王珊

摘? 要：通過創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認知最近發(fā)展區(qū)的一系列問題鏈，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)和小組合作探究相結(jié)合的學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)歷數(shù)量積概念抽象的完整過程，激發(fā)學(xué)生從物理、幾何、代數(shù)三個維度深入理解向量數(shù)量積的內(nèi)涵和作用，了解投影向量的意義及學(xué)習(xí)新概念的基本套路，體悟具有普適性的數(shù)學(xué)思想和方法.

關(guān)鍵詞：向量的數(shù)量積;向量投影;類比抽象;問題鏈;核心素養(yǎng)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

“向量的數(shù)量積與向量投影”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第二冊第六章第二節(jié)的知識內(nèi)容. 通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生理解了平面向量的幾何意義和代數(shù)意義，進而能夠用向量語言及方法來表述和解決現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)和物理中的問題.

本單元是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量概念的基礎(chǔ)上，對平面向量從運算角度展開的進一步研究.“向量的數(shù)量積與向量投影”是教材中第二冊“平面向量的運算”最后一節(jié)的內(nèi)容，不同于人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)4（必修）》的編寫順序，這主要是為了體現(xiàn)平面向量運算體系的完整性，延續(xù)學(xué)生向量的線性運算的學(xué)習(xí)過程及研究路徑，可以較為自然和順利地類比到如何研究平面向量的數(shù)量積，符合學(xué)生認知的最近發(fā)展區(qū).

由于向量的概念主要來自物理，因此本單元在類比實數(shù)運算的同時，借助向量的物理背景引入向量的相關(guān)運算. 本節(jié)課以力對物體做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量的數(shù)量積運算與物理知識聯(lián)系起來，這是學(xué)生學(xué)習(xí)向量運算的重要方法. 向量的數(shù)量積是向量運算的類屬知識，其產(chǎn)生既有豐富的現(xiàn)實背景，又是完備數(shù)學(xué)運算結(jié)構(gòu)的內(nèi)部需要;既是研究向量的重要工具，又在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，而且也是后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ). 例如，本章第四節(jié)中學(xué)習(xí)的正弦定理和余弦定理，就是以它為工具進行公式推導(dǎo)的. 為了理解向量數(shù)量積的定義和幾何意義，并研究向量數(shù)量積的運算律，教材引入了向量投影及投影向量的概念，借助投影的直觀性有效幫助學(xué)生體會數(shù)與形有機結(jié)合的思維方法，深化對數(shù)量積的理解. 通過把發(fā)現(xiàn)和提出向量數(shù)量積運算的機會留給學(xué)生，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，以及發(fā)現(xiàn)、分析數(shù)學(xué)問題的能力. 本節(jié)課的內(nèi)容中蘊涵了數(shù)形結(jié)合、分類與整合、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，以及抽象、類比、歸納等思維方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等素養(yǎng)的有效載體.

本節(jié)課的內(nèi)容計劃用2個課時來完成，其中第1課時的教學(xué)重點是：啟發(fā)學(xué)生主動探究，建立向量的數(shù)量積概念;引導(dǎo)學(xué)生體會通過分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想研究投影向量，從而理解數(shù)量積的幾何意義.

從本節(jié)課知識發(fā)生、發(fā)展的過程來看，學(xué)生會經(jīng)歷從物理問題入手，全方位、多角度進行觀察、分析、類比和聯(lián)想的過程，從而充分挖掘和認識數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，其中所蘊含的思維方面的教學(xué)資源集中體現(xiàn)為直觀思維、抽象思維和創(chuàng)新思維. 在不斷完善建構(gòu)數(shù)量積概念的過程中，學(xué)生可以充分認識到定義的準確性、系統(tǒng)性和抽象性，這也是培養(yǎng)學(xué)生認識論與價值觀的重要過程，學(xué)生經(jīng)歷提出問題、分析問題和解決問題的過程，感受數(shù)學(xué)的實用價值和審美價值，體驗在數(shù)學(xué)活動中進行探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心.

