(gè)小于5的自然數(shù)，再分別對(duì)所有整十的數(shù)與所有小于5的數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算。當(dāng)然，在實(shí)際運(yùn)用“湊十法”的過(guò)程中，可以不必寫(xiě)出上述轉(zhuǎn)化過(guò)程，而是直接在原數(shù)下方進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)口算直接寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果?！皽愓ā笔菍ⅰ皽愂ā蓖茝V到多位數(shù)加減運(yùn)算的情形，方法的目的與操作步驟基本相同，但適用范圍需要相應(yīng)做出調(diào)整。

數(shù)學(xué)技巧是對(duì)數(shù)學(xué)基本方法的靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)技巧的“巧”在于針對(duì)特殊問(wèn)題情境采取特殊處理方法或思維方式，它給人一種“巧妙”之感，具體表現(xiàn)為計(jì)算方法之恰當(dāng)、計(jì)算程序之簡(jiǎn)潔。數(shù)學(xué)技巧是在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，根據(jù)問(wèn)題的一些特殊性質(zhì)或條件所選擇的具有發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的特殊方法，它往往不被一般人所發(fā)現(xiàn)。在解題過(guò)程中，當(dāng)感覺(jué)到問(wèn)題的圖形、條件有某些特殊性時(shí)，可考慮超越一般的方法，嘗試發(fā)現(xiàn)更巧妙的解法，從而達(dá)到事半功倍的效果。

三、策略性數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)學(xué)策略與解題思路

數(shù)學(xué)策略與解題思路屬于策略性數(shù)學(xué)思想方法，是對(duì)某類包含多個(gè)步驟、多個(gè)問(wèn)題組合或嵌套結(jié)構(gòu)的復(fù)雜問(wèn)題的解答過(guò)程中所運(yùn)用的方法系統(tǒng)，是對(duì)結(jié)構(gòu)的調(diào)整、重組與優(yōu)化的思維活動(dòng)的抽象概括。

任何數(shù)學(xué)問(wèn)題情境或數(shù)學(xué)活動(dòng)任務(wù)都是一個(gè)由已知條件與求證結(jié)論（活動(dòng)目標(biāo)）組成的數(shù)學(xué)模型或信息系統(tǒng)。在相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題情境的已知條件系統(tǒng)中，條件數(shù)量越多，條件之間形成的數(shù)學(xué)關(guān)系或數(shù)學(xué)模型也就越復(fù)雜。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決或活動(dòng)設(shè)計(jì)的過(guò)程本質(zhì)上是建構(gòu)已知條件與求證結(jié)論的邏輯鏈的過(guò)程。邏輯鏈的末端是確定的，即求證的結(jié)論或活動(dòng)目標(biāo)，但邏輯鏈的始端卻是不定的。從不同的已知條件出發(fā)會(huì)建構(gòu)出不同“長(zhǎng)度”的邏輯鏈，會(huì)耗費(fèi)不同的思維活動(dòng)量，也就形成了不同的解題策略。在這些不同的解題方法或活動(dòng)方案中，邏輯鏈相對(duì)最短、耗費(fèi)思維活動(dòng)量最少的方法，就稱為該問(wèn)題的最優(yōu)解法。通過(guò)將相對(duì)復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的若干個(gè)“原型問(wèn)題”，再將每個(gè)“原型問(wèn)題”的通用方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的組合、聯(lián)結(jié)，從而解決整個(gè)問(wèn)題的方法，稱為常規(guī)方法。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一年級(jí)上冊(cè)第110頁(yè)的第16題，如圖2所示。

圖2

此題的任務(wù)是明確的，就是從入口走到出口，但走的過(guò)程需要多個(gè)步驟，且面臨多種可能路徑的選擇，使得這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題成為一個(gè)蘊(yùn)含策略性思想方法的復(fù)雜方法系統(tǒng)。首先，“入口”與“出口”這兩個(gè)已知條件中蘊(yùn)含著“正走”與“倒走”兩種完全不同的解題策略。還可以采用“兩頭同時(shí)走，中間碰頭”的策略，畢竟兩頭確定路線的難度要遠(yuǎn)小于到中間的“迷宮”里尋找路線。其次，“入口”與“出口”處的“情境”是相同的，都是兩個(gè)2與一個(gè)奇數(shù)。 最后，按照題目的要求，走的路線選擇必須按照2-4-6-8-2-4-6-8……的數(shù)字順序，其中隱含著三條重要信息：奇數(shù)不能走，即不必選擇;從“入口”的2出發(fā)“正走”時(shí)，后面的4有兩種選擇;從“出口”的2出發(fā)“倒走”時(shí)，前面的8只有一種選擇。這些信息說(shuō)明兩種解題策略之間存在差異，從數(shù)學(xué)思想方法視角看，是有探究?jī)r(jià)值的。

顯然，大部分小學(xué)生通常是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在明確題意后便自然而然地采用“正走”策略。但可能很快會(huì)遇到“斷路”，不得不返回來(lái)重新選擇。善于運(yùn)用分類思想的同學(xué)可以運(yùn)用上述已知條件，嘗試探索出所有的可能路徑。沒(méi)有分類意識(shí)的小學(xué)生可能會(huì)陷入“迷宮”而不知所措。對(duì)于一年級(jí)小學(xué)生，教師應(yīng)該在學(xué)生解決問(wèn)題后進(jìn)行思想方法的啟發(fā)、引導(dǎo)、講解和分析，初步滲透“最優(yōu)解法”的觀念和意識(shí)。對(duì)于高年級(jí)小學(xué)生則應(yīng)從分析題目信息入手，重點(diǎn)進(jìn)行策略方法的探究，最后再運(yùn)用“最優(yōu)解法”完成問(wèn)題解答。

