郭明明

原題再現

例（2020·四川·成都·第28題）在平面直角坐標系xOy 中，已知拋物線y = ax2 + bx + c 與x 軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點，與y 軸交于點C（0，-2）.

（1）求拋物線的函數表達式.

（2）如圖1，點D 為第四象限拋物線上一點，連接AD，BC 交于點E，連接BD，記△BDE 的面積為S1，△ABE 的面積為S2，求S1S2的最大值.

（3）如圖2，連接AC，BC，過點O 作直線l?BC，點P，Q 分別為直線l 和拋物線上的點. 試探究：在第一象限是否存在這樣的點P，Q，使△PQB ∽△CAB. 若存在，請求出所有符合條件的點P 的坐標;若不存在，請說明理由.

考點剖析

1. 涉及的知識點：待定系數法求表達式，一次函數、二次函數的圖象和性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積，勾股定理.

2. 涉及的思想方法：分類討論思想、數形結合思想、轉化思想.

3. 題目難點：考查知識點較多、代數最值問題.

4. 基本模型：A字形和8字形相似、一線三等角、勾股定理、函數最值模型.

學情分析

（1）本小題考查確定二次函數表達式. 二次函數表達式有兩種通用形式，即一般式y(tǒng) = ax2 + bx + c（已知拋物線上任意三個點）和頂點式y(tǒng) = a（ x - h ）2 + k（已知拋物線頂點和任意一個點），還有一種特殊形式，即交點式y(tǒng) = a（ x + x1）（ x + x2）（已知拋物線與x 軸的兩個交點），需要結合題意，抓住特征選取恰當的方法求解表達式.

解法1：從拋物線與y 軸交點C（0，-2）入手，直接得到c 的值，這樣可以利用一般式求解.∵點C（0，-2）在拋物線y = ax2 + bx + c 上，∴c = -2.

將A（-1，0），B（4，0）代入，可得ìí?????a =12，b = -32.∴拋物線的表達式為y=12x2 -32x - 2.

解法2：從拋物線與x 軸的兩個交點A（-1，0），B（4，0）入手，利用交點式求解.設拋物線的表達式為y=a（x + 1）（x - 4）. 將C（0，-2）代入，可得a=12，∴拋物線的表達式為y=12（x + 1）（x - 4），即y=12x2 -32x - 2.

（2）該問是考查面積比的最值問題，表示△BDE 和△ABE 的面積是解題的關鍵. 但是它們的底和高都是變量，故而表示它們的底和高就是這個問題的難點. 在平面直角坐標系中，表示一條傾斜線段的長度往往較困難，此時可以將傾斜線段轉化為與坐標軸平行（或垂直）的線段. 下面介紹四種解法（方法有變化，本質無區(qū)別）

解法1：如圖3，過點A 作AK?y 軸，交BC 延長線于點K，過點D 作DF?y 軸，交BC 于點F，則AK?DF，∴△AKE ∽△DFE，∴DEAE = DFAK，∴S1S2 = DEAE = DFAK，可求得直線BC 的表達式為y=12x - 2，由AK?y 軸，可得AK=52，設D（ ） m，12m2 -32m - 2 ，則F（ ） m，12m - 2 ，∴DF=-12m2 + 2m.則可得S1S2 = DFAK= -15（ m - 2 ）2 +45.∵-15< 0，∴當m=2時，S1S2有最大值，最大值是45.

解法2：如圖4，過點D 作DF?BC，交x 軸于點F，∴DEAE = BFAB . ∴S1S2 = DEAE = BFAB .∵直線BC 的表達式為y=12x - 2，∴設直線DF 表達式為y=12x + b.設D（ ） m，12m2 -32m - 2 ，將點D 代入直線DF 表達式得b =12m2 - 2m - 2.∴直線DF 表達式為y=12x +12m2 - 2m - 2.

∴F（-m2 + 4m + 4，0），∴BF= -m2 + 4m .

后續(xù)解題過程略，請同學們自己完成.

解法3：如圖5，過點D 作DF?x 軸交BC 于點F，則△ABE ∽△DFE .

∴DEAE = DFAB，∴S1S2 = DEAE = DFAB .