二、教學(xué)目標設(shè)置

本節(jié)課教學(xué)目標設(shè)置如下.

（1）學(xué)生能夠完整地認識向量運算的研究脈絡(luò)，體會從具體到抽象、從特殊到一般的思維方式，從而對概念學(xué)習(xí)的一般研究路徑有較為清晰的認識.

（2）學(xué)生通過親身經(jīng)歷課堂合作探究的活動過程（回憶物理中“功”的相關(guān)問題，并類比抽象概括為對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題），體會類比思維在發(fā)現(xiàn)、歸納新的數(shù)學(xué)研究對象中的作用，獲得思考、探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論等基本活動經(jīng)驗，從而發(fā)展抽象概括、推理論證的能力.

（3）能結(jié)合具體案例，借助幾何直觀認識向量的夾角，會畫圖解釋什么是一個平面向量在另一個平面向量上的投影向量，進一步強化運用直觀想象思考問題的意識，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法，提升研究能力.

（4）了解投影向量的意義及如何用數(shù)學(xué)符號語言表示投影向量，充分體會分類與整合的數(shù)學(xué)思想，理解平面向量數(shù)量積的幾何意義，掌握計算平面向量數(shù)量積的兩種方法，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

三、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對象基礎(chǔ)普遍較好，在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的三種線性運算，清楚向量既是代數(shù)研究對象也是幾何研究對象，明確向量的兩個基本要素，并且已經(jīng)對如何研究向量運算有了初步的認知基礎(chǔ).

在學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積的概念時，最重要的學(xué)習(xí)支撐是學(xué)生對物理量“功”的相關(guān)問題有一定的了解，清楚表示向量的兩個基本要素——大小和方向，理解平面向量共線定理，并且具備一定的類比思維和抽象概括能力，同時通過對向量線性運算的學(xué)習(xí)，對一個新的數(shù)學(xué)運算大致遵循的研究脈絡(luò)有一定的認知.

由向量的加法、減法、數(shù)乘運算自然地過渡遷移、引申到兩個向量的乘法運算，但是對于定義一個數(shù)學(xué)概念要從嚴謹性和全面性兩個方面來考慮，這是多數(shù)學(xué)生容易忽視的環(huán)節(jié). 另外，為什么引入投影向量及如何表示投影向量，對學(xué)生而言是有一定困難的.

基于以上分析，可以得到本節(jié)課的教學(xué)難點是：抽象向量數(shù)量積概念的完備過程;如何表示投影向量，并理解向量投影的作用.

教學(xué)中，以學(xué)生熟悉的物理量“功”為背景引入向量的數(shù)量積，通過復(fù)習(xí)思考、情境創(chuàng)設(shè)、問題導(dǎo)學(xué)引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，之后通過小組合作探究、教師點評等環(huán)節(jié)完成本節(jié)課知識的學(xué)習(xí). 類比抽象的教學(xué)過程是突破難點的有效教學(xué)手段，尤其下文設(shè)置的“功的不同表述”這個問題，是引導(dǎo)學(xué)生由“力的分解”類比到向量投影的重要支撐，貼近學(xué)生認知的最近發(fā)展區(qū)，從而有效激發(fā)學(xué)生的探索興趣，理解投影的作用，體會投影是高維空間與低維空間聯(lián)系的橋梁，從而更好地理解向量數(shù)量積的運算本質(zhì).

四、教學(xué)策略分析

教師充分重視學(xué)生基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的習(xí)得，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，盡可能給學(xué)生提供更多的時間和空間去親身經(jīng)歷、親自體驗、親手實踐，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生通過思考、交流，自己解決問題.

教學(xué)活動的主線是為了解決問題. 基于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，本節(jié)課以數(shù)學(xué)知識再發(fā)現(xiàn)為線索，精心設(shè)置了借助類比抽象的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生思考、探索，從而建立良好的認知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維方式思考問題. 在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷概念建構(gòu)的全過程，積極尋找研究策略，努力實施研究過程，不斷反思研究成果，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到進一步發(fā)展.