總之，從數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的視角看，通過(guò)對(duì)這類典型問(wèn)題進(jìn)行全面深入的思想方法探索，不僅有利于小學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合與認(rèn)知重構(gòu)，更使數(shù)學(xué)知識(shí)適應(yīng)了多變的問(wèn)題情境，培養(yǎng)和提高了學(xué)生的問(wèn)題解決能力，取得了“舉一反三”的學(xué)習(xí)效果和教學(xué)效果。

四、整體性數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)觀念

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)觀念屬于整體性數(shù)學(xué)思想方法，是指在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)操作、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決等活動(dòng)中起到方向指導(dǎo)和整體統(tǒng)攝作用的共同的思維活動(dòng)規(guī)律、思維結(jié)果或形成的觀點(diǎn)與觀念體系。

那么，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)觀念到底是什么？數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)觀念有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？“思想”由“思”與“想”構(gòu)成，既可以作為動(dòng)詞，指思維活動(dòng)或思考，也可以作為名詞，指思維過(guò)程。通俗地講，“數(shù)學(xué)思想”就是指“數(shù)學(xué)思考”的過(guò)程。這里的“數(shù)學(xué)思考”不同于“數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)”，通常是指對(duì)普遍的、重大的、根本性問(wèn)題的思考。因此，數(shù)學(xué)思想不同于數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)思想側(cè)重人的思維活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)問(wèn)題解決的思維過(guò)程、思維模式與思維方法。數(shù)學(xué)知識(shí)側(cè)重客觀事物的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)客觀事物在人腦中心理反映結(jié)果。例如，分類思想是指當(dāng)思維對(duì)象數(shù)量較大、雜亂無(wú)章、或者處于不確定狀態(tài)時(shí)，為了使思維能夠有效進(jìn)行而將思維對(duì)象依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)分成不同種類，使研究對(duì)象數(shù)量減少、條理清晰、狀態(tài)確定，從而降低思維載荷和難度的一種數(shù)學(xué)思想。當(dāng)數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于具體問(wèn)題或具體情境時(shí)，應(yīng)稱為數(shù)學(xué)方法。例如，對(duì)于各種各樣的三角形，人們通常有兩種分類方法（不能稱為分類思想）：按照三角形內(nèi)角的大小分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形;按照三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系分為等邊三角形、等腰三角形、不等腰三角形。因而數(shù)學(xué)思想又被看作是對(duì)數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步抽象概括，反應(yīng)了某類數(shù)學(xué)方法的共同本質(zhì)。

“觀念”由“觀”與“念”構(gòu)成。“觀”是人們認(rèn)識(shí)事物的一種方法，“念”是事物反映到人腦中形成的一種意識(shí)形態(tài)或心理表象。通俗地講，觀念是指人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活和生產(chǎn)實(shí)踐當(dāng)中形成的對(duì)某個(gè)領(lǐng)域或某類事物的總體的綜合認(rèn)識(shí)或系統(tǒng)認(rèn)識(shí)。觀念是客觀事物見(jiàn)之于主觀的結(jié)果，它一方面反應(yīng)了客觀事物的不同屬性，同時(shí)體現(xiàn)出個(gè)體的主觀色彩，使不同個(gè)體間呈現(xiàn)出顯著的差異性。觀念來(lái)自于思想，思想源于問(wèn)題情境。因此，觀念的形成是思想的系統(tǒng)化結(jié)果，思想的形成來(lái)自對(duì)于普遍的、重大的、根本性問(wèn)題的思考和解答。主體的行為由意識(shí)驅(qū)動(dòng)，行為的性質(zhì)由觀念決定，觀念的形成來(lái)自于思想，思想來(lái)自于主體對(duì)本身思維活動(dòng)規(guī)律的反思和系統(tǒng)化。沒(méi)有主體有意識(shí)的反思就沒(méi)有思想，也就不會(huì)形成綜合觀念。

綜上所述，數(shù)學(xué)思想方法實(shí)事上是一個(gè)總稱，根據(jù)其思維功能不同可以分為四個(gè)層次：一是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)觀念，通常適用于依據(jù)特定認(rèn)知對(duì)象或問(wèn)題情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息做出整體判斷和選擇，為數(shù)學(xué)思維提供戰(zhàn)略性、方向性指導(dǎo);二是數(shù)學(xué)策略與數(shù)學(xué)思路，通常適用于解決復(fù)雜性較高問(wèn)題過(guò)程中的方法路徑選擇，為數(shù)學(xué)思維提供策略性、思路性指導(dǎo);三是數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技巧，通常為解決具體問(wèn)題提供方法或?yàn)閷?shí)施具體數(shù)學(xué)活動(dòng)提供操作程序，為數(shù)學(xué)思維提供方法性、操作性指導(dǎo);四是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)工具，適用于各類數(shù)學(xué)活動(dòng)，是作為基礎(chǔ)性、標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)模型，為數(shù)學(xué)思維提供知識(shí)性、工具性、方式性指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)

[1] 鐘志華.數(shù)學(xué)思想方法的理解探索[J].教學(xué)與管理，2009（10）：43-46.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]