錢向東， 李震東， 李 晨

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098)

阻尼是描述結(jié)構(gòu)振動(dòng)過程中能量耗散的動(dòng)力特性，是影響結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的重要因素之一，但由于其機(jī)理復(fù)雜，是人們了解得最少的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)要素之一，不能像結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度等其他動(dòng)力特性那樣比較確切地表達(dá)。在工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中常將阻尼抽象為某種方便的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)與結(jié)構(gòu)反應(yīng)物理量等效的原則確定其參數(shù)。

目前，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中最常用的阻尼模型為黏滯阻尼模型，該模型假定阻尼的大小與瞬時(shí)變形速度成正比，而方向與速度相反。黏滯阻尼模型由Rayleigh[1]首先提出，Rayleigh還進(jìn)一步理想化地假設(shè)阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，因此這種阻尼模型還被稱為“瑞利阻尼”“比例阻尼”或“經(jīng)典阻尼”?；陴枘崮Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)動(dòng)力方程現(xiàn)已形成了一系列成熟的求解方法。在水工設(shè)計(jì)領(lǐng)域，混凝土重力壩的地震響應(yīng)分析和抗震設(shè)計(jì)也是采用基于黏滯阻尼模型的動(dòng)力學(xué)理論和方法。然而，從黏滯阻尼的機(jī)理分析,不難看出其振動(dòng)一周的耗能與外干擾頻率成正比,這與許多試驗(yàn)研究所觀察到的結(jié)果不符合[2]。因此，基于黏滯阻尼模型的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析結(jié)果可能與結(jié)構(gòu)的實(shí)際動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生偏差，從而影響結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的安全性和合理性。

為了更好地描述結(jié)構(gòu)振動(dòng)的阻尼特性，人們提出了多種阻尼理論。這些理論基本上可以分為兩類：一類是基于阻尼過程的物理機(jī)理,每一種理論對(duì)應(yīng)著一種具體的阻尼現(xiàn)象；另一類注重?cái)?shù)學(xué)處理上的方便,并不對(duì)應(yīng)某一種具體的阻尼機(jī)理。結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中的阻尼所包含的耗能因素很多,機(jī)理相當(dāng)復(fù)雜,難以采用具體的阻尼現(xiàn)象所對(duì)應(yīng)的阻尼理論進(jìn)行準(zhǔn)確的解釋和模擬。因此，在選取阻尼模型時(shí)依然傾向于數(shù)學(xué)處理上的方便，其中卷積型非黏滯阻尼模型因其在數(shù)學(xué)表達(dá)上相對(duì)簡單，受到了研究者的關(guān)注[3-6]。該阻尼模型的阻尼力與速度的時(shí)間歷程相關(guān)，在數(shù)學(xué)上表示為某一核函數(shù)與速度的卷積，可以更廣泛地描述不同機(jī)制的阻尼作用，特別是阻尼作用的時(shí)滯效應(yīng)。在卷積型非黏滯阻尼模型中，通過選擇不同的核函數(shù)表達(dá)不同的阻尼模型，當(dāng)核函數(shù)為狄拉克-δ函數(shù)時(shí)，該模型退化為黏滯阻尼模型。

混凝土材料具有黏彈性性質(zhì)，彈性變形中的能量損耗與時(shí)間歷史相關(guān)。本文嘗試采用卷積型非黏滯阻尼模型分析混凝土重力壩的地震響應(yīng)。選擇指數(shù)函數(shù)為非黏滯阻尼的核函數(shù)，導(dǎo)出了非黏滯阻尼振動(dòng)方程的狀態(tài)空間表達(dá)式，以時(shí)域精細(xì)積分法求解地震作用下某重力壩響應(yīng)時(shí)程，分析比較指數(shù)阻尼模型的松弛參數(shù)對(duì)壩體響應(yīng)的影響。

1 非黏滯阻尼模型與振動(dòng)方程

1.1 阻尼模型

在卷積型非黏滯阻尼模型中，指數(shù)阻尼模型是特別有前途的一種模型[6]，尤其在黏彈性材料領(lǐng)域，該阻尼模型是建立在良好的物理基礎(chǔ)之上的[7]。對(duì)于單自由度體系，阻尼力可以用卷積積分表示為

(1)

顯然，當(dāng)μ→∞時(shí)，核函數(shù)g(t)=μe-μt→δ(t)。此時(shí)，指數(shù)阻尼模型退化為黏滯阻尼模型：

(2)

關(guān)于混凝土材料松弛參數(shù)μ的取值，目前還很少有相關(guān)的試驗(yàn)資料，根據(jù)少量的針對(duì)鋼筋混凝土梁的試驗(yàn)和阻尼參數(shù)設(shè)計(jì)的研究成果[9-11]，μ的取值在130 s-1左右。

1.2 振動(dòng)方程

重力壩地震響應(yīng)分析一般采用有限單元法將問題簡化為多自由度振動(dòng)問題。對(duì)于多自由度體系，指數(shù)阻尼情況下的阻尼力向量可以表示為

(3)

如果取n=1，則具有N個(gè)自由度體系的振動(dòng)方程為

(4)