為了調(diào)動學(xué)生的探究積極性，使每位學(xué)生都經(jīng)歷向量數(shù)量積概念的探究過程，遵循以學(xué)生為主體，教師創(chuàng)設(shè)情境，通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)和小組合作相結(jié)合的方式引入背景的探究式學(xué)習(xí)法.

本節(jié)課是一節(jié)概念課，概念的建構(gòu)與理解是重點也是難點. 為了幫助學(xué)生探求知識發(fā)生、發(fā)展的根源，結(jié)合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，本節(jié)課遵循由特殊到一般的認知規(guī)律，由物理情境入手，層層推進，設(shè)計問題鏈進行教學(xué)，以問題的提出、解決為主線，始終在學(xué)生認知的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，并不斷探究解決，使課堂教學(xué)過程更加流暢、自然.

五、教學(xué)過程設(shè)計

1. 復(fù)習(xí)思考，創(chuàng)設(shè)情境

問題1：前面我們學(xué)習(xí)了與向量有關(guān)的什么運算？

問題2：你能總結(jié)研究向量運算的主要路徑嗎？

師生活動：學(xué)生嘗試回答，教師概括總結(jié).

師：向量來源于物理學(xué)，我們學(xué)習(xí)向量，往往要借助物理背景. 例如，我們通過力或者位移的合成，定義了向量的加法運算，通過加法運算的逆運算定義了向量的減法運算;通過力或者速度的大小變化抽象概括了向量的數(shù)乘運算. 基于這樣的學(xué)習(xí)過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)對象及其運算的研究脈絡(luò)通常是從一個情境或者背景中抽象出研究對象，進而明確它的數(shù)學(xué)定義，或者定義它的運算規(guī)則，這個運算規(guī)則往往還體現(xiàn)了它的幾何意義. 以向量加法運算為例，從代數(shù)的角度來看，它是一種數(shù)學(xué)運算，但這種代數(shù)運算充分運用了向量的幾何表示——三角形法則和平行四邊形法則，這就是其運算對應(yīng)的幾何意義，然后再去挖掘它的運算性質(zhì)，包括運算律，最后是它的應(yīng)用階段，如圖1所示.

師：我們將向量的加法、減法和數(shù)乘運算稱為向量的線性運算，它們的運算結(jié)果都是向量. 于是，有學(xué)生提出了“類比實數(shù)間的加、減、乘、除運算，向量之間除了已經(jīng)學(xué)習(xí)的加、減、數(shù)乘運算，還有沒有其他運算呢？”這樣的問題，大家是不是也有這樣的疑問？如果向量間還有其他運算形式，你清楚研究它的一般路徑嗎？

【設(shè)計意圖】首先，通過回憶復(fù)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生有意識地思考、總結(jié)學(xué)習(xí)向量運算的基本研究脈絡(luò). 在接下來研究向量數(shù)量積運算時，從思想方法上與向量的線性運算進行類比，這種類比可以打開學(xué)生研究向量問題的思路，還能使向量學(xué)習(xí)找到合適的思維固著點;其次，通過強調(diào)向量線性運算結(jié)果特征，為區(qū)別向量數(shù)量積運算結(jié)果的特征埋下伏筆;最后，使學(xué)生對即將研究的新運算情境產(chǎn)生好奇與期待，從而有躍躍欲試的渴望.

師：我們先來看這樣一個情境.

為了在學(xué)生中弘揚勞動精神，強調(diào)勞動教育的重要性，鼓勵學(xué)生積極參與勞動，豐富學(xué)生的課間閱讀量，我校在教學(xué)樓的每一層的同一個位置都設(shè)置了一個圖書角，并舉辦了“勞動之星”PK評選活動. 已知甲同學(xué)把重200 N的圖書從一樓搬到五樓圖書角，乙同學(xué)把重300 N的圖書從一樓搬到三樓圖書角，假設(shè)每層樓高均為3 m，兩人是從一樓的同一個位置開始搬書，理想狀態(tài)下，他們兩人誰做的功較大？

預(yù)設(shè)：該物理問題比較簡單，學(xué)生基本都能有明確的判斷依據(jù)——比較兩人的做功情況，教師提問學(xué)生回答.

