郭建華

二次函數(shù)背景下的三角形面積問題及平行四邊形問題是中考的熱點(diǎn)題型，下面舉例進(jìn)行分析，以幫助同學(xué)們總結(jié)規(guī)律，探尋通法.

原題再現(xiàn)

例（2020·甘肅·天水·第26題）如圖1所示，拋物線y=ax2 + bx + c（a ≠ 0）與x 軸交于A，B 兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C 的坐標(biāo)為（0，6），對稱軸為直線x=1. 點(diǎn)D 是拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D 的橫坐標(biāo)為m（1

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）當(dāng)△BCD 的面積等于△AOC 的面積的34時，求m 的值.

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M 是x 軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N 是拋物線上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. 若存在，請直接寫出點(diǎn)M 的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

分析與拓展

（1）求拋物線的解析式. 本小題考查核心知識點(diǎn)的掌握情況，即待定系數(shù)法、解方程組. 求拋物線解析式一般有三種方式可供選擇，即一般式、交點(diǎn)式、頂點(diǎn)式，本題應(yīng)選用一般式求解. 可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y = -34x2 +32x + 6（過程略）.

（2）求m 的值. 本小題考查的是在平面直角坐標(biāo)系中，給定函數(shù)圖形和幾何圖形（三角形），求點(diǎn)的坐標(biāo)（橫坐標(biāo)）;同時也考查了推理論證、計(jì)算能力和答題過程的嚴(yán)謹(jǐn)性.

第一步：根據(jù)三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)O（0，0），A（-2，0），C（0，6）直接求出△AOC 的面積.

第二步：求不平行于坐標(biāo)軸的△BCD（即△BCD 的三邊DB，DC，BC 都不平行于坐標(biāo)軸，簡稱“斜線三角形”）的面積一般采用割補(bǔ)法;過動點(diǎn)D 作x 軸的垂線，利用割補(bǔ)法將原三角形DBC 分成△DEB 和△DEC，如圖2，使得這兩個三角形可以利用“鉛垂高× 水平寬”求解.

第三步：①求未知直線BC 的函數(shù)表達(dá)式;②利用垂直于x 軸的直線上任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，將其縱坐標(biāo)相減求出鉛垂線段.

第四步：列方程求解.

詳細(xì)解答如下：

解：如圖2，過點(diǎn)D 作DE⊥x 軸于F，交BC 于E，過點(diǎn)C 作CH⊥ED，交ED 的延長線于H，

∵點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C 的坐標(biāo)為（0，6），

∴OA=2，OC=6，∴S△AOC =12OA ? OC =12× 2 × 6 = 6，

∴S△BCD =34S△AOC =34× 6 =92.

易得點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（4，0），設(shè)直線BC 的函數(shù)表達(dá)式為y=kx + n，

則

ìí?

4k + n = 0，

n = 6，

解得ìí???k = -32，n = 6， ∴直線BC 的函數(shù)表達(dá)式為y = -32x + 6，

∵點(diǎn)D 的橫坐標(biāo)為m（1

∴DE = yD - yE = （ ） -34m2 +32m + 6 - （ ） -32m + 6 = -34m2 + 3m，

∵S△BCD = S△CDE + S △BDE，∴S△BCD =12DE ? HC +12DE ? BF =12DE ? OF +12DE ? BF =12DE ? OB，

∴ S△BCD =12（ ） -34m2 + 3m × 4 = -32m2 + 6m，∴-32m2 + 6m =92，

解得：m1=1（不合題意舍去），m2=3. 則當(dāng)△BCD 的面積等于△AOC 的面積的34時，m 的值為3.

拓展：（1）本題中若將限制條件“1

如：當(dāng)點(diǎn)D 在點(diǎn)C 左側(cè)拋物線上時（如圖3），S△DBC =12DE （ BF - OF ） =12DE ? OB;當(dāng)點(diǎn)D 在拋物線第四象限部分上時（如圖4），S△DBC =12DE（CH - BF）=12DE·OB.

