龔含笑 張僑平 唐恒鈞

【摘 要】 動(dòng)態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)中對(duì)學(xué)生有挑戰(zhàn)的一類問題.因?yàn)樯婕岸鄠€(gè)數(shù)學(xué)概念以及蘊(yùn)含圖形的動(dòng)態(tài)變化，這類問題在學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)上具有重要價(jià)值，因此值得在教學(xué)中有意識(shí)地應(yīng)用.問題鏈教學(xué)通過簡(jiǎn)化的子問題為學(xué)生提供思維臺(tái)階，以降低學(xué)生研究這類問題的門檻;另一方面又通過問題間所具有的思維關(guān)系，為學(xué)生提供思考這類問題的思維脈絡(luò)，使學(xué)生有機(jī)會(huì)在解決問題中發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

【關(guān)鍵詞】 問題鏈;思維脈絡(luò);動(dòng)態(tài)幾何問題

初中生學(xué)習(xí)幾何，特別是平面幾何，已經(jīng)從小學(xué)階段認(rèn)識(shí)圖形及其基本性質(zhì)，轉(zhuǎn)而開始探討幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、推論和證明一些幾何結(jié)論.如果再融合幾何圖形的變化（如平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等），相應(yīng)的幾何問題就更復(fù)雜了.動(dòng)態(tài)幾何問題即為這樣一類問題，并頻繁出現(xiàn)在中考試題中，相應(yīng)的解題分析也不少[1-2].2020年中考結(jié)束后，以下問題（圖1）曾引起熱議.該題給出了圖形初始位置和終結(jié)位置，研究動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線即為研究符合條件的所有點(diǎn)的集合.如果只是直觀觀察和想象這一動(dòng)態(tài)變化，學(xué)生在有限的答題時(shí)間內(nèi)只用紙筆作答并不容易.事實(shí)上，通過四分之一圓周圖形的翻滾，本題中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑包含線段和圓弧，路線計(jì)算比較復(fù)雜，已經(jīng)超出了初中的知識(shí)水平.

問題 如圖1所示，將一個(gè)半徑OA=10cm，圓心角∠AOB=90°的扇形紙板放置在水平面的一條射線OM上，在沒有滑動(dòng)的情況下，將扇形AOB沿射線OM翻滾至OB再次回到OM上時(shí)，則半徑OA的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為_______________cm.（計(jì)算結(jié)果不取近似值）

如果撇開這一問題出現(xiàn)在試題中是否合理的討論不說，將其作為一個(gè)教學(xué)問題進(jìn)行探討，則可以啟發(fā)我們思考以下兩個(gè)問題：一是設(shè)計(jì)這一類問題的教學(xué)目標(biāo)為何？二是該如何有效地組織教學(xué)以啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？本文試圖立足問題鏈思維對(duì)這兩個(gè)問題進(jìn)行探討.

1 問題鏈思維

前面提到，學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的過程也是其幾何思維逐步發(fā)展的過程.按照范希兒（Van Hiele）的幾何思維發(fā)展層次理論，這一過程包括視覺的（僅經(jīng)視覺觀察來辨認(rèn)圖形）、描述的（能分析并確認(rèn)圖形的性質(zhì)、組成要素及其之間的關(guān)系）、非形式演繹的（探索圖形的內(nèi)在性質(zhì)及各圖形間的包含關(guān)系）、形式演繹的（能運(yùn)用演繹邏輯進(jìn)行推理證明）和嚴(yán)密的（能在不同的共設(shè)體系中建立定理）等五個(gè)層次.由此可見，無論是認(rèn)識(shí)靜態(tài)的幾何圖形還是動(dòng)態(tài)圖形的變化，均從視覺觀察開始，及至初中，達(dá)到第三或者第四層次.上述動(dòng)態(tài)幾何問題，學(xué)生僅憑借幾何直觀很難想象出動(dòng)態(tài)變化的過程，以及在此過程中圖形的位置.因此，我們需要將這一變化過程由淺入深地進(jìn)行分層次剖析，并借助代數(shù)的方法，逐步抽象和模型化[3].也可以說，解決這類幾何問題有助于學(xué)生經(jīng)歷從直觀幾何、演繹幾何到解析幾何的學(xué)習(xí)歷程.