師：很好！同學(xué)們也是這樣判斷的嗎？剛才這個情境是做功比較理想的情況——力與位移同向. 假如在三樓和五樓的水平位移忽略不計，大家能再說一說一般情形下功的計算公式嗎？

預(yù)設(shè)：[W=Fscosθ]，其中[θ]是[F]與[s]的夾角.

【設(shè)計意圖】此處承接向量運算的一般研究脈絡(luò)，從一個情境或者背景出發(fā)，基于勞動教育的重要性，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建立正確的價值觀體系. 該情境貼近學(xué)生的真實經(jīng)歷，讓學(xué)生感到親切、自然的同時，使“功”這個物理背景自然浮出水面，從而成為抽象概括數(shù)學(xué)概念的重要源泉.

2. 分析背景，抽象對象

師：力和位移是物理中的兩個矢量，我們將其抽象出來就是數(shù)學(xué)中的兩個向量. 功是由力和位移這兩個矢量通過乘法運算得到的一個標量，我們能不能抽象出向量間的另一種運算呢？

預(yù)設(shè)：與兩個向量乘法有關(guān)的運算.

師：能具體說說嗎？

預(yù)設(shè)：兩個向量的模乘以夾角的余弦三角函數(shù)值.

師：抽象概括得非常好！這種運算的結(jié)果與向量的線性運算結(jié)果特征有沒有差異？

預(yù)設(shè)：有差異，向量的線性運算結(jié)果都是向量，現(xiàn)在得到的是一個實數(shù).

師：很好！這就是我們本節(jié)課要研究的一種新的向量運算，我們把這種運算叫做向量的數(shù)量積.

教師板書本節(jié)課的一部分標題：6.2.4 向量的數(shù)量積.

師：我們可以這樣理解這個運算名稱，這里“積”體現(xiàn)的是這種運算形式，“數(shù)量”體現(xiàn)了運算結(jié)果.

【設(shè)計意圖】從學(xué)生認知的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，讓學(xué)生在類比和抽象中理解、概括平面向量數(shù)量積的概念，同時在得出數(shù)量積定義的過程中感受不同學(xué)科間知識的滲透，并從運算名稱上理解這種運算形式和運算結(jié)果的特征.

3. 類比歸納，完備定義

師：剛剛提到的夾角，我們應(yīng)該怎么定義呢？為了進一步準確定義并加深對它的理解，我們可以再回到它的物理背景——從“功”的相關(guān)問題上再下一番“功夫”，請同學(xué)們完成課中學(xué)案課堂活動1.

問題3：在“向量的數(shù)量積與幾何投影”課中學(xué)案（見附錄）課堂活動1的表格中填寫與“功”有關(guān)的物理問題并思考. 根據(jù)表中的物理背景，結(jié)合前面所學(xué)的向量知識，你能抽象出哪些與向量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題？

【設(shè)計意圖】這是本堂課促進學(xué)生獲得基本活動經(jīng)驗的一個重要過程，整節(jié)課關(guān)鍵性的類比過程都集中在填寫這個表格的思考過程中. 這一部分淡化了教師在課堂思維上的主體性，學(xué)生在類比抽象的過程中發(fā)現(xiàn)、思考和總結(jié)問題，非常自然地獲得定義的合理性，同時思考有了定義之后還能怎樣去理解它，從而提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，為向量投影的出現(xiàn)埋下伏筆.

教師組織學(xué)生展開小組討論.

師：哪個小組展示一下你們的討論成果？

預(yù)設(shè)：學(xué)生展示表格中填好的圖形，如圖2所示，從直觀認識上說明兩個向量的夾角的定義.