（3）求點(diǎn)M 坐標(biāo).本小題考查的是在二次函數(shù)中利用動點(diǎn)求平行四邊形問題，同時考查了分類思想、規(guī)范作圖、直觀想象、合情推理和計(jì)算能力.

第一步：求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3， 15）4 .

第二步：以線段BD 為平行四邊形的“邊”或“對角線”進(jìn)行分類.根據(jù)“無圖或補(bǔ)圖可能多解”這一常識性經(jīng)驗(yàn)，可知有四種情況：①當(dāng)BD 為邊時，有三種情況，如圖5、圖6、圖7;②當(dāng)BD 為對角線時，只有一種情況，如圖8.

第三步：求點(diǎn)M 的坐標(biāo).

解：①當(dāng)BD 為邊時，可以將邊BD 看作是由邊MN 平移得到的，則B，D 之間的豎直距離等于M，N 之間的豎直距離，B，D 之間的水平距離等于M，N 之間的水平距離.

a.當(dāng)點(diǎn)M 在點(diǎn)N 上方時，如圖5、圖6.設(shè)點(diǎn)M（m，0），N（n，p），

∵點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（3， 15）4 ，∴m-n = 3-4，154 -0=0-p，∴p=-154 .

∵N（n，p）在y = -34x2 +32x + 6上，∴-34n2 +32n + 6 = -154 ，

∴n2 - 2n - 13 = 0，∴n1 = 1 + 14，n2 = 1 - 14，

∵m-n = 3-4，∴m1 = 14，m2 = - 14，

∴點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（ 14，0）或（- 14，0）.

b.當(dāng)點(diǎn)M 在點(diǎn)N 下方時，如圖7.設(shè)點(diǎn)M（m，0），N（n，p），

∵點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（3， 15）4 ，∴n-m = 3-4，154 - 0 = p - 0，∴p = 154 ，

∵N（n，p）在y = -34x2 +32x + 6上，∴-34n2 +32n + 6 = 154 ，

∴n2 - 2n - 3 = 0，∴n1 = 3（舍），n2 = -1，

∵n-m = 3-4，∴m = 0，

∴點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（0，0）.

②當(dāng)BD 為對角線時，如圖8，我們可以發(fā)現(xiàn)ND?BM，則點(diǎn)N 的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)D 的縱坐標(biāo);再根據(jù)平移即可求出點(diǎn)M 坐標(biāo).

設(shè)點(diǎn)M（m，0），N（n，p），

∵點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（3， 15）4 ，

∴n-3 = 4-m，154 - 0 = p - 0，∴p = 154 .

∵N（n，p）在y = -34x2 +32x + 6上，

∴-34n2 +32n + 6 = 154 ，

∴n2 - 2n - 3 = 0，∴n1 = 3（舍），n2 = -1，

∵n-3 = 4-m，∴m = 8，∴點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（8，0）.

綜上，點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（ 14，0）或（- 14，0）或（0，0）或（8，0）.

本題小結(jié)：在平面直角坐標(biāo)系中，解決平行四邊形問題，可以利用平行四邊形的性質(zhì)求解，也可以轉(zhuǎn)化成平移問題.

跟蹤鞏固

如圖9，直線y = -34x + 3與x 軸交于點(diǎn)C，與y 軸交于點(diǎn)B，拋物線y = ax2 +34x + c 經(jīng)過B，C 兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式;

（2）如圖9，點(diǎn)E 是直線BC 上方拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△BEC 面積最大時，請求出點(diǎn)E 的坐標(biāo)和△BEC 面積的最大值.

（3）在（2）的結(jié)論下，過點(diǎn)E 作y 軸的平行線交直線BC 于點(diǎn)M，連接AM，點(diǎn)Q 是拋物線對稱軸···上的動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，A，M 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)P 的坐標(biāo);如果不存在，請說明理由.

（作者單位：本溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）