為了促進(jìn)學(xué)生思維過程與思維活動(dòng)的有序整合與規(guī)劃，我們借助問題鏈的思維對(duì)此進(jìn)行分析.數(shù)學(xué)問題鏈重視數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)聯(lián)，以核心數(shù)學(xué)思維作為基本依據(jù)，為學(xué)習(xí)者的深度思考提供內(nèi)在脈絡(luò).核心數(shù)學(xué)思維是指數(shù)學(xué)特有的或多個(gè)學(xué)科共有的、具有方法論意義的思維方式與方法，比如邏輯推理、一般化與特殊化、分析與綜合、類比、化歸等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的基本方式[4].問題鏈思維是一種辯證的動(dòng)態(tài)思維，以問題為抓手，以核心數(shù)學(xué)思維為主線，兼具建構(gòu)性與邏輯性.設(shè)計(jì)問題鏈?zhǔn)情_展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的一種基本方法，它的目的則是希望通過設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)思維方法為主線的、不斷演進(jìn)和發(fā)展的主干問題序列，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者逐步從點(diǎn)狀的零散思維向整體系統(tǒng)化思維發(fā)展.因此，問題鏈在設(shè)計(jì)的過程中，往往不是由某一種數(shù)學(xué)核心思維指導(dǎo)而成，而是采用混合的形式以適應(yīng)需要.

2 以問題鏈設(shè)計(jì)來理解動(dòng)態(tài)幾何問題

在初中階段，平面圖形的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是圖形中的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).“點(diǎn)的集合”主要集中在兩個(gè)方面.一是從幾何圖形的直觀性來看，作為平面幾何中“線”的本質(zhì)，所謂點(diǎn)動(dòng)成線.比如，角平分線可以看成到角兩邊的距離相等的點(diǎn)的集合，線段垂直平分線可以看成到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合，而圓即為到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.另一方面，從幾何圖形的解析性來看，作為函數(shù)圖像的本質(zhì).坐標(biāo)賦予了每一個(gè)幾何點(diǎn)解析意義，坐標(biāo)滿足一定函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)的集合即為該函數(shù)的圖像.比如，一次函數(shù)的圖像為直線，反比例函數(shù)的圖像為雙曲線，二次函數(shù)的圖像為拋物線.因此，求解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑主要有幾何法、解析法兩種方法，而點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑主要分成直線型（直線、射線、線段）、曲線型（圓或圓弧、雙曲線、拋物線）兩類.

本文一開始提到的問題，涉及的圖形盡管是一個(gè)扇形，但包含的路徑有直線和曲線兩種.圖形的翻滾牽涉到直線圖形和曲線圖形上點(diǎn)的變化，想要直接求解，難度較大.我們可以借助問題鏈的設(shè)計(jì)思維，通過一些有關(guān)聯(lián)的中間問題的過渡來分步解決.換言之，將問題分成幾個(gè)中間問題，再對(duì)各問層層深入，利用中間問題的解決提供部分結(jié)果與解題方法.其中，各個(gè)中間問題之間既相對(duì)獨(dú)立，又彼此之間存在聯(lián)系.因此，在分析與綜合思維方法的指導(dǎo)下，我們嘗試構(gòu)建以下問題綜合鏈，從不同的角度來解決圖形的翻滾問題，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

2.1 簡(jiǎn)單圖形的翻滾問題

要解答一個(gè)困難的問題，可以試圖先從簡(jiǎn)單的問題出發(fā).在初中階段，簡(jiǎn)單平面圖形主要有多邊形（包括三角形）與扇形（包括圓），從它們?nèi)胧诌M(jìn)行歸類分析，可以幫助我們探索此類運(yùn)動(dòng)變化中的規(guī)律.

問題1.1 一塊等邊三角形的木板，邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將木板沿水平線從左向右翻滾（如圖2），那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長(zhǎng)度為______________.

問題1.2 矩形ABCD的邊AB=8，AD=6，現(xiàn)將矩形ABCD放在直線l上且沿著l向右作無滑動(dòng)地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開始的位置A1B1C1D1時(shí)（如圖3），則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長(zhǎng)是_____________.

問題1.3 將半徑1，圓心角為60°的扇形AOB，在直線l上向右作無滑動(dòng)的翻滾至扇形A′O′B′處（如圖4），則頂點(diǎn)O經(jīng)過的路線長(zhǎng)為_______________.

問題1.4 如圖5，一個(gè)圓心角為270°，半徑為2m的扇形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，A，B兩點(diǎn)觸地放置，搬動(dòng)時(shí)，先將扇形以B為圓心，作如圖所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，再使它緊貼地面滾動(dòng)，當(dāng)A，B兩點(diǎn)再次觸地時(shí)停止，則圓心O所經(jīng)過的路線長(zhǎng)是_______________m.