師：其他小組有需要補充的嗎？

預(yù)設(shè)：有學(xué)生發(fā)現(xiàn)相同起點的兩個有向線段會形成兩個角. 如果沒有同學(xué)質(zhì)疑，則由教師說明.

教師說明：在圖2的幾幅圖示中，我們可見的是兩個角，從運算及形式的簡潔方面考慮，往往取相對較小的角，也就是取范圍落在[0，π]區(qū)間上的角. 在這幾種情形中，兩個同向共線的向量夾角為0，兩個反向共線的向量夾角為[π]. 當向量[a]和[b]的夾角為[π2]時，定義兩個向量垂直，記做[a⊥b].

師：同學(xué)們再思考，任何一個數(shù)學(xué)定義都要保證它的任意性，那這五幅圖能代表所有向量嗎？

生：不能代表，沒有零向量.

師：對，由于零向量的模為0，且方向是任意的，所以我們在定義向量夾角的時候，規(guī)定兩個向量都是非零向量.

教師板書注明兩個向量為非零向量.

師：剛才我們借助物理背景中力與位移的夾角，通過類比聯(lián)想，有了對定義向量夾角的自我體會，下面讓我們一起來看教材上對向量夾角的定義.

定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作[OA]= a，[OB]= b，則∠AOB = θ（0 ≤ θ ≤ π）叫做向量a與b的夾角.

師：閱讀完定義，肯定了類比的合理性，現(xiàn)在你能找到黑板上這兩個向量的夾角嗎？（黑板上有兩個非相同起點的任意向量.）

【設(shè)計意圖】通過幾何直觀，淡化定義生成的抽象性. 此環(huán)節(jié)是由粗到細的過程，學(xué)生想定義兩個向量的夾角，但是缺少對任意向量的考慮. 讓學(xué)生自己去體會定義向量夾角的過程，體會類比的合理性和定義的嚴謹性.

師：經(jīng)過剛才的共同探討，我們明確了兩個向量的夾角的定義，也就解決了運算中的向量的夾角問題，這樣我們才能正式將這種運算定義為兩個向量的數(shù)量積，記做[a ? b].

師：這是否意味著求任意兩個向量的數(shù)量積都能代入這個公式呢？

【設(shè)計意圖】概念抽象一般會經(jīng)歷兩個層次：第一層次抽象是直觀描述的感性認識;第二層次抽象是從理性認識的高度把握定義的準確性和嚴謹性. 這是多數(shù)學(xué)生不容易注意到的環(huán)節(jié)，該問題引導(dǎo)學(xué)生思考向量數(shù)量積概念的完備性.

預(yù)設(shè)：學(xué)生會根據(jù)向量的夾角的定義，注意到該公式無法定義任意向量與零向量的數(shù)量積.

師：你覺得零向量與任意向量的數(shù)量積應(yīng)該怎么定義呢？

問題4：零向量與任意向量的數(shù)量積如何定義？

預(yù)設(shè)：學(xué)生回答零向量與其他向量的數(shù)量積應(yīng)該為0.

師：能否給出理由？

預(yù)設(shè)：通過前期“類比”的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生會比較自然地類比物理背景“功”的問題——無力不做功，有力無位移做的是無用功. 這里功的大小都相當于0. 因此，零向量與其他向量的數(shù)量積應(yīng)該也是0.

師：說得真好！通過物理背景定義零向量與任意向量的數(shù)量積，大家覺得是否合理？

我們規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積是0.（教師板書.）

這樣，我們就完備了數(shù)量積的定義. 這里需要特別強調(diào)：雖然這是與兩個向量乘法有關(guān)的一種運算，但是數(shù)量積中的符號“[?]”不能用符號“[×]”替換.

4. 深化理解，拓展延伸

師：在之前的表格里還類比了最后一項——功的不同表述，哪位同學(xué)試著說一說？

預(yù)設(shè)：對物理量“功”的不同角度的描述，是學(xué)生比較熟悉的問題，多數(shù)學(xué)生都理解“功”的實質(zhì)就是力在位移方向上的分力乘以位移的大小（或者在力的方向上產(chǎn)生的位移乘以力的大?。瑥亩鶕?jù)功的不同表述，學(xué)生會比較自然地類比到數(shù)量積也可以有不同的表示——把一個向量在另一個向量的方向上進行分解.