只考慮地震作用時(shí)

(5)

當(dāng)采用無質(zhì)量地基模型時(shí)，質(zhì)量矩陣M具有零主元素，其逆矩陣不存在。設(shè)M的非零主元素個(gè)數(shù)為m，則引入m個(gè)線性無關(guān)向量rj∈RN(j=1,2,…,m)，組成N×m階矩陣：

r=(r1,r2,…,rm)

(6)

(7)

對(duì)式(7)兩邊同時(shí)前乘rT，則有

(8)

2 振動(dòng)方程的精細(xì)積分算法

非黏滯阻尼多自由度體系振動(dòng)方程(4)或(8)是一組耦合的二階微分積分方程，常規(guī)的振型疊加法和數(shù)值積分法難以直接應(yīng)用。通常采用引入輔助變量或狀態(tài)變量，在狀態(tài)空間中采用直接積分法和振型疊加法進(jìn)行求解[12-13]，前者得到的計(jì)算結(jié)果精度高，但計(jì)算量巨大，而后者雖計(jì)算速度較快，但精度較低。也有研究者對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)值積分法進(jìn)行改進(jìn)并應(yīng)用于非黏滯阻尼振動(dòng)方程的求解[14-17]。文獻(xiàn)[18]引入狀態(tài)空間并采用時(shí)域精細(xì)積分法求解了文獻(xiàn)[13]的算例，計(jì)算效率明顯提高。本文利用指數(shù)型非黏滯阻尼的特點(diǎn)，采用狀態(tài)空間時(shí)域精細(xì)積分法求解振動(dòng)方程(8)。

(9)

則方程(8)可以寫為

(10)

對(duì)式(9)兩邊求導(dǎo)，可得

(11)

(12)

(13)

式中：I——m×m階單位矩陣。

(14)

對(duì)時(shí)間按等間距Δt進(jìn)行離散后，則t0、t1=t0+Δt、t2=t1+Δt、…、tk+1=tk+Δt,…各時(shí)刻的數(shù)值解可以采用精細(xì)積分法計(jì)算得到，此處不再贅述，可參見文獻(xiàn)[19]。

3 算 例 分 析

以某重力壩的12號(hào)擋水壩段為例進(jìn)行計(jì)算分析，重力壩體型和斷面如圖1所示。壩頂高程1 625.00 m，壩基面高程1 422.00 m，壩高203 m，壩頂寬16 m，正常蓄水位1 619 m。壩體采用平面應(yīng)力單元，壩基采用平面應(yīng)變單元。地基左右和底部邊界施加法向約束。有限元網(wǎng)格如圖2所示。

圖1 重力壩體型及斷面(單位：m)Fig.1 Body type and section of gravity dam (units: m)

圖2 有限元網(wǎng)格Fig.2 Finite element mesh

3.1 計(jì)算條件和參數(shù)

壩體混凝土靜態(tài)彈性模量為25 GPa,容重為24 kN/m3，泊松比為0.167；地基巖體靜態(tài)彈性模量為15 GPa，容重為27 kN/m3，泊松比為0.24。動(dòng)彈性模量取靜彈性模量的1.5倍，振型阻尼比統(tǒng)一取為5%。動(dòng)力計(jì)算時(shí)采用無質(zhì)量地基。計(jì)算時(shí)分別考慮空庫和滿庫2種情況，其中滿庫時(shí)動(dòng)水壓力附加質(zhì)量采用Westergaard公式計(jì)算。

黏滯阻尼模型計(jì)算時(shí)采用Rayleigh阻尼，阻尼系數(shù)矩陣C=αM+βK，α、β由系統(tǒng)的振型阻尼比和前兩階自振頻率確定。非黏滯阻尼模型計(jì)算時(shí)，為了便于比較，采用與黏滯阻尼相同的阻尼系數(shù)矩陣C，而松弛參數(shù)μ的取值由于缺乏相關(guān)的試驗(yàn)資料，作為對(duì)比研究，分別取μ=60 s-1、100 s-1、130 s-1和200 s-1進(jìn)行計(jì)算。精細(xì)積分時(shí)采用的時(shí)間間隔Δt=0.01 s，指數(shù)矩陣高精度計(jì)算采用220類算法。

地震動(dòng)輸入采用Koyna地震實(shí)測(cè)的加速度記錄，水平向峰值加速度為4.647 8 m/s2、豎向峰值加速度為3.056 4 m/s2，如圖 3所示。初始條件為t0=0，V(t0)=V0=0。

圖3 Koyna地震波Fig.3 Koyna seismic wave

3.2 計(jì)算結(jié)果

為了驗(yàn)證有限元模型的正確性和合理性，首先分別計(jì)算了空庫和滿庫情況下大壩的前5階自振特性；然后采用狀態(tài)空間精細(xì)積分法，分別計(jì)算了空庫和滿庫情況下大壩在Koyna地震波作用下的位移、速度和加速度時(shí)程。

3.2.1 大壩自振特性

假定材料處于線彈性狀態(tài)，采用Ansys計(jì)算得到大壩的前5階自振頻率如表1所示。

3.2.2 空庫情況下壩體地震響應(yīng)