簡(jiǎn)單圖形的翻滾問題為動(dòng)態(tài)幾何的基礎(chǔ)問題，問題1.1至1.4的解決都只要找出所求點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的旋轉(zhuǎn)圓心、旋轉(zhuǎn)時(shí)圓的半徑以及圓心角，并利用扇形的弧長(zhǎng)公式計(jì)算其路徑長(zhǎng)度即可.如果是圓弧在直線上滾動(dòng)的話，圓心的路徑是直線型.事實(shí)上，簡(jiǎn)單圖形的翻滾問題是單動(dòng)點(diǎn)路徑問題，所形成的路徑是直線型或曲線型（一般為圓或圓?。?我們可以進(jìn)一步思考，雙動(dòng)點(diǎn)路徑問題，甚至是多動(dòng)點(diǎn)路徑問題該如何處理？因此，下面我們繼續(xù)探討不同路線類型的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).

2.2 直線型運(yùn)動(dòng)路徑

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是直線型，一般有兩種情況.一是動(dòng)點(diǎn)到某直線的距離為定值.二是動(dòng)點(diǎn)與起始時(shí)刻位置的點(diǎn)的連線與某條直線的夾角為定值.顯然，第二種難度比第一種大，后者一般需要通過建立直角坐標(biāo)系解決.

問題2.1 如圖6，已知AB=10，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACP和△PDB，連接CD，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)是___________________________.

問題2.2 如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CA向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為________________.

雙動(dòng)點(diǎn)直線型運(yùn)動(dòng)路徑問題的解決從判斷動(dòng)點(diǎn)類型（主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)）開始，進(jìn)而確定與主、從動(dòng)點(diǎn)聯(lián)系緊密的關(guān)鍵點(diǎn).前面提到，求解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑主要有幾何法、解析法兩種方法.從幾何方法入手，問題2.1既可以考慮補(bǔ)形（構(gòu)造平行四邊形CPDH），又可以考慮作垂線段（分別過點(diǎn)C、G、D作AB的垂線段）;而在問題2.2中，PQ中點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中到已知直線的距離并不為定值，考慮該動(dòng)點(diǎn)與起始時(shí)刻位置的點(diǎn)的連線與某條直線的夾角為定值，因此通過作垂線段構(gòu)造相似關(guān)系，進(jìn)而得到與夾角相關(guān)的邊長(zhǎng).從解析法入手，只要建立合適的直角坐標(biāo)系，并表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都可用同一個(gè)變量x（指數(shù)為1）表示時(shí)即可確定動(dòng)點(diǎn)路徑是直線型，最后求解線段的長(zhǎng)度.

2.3 曲線型運(yùn)動(dòng)路徑

在初中階段，幾何動(dòng)點(diǎn)的曲線型運(yùn)動(dòng)路徑一般為圓或圓弧.要解決此類問題，主要分為兩種情況.一是動(dòng)點(diǎn)到某點(diǎn)的距離為定值.其原理為圓的本質(zhì)，即到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合為圓.二是動(dòng)點(diǎn)和某兩個(gè)定點(diǎn)所組成的夾角為固定值.其原理為圓周角定理的推論，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.

問題3.1 如圖8，一根長(zhǎng)為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時(shí)BC為1米，當(dāng)A點(diǎn)下滑至A′處并且A′C=1米時(shí)，木棒AB的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為__________________米.

問題3.2 如圖9，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，將紙片沿PB折疊，得到點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（P在C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是本身），則折疊過程中對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的路徑長(zhǎng)是____________________.

問題3.3 如圖10，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P.從點(diǎn)P向半徑OA引垂線PH交OA于點(diǎn)H.設(shè)△OPH的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為__________________cm.

問題3.4 如圖11，△ABC，△EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M.當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值為____________________.

第一種情況的問題較為基礎(chǔ).比如，問題3.1利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，且直角頂點(diǎn)固定、斜邊長(zhǎng)度固定，因此確定點(diǎn)P的路徑是圓弧型;問題3.2則利用對(duì)稱變換得到BD=BC，確定點(diǎn)D的路徑為以點(diǎn)B為圓心、線段BD為半徑的圓弧.第二種情況的突破口在于結(jié)合已有條件找到與所求動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的定角.比如，問題3.3利用內(nèi)心的定義構(gòu)造全等三角形，確定∠AIO為定角，進(jìn)而明確點(diǎn)I的運(yùn)動(dòng)路徑并計(jì)算其長(zhǎng)度;問題3.4則利用等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)構(gòu)造相似三角形，確定∠AMC為直角，進(jìn)而明確點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡并計(jì)算BM長(zhǎng)的最小值.