預(yù)設(shè)1：這樣數(shù)量積就可以是分解向量的模乘以另一個向量的模.

預(yù)設(shè)2：這樣數(shù)量積就可以是分解向量與另一個向量的數(shù)量積.

師：同學(xué)們更贊成哪種觀點呢？

【設(shè)計意圖】從力的分解類比向量的“分解”，進而使學(xué)生產(chǎn)生對如何表示“分解向量”的求知欲望，從而使得研究向量投影成為順理成章的需求.

師：同學(xué)們的想法都很好，激發(fā)了我們接下來的探索興趣. 但是，數(shù)學(xué)中所有的類比結(jié)論都有待推理和檢驗，我們?nèi)绻肱袛噙@個結(jié)論是否正確，判斷的依據(jù)是什么呢？

預(yù)設(shè)：學(xué)生會想到通過計算檢驗類比得到的結(jié)論，檢驗的標準是計算所得結(jié)果與數(shù)量積公式的計算結(jié)果是否一樣.

師：這位同學(xué)提到的做一個向量在另一個向量方向上的分解，就是我們接下來要研究的一種變換. 我們稱上述變換為向量a向向量b投影，這也是我們本節(jié)課的另一個學(xué)習(xí)重點.

教師完整板書標題：向量的數(shù)量積與向量投影.

教師用PPT展示投影的具體定義.

如圖3，設(shè)a，b是兩個非零向量，[AB]= a，[CD]= b，我們考慮如下變換：過[AB]的起點A和終點B，分別作[CD]所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到[A1B1]，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，[A1B1]叫做向量a在向量b上的投影向量.

根據(jù)向量的可平移性，也可以將圖3中的向量a平移，使其與向量b有相同起點.

如圖4，在平面內(nèi)任取一點O，作[OM]= a，[ON]= b ，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則[OM1]就是向量a在向量b上的投影向量.

師：根據(jù)定義，同學(xué)們理解

什么是向量的投影了嗎？它是一種變換，我們剛才完成了當兩個向量的夾角為銳角時一個向量向另一個向量投影. 同學(xué)們思考問題5.

問題5：你能作出在其余四種情形下，向量a向向量b的投影，并標注投影向量[OM1]嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生完成課中學(xué)案課堂活動2，并且由一位學(xué)生進行板演，如圖5所示.

【設(shè)計意圖】通過該環(huán)節(jié)加深學(xué)生對向量投影及投影向量概念的理解.

師：好，剛剛這位同學(xué)在黑板上做出了其余四種情形的投影向量，大家做得和黑板上的一致嗎？

教師讓學(xué)生觀察并思考：在圖4和圖5的五種圖示下，向量a在向量b上的投影向量[OM1]與向量a和向量b的位置關(guān)系有什么共同特征嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，無論兩個向量夾角是什么情形，投影向量都與向量b是共線的. 夾角為0或者銳角時同向共線，夾角為鈍角或者[π]時反向共線，兩個向量垂直時，投影向量就是零向量.

【設(shè)計意圖】經(jīng)歷這樣的觀察與思考，“共線”這個重要特征為接下來如何表示投影向量提供了重要的切入點，從而有效降低了如何表示投影向量的難度.

師：我們觀察到的這種特征，能否有助于我們表示投影向量[OM1]呢？

問題6：設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，那么[OM1]與θ，b及a之間有怎樣的關(guān)系？

預(yù)設(shè)：留給學(xué)生一定的時間思考，由于剛講完數(shù)乘運算，對向量共線定理比較熟悉，故學(xué)生能夠自然地將其聯(lián)系起來，運用向量共線定理去表示投影向量，即根據(jù)向量共線定理確定[OM1=λb]，[λ]可以看成是模長之比，接下來利用投影之后的直角三角形求解投影向量[OM1]的模.