實(shí)際計(jì)算時(shí)，先取μ=300 s-1進(jìn)行試算，發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與黏滯阻尼的計(jì)算結(jié)果幾乎一樣。也驗(yàn)證了當(dāng)μ取值很大時(shí)指數(shù)非黏滯阻尼模型退化為黏滯阻尼模型。由圖4可以看出2組曲線基本重疊，說明就本算例而言μ=200 s-1時(shí)，指數(shù)非黏滯阻尼模型已接近黏滯阻尼模型。

圖4 空庫情況下壩頂水平向位移和加速度時(shí)程Fig.4 Time histories of displacement and acceleration at dam crest with empty reservoir

圖5給出了空庫情況下μ取不同值數(shù)值時(shí)壩頂水平向位移和加速度的時(shí)程曲線，表2為空庫各種阻尼情況下壩體水平向位移、速度和加速度的響應(yīng)峰值。

圖5 空庫情況下松弛參數(shù)對(duì)壩體響應(yīng)的影響Fig.5 Influence of relaxation parameter on dam responses with empty reservoir

表2 空庫情況下壩體響應(yīng)峰值

3.2.3 滿庫情況下壩體地震響應(yīng)

圖6給出了滿庫情況下μ取不同值數(shù)值時(shí)壩頂水平向位移和加速度的時(shí)程曲線，表3為滿庫各種阻尼情況下壩體水平向位移、速度和加速度的響應(yīng)峰值。

圖6 滿庫情況下松弛參數(shù)對(duì)壩體響應(yīng)的影響Fig.6 Influence of relaxation parameter on dam responses with full reservoir

3.3 結(jié)果分析與討論

由圖5和圖6可知，無論是空庫還是滿庫，非黏滯阻尼模型對(duì)加速度響應(yīng)的影響明顯大于對(duì)位移響應(yīng)的影響。從表2和表3也可以看出非黏滯阻尼模型對(duì)加速度峰值響應(yīng)影響最大，其次是速度峰值響應(yīng)，對(duì)位移峰值響應(yīng)的影響最小。無論是空庫還是滿庫，非黏滯阻尼模型的峰值響應(yīng)均大于黏滯阻尼模型的峰值響應(yīng)。隨著μ的減小，非黏滯阻尼模型的峰值響應(yīng)增大，說明黏滯阻尼模型的阻尼效應(yīng)大于非黏滯阻尼模型。因此，采用黏滯阻尼模型分析工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，可能會(huì)低估響應(yīng)的峰值。

表4為μ取不同數(shù)值時(shí)非黏滯阻尼模型得到的壩體響應(yīng)峰值相對(duì)于黏滯阻尼模型壩體響應(yīng)峰值的增幅?？諑烨闆r下，當(dāng)μ<100 s-1時(shí)，非黏滯阻尼模型的水平向加速度峰值增幅超過5%。而滿庫情況下，當(dāng)μ<100 s-1時(shí)，非黏滯阻尼模型的水平向加速度峰值增幅超過10%。特別地，當(dāng)μ<60 s-1時(shí)，水平向加速度峰值增幅超過20%。

表4 非黏滯阻尼模型相對(duì)于黏滯阻尼 模型壩體響應(yīng)峰值的增幅

4 結(jié) 論

a.采用狀態(tài)空間時(shí)域精細(xì)積分法求解指數(shù)卷積型非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程，可以避免各時(shí)刻的卷積積分及其誤差引起的數(shù)值不穩(wěn)定，也不需要額外的矩陣求逆運(yùn)算，可應(yīng)用于大型系統(tǒng)的非黏滯阻尼振動(dòng)方程的求解。

b.本文算例表明，地震作用下非黏滯阻尼模型的峰值響應(yīng)均大于黏滯阻尼模型的峰值響應(yīng)。隨著μ取值的減小，即與黏滯阻尼模型的差別增大，非黏滯阻尼模型的峰值響應(yīng)就越大，說明黏滯阻尼模型的阻尼效應(yīng)大于非黏滯阻尼模型。因此，采用黏滯阻尼模型分析工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，可能會(huì)低估響應(yīng)的峰值。

c.本文算例表明，地震作用下非黏滯阻尼模型對(duì)結(jié)構(gòu)位移、速度和加速度響應(yīng)的影響程度不盡相同，影響最大的是加速度響應(yīng)，位移響應(yīng)影響相對(duì)較小。

d.由于缺乏試驗(yàn)資料，本文對(duì)混凝土松弛參數(shù)的取值可能不一定符合實(shí)際情況，因此本文的研究只是對(duì)非黏滯阻尼模型在混凝土大壩地震響應(yīng)分析中的應(yīng)用做一個(gè)嘗試，后續(xù)的研究應(yīng)開展混凝土材料非黏滯阻尼特性的試驗(yàn)和參數(shù)識(shí)別，正確認(rèn)識(shí)和建立合理的混凝土材料阻尼模型，以便更加科學(xué)有效地開展混凝土結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析和抗震設(shè)計(jì)。