設點D 的坐標，表示DF 即可，

后續(xù)解題過程略，請同學們自己完成.

解法4：如圖6，過點D 作DG⊥x 軸于點G，過點E 作EF⊥x軸于點F .

由EF?DG，得S1S2 = DEAE = GFAF，

設點D 的坐標，聯(lián)立直線AD 和直線BC 的表達式得到方程組，解該方程組求出點E 的坐標，進而表示GF，AF 即可.

后續(xù)解題過程略，請同學們自己完成.

本質感悟：由于△BDE 和△ABE 同高，因此其面積比實質上就是其底的比，即線段DE 和AE 的比，接下來就是將線段DE和AE 的比利用不同的方式進行轉化，其主導思想是改“斜”歸“正”.

（3）相似三角形的存在性問題分為兩種類型，第一種是用相似符號給出的相似三角形，具有確定性，第二種是用文字給出的相似三角形，考查分類討論思想. 本小題考查的是第一種類型. 題中指定了對應頂點，其難點為雙動點問題：有一個動點在拋物線上，另一個動點在直線上.結合已知條件可得出△ABC 是直角三角形，由點P，Q 使△PQB ∽△CAB，可知△PQB 也是直角三角形，這樣便找到了“題眼”，將相似三角形的存在性轉化為直角三角形的存在性，從而構造“一線三等角”模型解題.

解：符合條件的點P的坐標為（68 ）9 ， 349 或（6 + 2 41 ）5 ， 3 + 415 .

∵l?BC，∴直線l 的解析式為y=12x，設P（ ） a，12a ，

①當點P 在直線BQ 右側時，如圖7，過點P 作PN⊥x 軸于點N，過點Q 作QM⊥直線PN 于點M，

可得AC= 5，AB=5，BC=2 5，

∴AC2 + BC2=AB2，∴∠ACB=90°.

∵△PQB ∽△CAB，∴PQPB = ACBC =12，∠QPB = ∠ACB=90°.

∵∠QMP=∠BNP=90°，

∴∠MQP + ∠MPQ=90°，∠MPQ + ∠BPN=90°.

∴∠MQP=∠BPN，∴△QPM ∽△PBN.

∴QMPN = PMBN = PQPB =12. ∴QM=a4，PM=12（a - 4）=12a - 2.

∴MN=a - 2，BN - QM=34a - 4. ∴Q（ ） 34a， a - 2 .

將點Q 的坐標代入拋物線的表達式得12× （ ） 34a2-32×34a - 2 = a - 2，

解得a=0（舍去）或a=689 .

∴P（68 ）9 ， 349 .

②當點P在直線BQ左側時，由①的方法同理可得點Q的坐標為（ ） 54a， 2 .

此時點P的坐標為（6 + 2 41 ）5 ， 3 + 415 .

本質感悟：直角三角形存在性問題的通解通法是一線三等角，平面直角坐標系內有直角的存在，是構造一線三等角模型的提示性條件，因此本題構造一線三等角模型的突破口就是直角三角形，構造的方法為過直角頂點作坐標軸的平行線（或垂線）.

勤于積累

1. 模型積累：一線三等角模型，如圖8～圖10.

模型的應用分為兩種，第一種為顯性模型應用，即在題中直接給出基本模型，并直接利用模型解決問題;第二種為隱性模型應用，即題中隱含模型，但圖形不完整，需要通過圖形特征或者題中條件補全模型，然后加以應用解決問題.

一線三等角模型主要應用于相似三角形，解題關鍵是抓住模型特征“. 一線”是模型中確定三等角的重要條件，在平面直角坐標系中，通常以平行（或垂直）于坐標軸的直線為一線，由于坐標軸互相垂直，因此三等角為三個直角.

2.方法歸納：

（1）面積比問題的解決方法：

①用相似三角形的性質（面積之比等于相似比的平方）;

②同高時，面積之比等于底邊之比，反之亦然，其中前者較為常見.

（2）直角三角形存在性問題：

①一線三等角模型——三角形相似;

②勾股定理逆定理;

③直角→兩直線垂直→一次函數圖象→k1 ? k2 = -1.

（作者單位：錦州市實驗學校）