師：這位學(xué)生的解釋思路清晰、邏輯性強，回答得特別好！就像這位同學(xué)所表述的觀點，我們要表示一個向量，可以抓住刻畫向量的兩個基本要素——大小和方向，大小就是向量的長度，我們可以借助直角三角形來求得，而方向可以根據(jù)與向量b同向，借助向量b的方向得到，借助方向是什么意思？只要b的方向，無需它的大小. 于是我們可以將向量b單位化，再乘以向量[OM1]的模[acosθ]即可.

問題7：我們剛才討論的是兩個向量的夾角為銳角的情形，你能繼續(xù)表示其余四種情形中的投影向量[OM1]嗎？

預(yù)設(shè)：接下來的四種情形由學(xué)生在學(xué)案中完成，并由四名學(xué)生板演展示，其他學(xué)生糾錯、補充.

師：這樣我們可以肯定，當向量a與向量b的夾角θ在從0到[π]的范圍內(nèi)變化時，投影向量[OM1]的表示形式是固定的.

【設(shè)計意圖】為后續(xù)利用投影向量[OM1]表示向量[a]與向量[b]的數(shù)量積做鋪墊.

問題8：嘗試驗證剛才的猜想——向量a與向量b的數(shù)量積可以寫成表示投影的向量[OM1]與向量b的數(shù)量積嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生只需要代入化簡即可，[OM1 ? b=][acosθbb ? b=abcosθ，] 即[a?b=OM1 ? b]，多數(shù)學(xué)生都可以順利解決，這里由學(xué)生回答，教師板書.

師：很好，同學(xué)們的共同努力和合作探究將本節(jié)課推向了又一個高潮，我們深化了對數(shù)量積的理解，它可以看作是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數(shù)量積. 而且，向量a在向量b上的投影向量與向量b共線，這樣我們就把不共線的向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為共線向量的數(shù)量積，實現(xiàn)了將二維背景的運算降低到一維背景的運算，這也是數(shù)量積幾何意義的一種體現(xiàn).

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生通過這個問題的解決過程切身感受到學(xué)習(xí)投影向量的必要性，理解投影向量的作用，深化對數(shù)量積的理解，體會投影是聯(lián)系高維空間與低維空間的橋梁.

5. 鞏固新知，課堂小練

（1）（教材第20頁練習(xí)3）已知[a=6]，[e]為單位向量，當[a]與[e]的夾角為[45°，90°，135°]時，求向量[a]在向量[e]上的投影向量.

（2）（教材第17頁例9）已知[a=5， b=4，a與][b]的夾角[θ為2π3，求a ? b].

預(yù)設(shè)：此處交由學(xué)生獨立作答、展臺講解，并由其他學(xué)生補充點評.

【設(shè)計意圖】考查學(xué)生是否掌握求解投影向量的基本方法及從不同角度求解兩個向量的數(shù)量積問題. 學(xué)生通過“獨立作答—展示講解—交流點評”的過程，在錯誤中收獲經(jīng)驗，在肯定中收獲自信，體驗學(xué)以致用的喜悅感，在鍛煉學(xué)生的組織能力和語言表達能力的同時提高分析問題和解決問題的能力.

6. 沉淀反思，總結(jié)交流

教師利用PPT向?qū)W生展示以下問題.

（1）回顧得出數(shù)量積定義的探究過程和研究思路，并表述研究方法，在這個過程中自己的貢獻和收獲是什么？

（2）計算數(shù)量積的方法有哪些？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你認為可以解決哪些與向量有關(guān)的問題？

（3）類比向量運算的研究脈絡(luò)，你知道接下來我們還需要進一步探究數(shù)量積運算的哪些問題嗎？

預(yù)設(shè)：此處留給學(xué)生充足的時間進行總結(jié)和展示，學(xué)生自由交流、表達自己的想法，教師仔細傾聽，注意學(xué)生的表達是否準確合理，適時給予點評并概括和優(yōu)化學(xué)生的回答，達到突出重點的目的.