3 若干反思

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維中的矛盾一般表現(xiàn)出“問題性”，而問題是思維的聚焦點(diǎn)，可見問題與思維存在著直接聯(lián)系.數(shù)學(xué)問題的解決需要教師對(duì)學(xué)生的探究進(jìn)行恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，構(gòu)建問題鏈?zhǔn)翘嵘龑W(xué)生數(shù)學(xué)思維的一種重要方法.面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，通過對(duì)它進(jìn)行分析、綜合、引申、深化、收斂、推廣得到新的問題，然后確定問題間的聯(lián)系，最終能形成問題鏈.在問題鏈的學(xué)習(xí)過程中，問題的逐次推進(jìn)是在核心數(shù)學(xué)思維指導(dǎo)下進(jìn)行的.有形的問題鏈?zhǔn)且幌盗斜舜岁P(guān)聯(lián)又獨(dú)立的問題，無形的問題鏈則是學(xué)生頭腦中關(guān)聯(lián)起來的數(shù)學(xué)思維.

事實(shí)上，數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)是一個(gè)縱橫交錯(cuò)的命題鏈結(jié)構(gòu)，也可用類似于問題鏈的結(jié)構(gòu)來描述和解釋[5].問題鏈的構(gòu)建具有多向性或分枝性，不同主干問題具有交叉聯(lián)系，其中所涉及的知識(shí)是縱橫交錯(cuò)的，所涉及的方法是多樣且相通的，因此實(shí)際教學(xué)時(shí)強(qiáng)調(diào)知識(shí)的多維度展開與方法的多樣性[6-7].這其實(shí)也反映了數(shù)學(xué)思維的復(fù)雜性.比如，問題2與3的解決過程中都涉及幾何的多個(gè)知識(shí)，可以用幾何方法解決.與此同時(shí)，直線型路徑問題也可通過建立直角坐標(biāo)系利用解析法進(jìn)行解決，幾何與代數(shù)是相通互換的.唯一存在困難的是，圓或圓弧型路徑的解析式在初中階段尚未涉及，只能通過幾何方法進(jìn)行解決.

問題鏈作為組織教學(xué)的主要邏輯，在實(shí)施時(shí)應(yīng)考慮以問題功能為依據(jù)為學(xué)生提供思考與表達(dá)的空間.這即是指，問題并不是完全由教師呈現(xiàn)在課堂上，有些問題更希望學(xué)生能在思維脈絡(luò)引領(lǐng)下自主發(fā)現(xiàn)和提出[4].比如，文中的問題（中考題）是起點(diǎn)性問題，觸發(fā)學(xué)習(xí)的產(chǎn)生，由教師提出.但之后的問題1及其子問題并不完全由教師一一呈現(xiàn)，而是學(xué)生的結(jié)合自己的學(xué)情自發(fā)提出從三角形到長(zhǎng)方形，再到扇形，甚至菱形、平行四邊形等圖形的翻滾問題.最后，由教師提出提煉性問題，引導(dǎo)學(xué)生歸納簡(jiǎn)單圖形翻滾問題的不變本質(zhì)，形成這類問題的通性通法，并根據(jù)路徑的不同類型增加動(dòng)點(diǎn)引申出問題2與3.這樣一來，學(xué)生通過有脈絡(luò)的思考過程形成自己的理解與體悟，又通過互動(dòng)交流促進(jìn)思考過程的重新梳理與語言外化，更大程度地發(fā)揮自由性、主動(dòng)性、積極性、創(chuàng)造性，這正是促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的最佳狀態(tài).

參考文獻(xiàn)

[1]徐駿.盤點(diǎn)圖形在直線上翻滾過程中和點(diǎn)相關(guān)的一類路徑（位置）問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（04）：57-59.

[2]馬恒平.例談動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（10）：42-44.

[3]Van Hiele P M. Structure and Insight： A Theory of Mathematics Education[M]. Orlando， FL： Academic Press. 1986.

[4]唐恒鈞，張維忠，陳碧芬.基于深度理解的問題鏈教學(xué)[J].教育發(fā)展研究，2020，40（04）：53-57.

[5]黃光榮.問題鏈方法與數(shù)學(xué)思維[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（02）：35-37.

[6]龔含笑，唐恒鈞.基于挑戰(zhàn)性任務(wù)的數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)研究——基于“余弦定理”的教學(xué)探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（09）：13-15.

[7]龔含笑，唐恒鈞.數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)研究——基于“空間兩點(diǎn)間的距離公式”教學(xué)探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（34）：19-21.作者簡(jiǎn)介 龔含笑（1995—），女，浙江慈溪人，教育碩士，寧波外國(guó)語學(xué)校數(shù)學(xué)教師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.