【設(shè)計意圖】以提綱的形式幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的研究思路及重要的基礎(chǔ)知識，從而在培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、直觀想象、推理論證、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的同時，使學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合、分類與整合、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，以及抽象、類比、歸納等思維方法在研究數(shù)學(xué)問題中的作用，積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗，同時幫助學(xué)生養(yǎng)成反思總結(jié)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

師：好，從同學(xué)們的回答中，老師聽到了同學(xué)們在知識及數(shù)學(xué)思想方法上的收獲. 本節(jié)課我們從物理背景“功”的概念中，通過類比抽象的學(xué)習(xí)過程引入了向量的數(shù)量積運算，又借助向量的幾何表示定義了向量的夾角及向量投影的概念，并通過分類討論思想明確了投影向量的表示，從而更好地理解了數(shù)量積的幾何意義. 最后遵循數(shù)學(xué)運算的研究脈絡(luò)，在得到數(shù)量積的定義之后從幾何的角度分析了數(shù)量積的運算性質(zhì). 我們整節(jié)課的研究脈絡(luò)遵循研究數(shù)學(xué)運算的一般研究路徑，這也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對象所遵循的一般規(guī)律，希望通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以指引同學(xué)們在未來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時都能明晰路徑，具備學(xué)好數(shù)學(xué)概念課的基本能力.

7. 課后作業(yè)

（1）教材第20頁練習(xí)的第1題和第2題.

【設(shè)計意圖】考查簡單的數(shù)量積計算及求解投影向量問題.

（2）參考教材第59頁小結(jié)中的問題2，依據(jù)數(shù)量積公式能夠?qū)崿F(xiàn)“知三求一”的問題，各學(xué)習(xí)小組自編6道不同角度的問題并規(guī)范解答，下節(jié)課各小組互相競答板演.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在自主編題的過程中，體會從方程思想上如何應(yīng)用數(shù)量積公式解決不同角度的問題，同時競答的方式能夠有效促進學(xué)生課后認真消化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

（3）類比數(shù)的運算律，結(jié)合向量的幾何表示，推導(dǎo)向量數(shù)量積的運算律等運算性質(zhì)，并加以證明.

【設(shè)計意圖】延續(xù)一個新運算的研究思路，通過推導(dǎo)數(shù)量積運算律的過程，借助投影的直觀性，有效體現(xiàn)投影向量的重要應(yīng)用.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍.樹立課程意識，落實核心素養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)通報，2016，55（5）：1-4，14.

附錄：

“向量的數(shù)量積與幾何投影”課中學(xué)案

課堂活動1：（1）填寫下表中與“功”有關(guān)的物理問題.

（2）思考：如果去掉力與位移這兩個矢量的物理背景，結(jié)合前面所學(xué)習(xí)的向量知識，你能抽象出哪些與向量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題？

課堂活動2：結(jié)合表中向量[a]與向量[b]夾角的不同情形，分別作出向量[a]在向量[b]上的投影，并標注投影向量[OM1].

課堂活動3：根據(jù)兩個向量夾角為銳角時投影向量的表示方法，推導(dǎo)其余四種情形中如何表示投影向量[OM1]？

課堂活動4：思考：向量[a]與向量[b]的數(shù)量積如何由投影向量[OM1]來表示？

當堂檢測：（1）已知[a=3]，[e]為單位向量，當[a]與[e]的夾角為[45°]時，求向量[a]在向量[e]上的投影向量.

（2）已知[O]是邊長為3的等邊三角形[ABC]的中心，求[OA ? AC].

課堂小結(jié)：（1）回顧并敘述得出數(shù)量積定義的研究思路和大致過程，并說說研究方法，在這個過程中自己的貢獻和收獲是什么？

（2）計算數(shù)量積的方法有哪些？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你認為可以解決哪些與向量有關(guān)的問題？

（3）類比前面向量運算的研究脈絡(luò)，接下來我們還需要進一步探究數(shù)量積運算的哪些問題？