謝凱強(qiáng)，劉 鍇，吳 坤，王茂隆，李玉潔，鄭興榮

二維勢箱函數(shù)的可視化研究

謝凱強(qiáng)，劉 鍇，吳 坤，王茂隆，李玉潔，*鄭興榮

（隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院物理系，甘肅，慶陽 745000）

運(yùn)用分離變量法和數(shù)值仿真，得到了量子理論中二維勢箱函數(shù)波函數(shù)及其相關(guān)特性的理論和可視化結(jié)果。結(jié)果表明：二維勢箱函數(shù)的能級是量子化的；能量隨著量子數(shù)的增加而增加，但勢箱長度和寬度越大，能量越小。對于二維的正方勢箱函數(shù)，粒子波函數(shù)的簡并度為n+n-1，峰值個(gè)數(shù)為n?n，且與=0平面的交線數(shù)也為n?n；幾率密度分布的極大值個(gè)數(shù)也為n?n。本文的這種推導(dǎo)結(jié)果和可視化結(jié)果與理論結(jié)果完全一致。通過可視化結(jié)果解決了勢箱函數(shù)教學(xué)和科學(xué)研究的難題，并為用MATLAB數(shù)值計(jì)算解決同類問題提供借鑒。這對于抽象性概念的理解具有重要意義。

二維勢箱函數(shù)；分離變量法；數(shù)值仿真；波函數(shù)；幾率密度；能量

0 引言

勢箱函數(shù)和線性諧振子、氫原子作為量子理論中最簡單、最重要的模型，是學(xué)習(xí)量子力學(xué)，乃至整個(gè)量子理論的基礎(chǔ)和入門[1-3]。勢箱函數(shù)模型，指的是處于束縛態(tài)中的任何粒子, 設(shè)其一個(gè)具有理想反射壁的維空間里（一維、二維、……）不受其他任何外力作用，而使其不能穿過維壁而只能在空間內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)的一種量子模型[4-5]。也就是說，處于勢箱函數(shù)模型中的粒子處于束縛態(tài)。勢箱函數(shù)及其模型應(yīng)用廣泛，尤其在微觀領(lǐng)域下，如原子核中的質(zhì)子、中子的運(yùn)動(dòng)，原子中電子的運(yùn)動(dòng)，金屬中電子的運(yùn)動(dòng)，共軛分子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)，以及原子內(nèi)部電子在兩個(gè)能級之間的躍遷、零點(diǎn)能[6-9]等。另外，勢箱函數(shù)模型還是量子力學(xué)中最簡單的束縛態(tài)情況，可以讓初學(xué)者把握并理解量子力學(xué)的基礎(chǔ)概念和一般性質(zhì)，如量子數(shù)、簡并度、幾率密度和能量的分立取值等[10-15]。最后勢箱函數(shù)模型還是處理某些問題有用的簡化模型，如束縛粒子，其勢箱就好像提供了一個(gè)無窮大的勢壘。

基于數(shù)學(xué)物理思想，結(jié)合前期工作[16-17]，本文運(yùn)用分離變量法和MATLAB軟件的數(shù)值仿真功能[18-19]，得到了勢箱函數(shù)的相關(guān)特性，包括理論結(jié)果和可視化結(jié)果。這種研究思路和方法解決了勢箱函數(shù)在教學(xué)和科研上的難題。同時(shí)也為用MATLAB數(shù)值計(jì)算和仿真解決其他問題提供案例。

1 理論模型與推導(dǎo)

任一粒子在二維空間中運(yùn)動(dòng)，則它的體系滿足定態(tài)薛定諤方程：

因此，二維勢箱中，粒子在箱內(nèi)的運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程，其表述為

結(jié)合邊界條件，利用一維勢箱函數(shù)的解法，得到（5）式、（6）式的解分別為

所以，二維勢箱函數(shù)的波函數(shù)為

同時(shí)得到其對應(yīng)的能級能量分別為

所以，二維勢箱函數(shù)的總能級能量為

式中，是二維勢箱長度，n，n表示勢箱中粒子運(yùn)動(dòng)的量子數(shù)。波函數(shù)及其能級能量需要兩個(gè)量子數(shù)n，n來同時(shí)描述，但不同的量子數(shù)狀態(tài)可能具有不同的能量數(shù)值。

根據(jù)波函數(shù)的歸一性，利用波函數(shù)幾率密度的定義[14-15]，得到二維勢箱函數(shù)中的粒子滿足：

2 二維勢箱函數(shù)的仿真結(jié)果與討論

利用分離變量法推導(dǎo)出了二維勢箱函數(shù)的波函數(shù)公式（7），為了計(jì)算的方便，取==2，即二維正方勢箱函數(shù)模型。運(yùn)用MATLAB軟件得到了16種情況下二維勢箱函數(shù)的波函數(shù)及其等值線圖，如圖1所示。另外，結(jié)合圖1，利用波函數(shù)的理論公式和幾率密度公式，還得到二維勢箱函數(shù)的幾率密度圖及其偽真圖，如圖2所示。

圖1 不同的nx, ny對應(yīng)的二維勢箱函數(shù)的波函數(shù)及其等值線分布

圖2 不同的nx, ny值對應(yīng)的波函數(shù)幾率密度及其偽真圖

通過可視化的仿真圖，可以得到：對于二維正方勢箱函數(shù)模型，箱內(nèi)微觀粒子的能級簡并度為n+n-1，峰值個(gè)數(shù)為n?n，且波函數(shù)與=0平面的交線數(shù)也為n?n，而且二維勢箱函數(shù)的幾率密度分布的極大值個(gè)數(shù)也為n?n。理論推導(dǎo)結(jié)果和圖示結(jié)果與前人結(jié)果[5,7,10-11]完全吻合。在軸與軸組成的二維平面內(nèi)，波函數(shù)圖形和幾率密度圖形具有穩(wěn)定的對稱性，且成軸對稱和中心對稱。

3 結(jié)論

勢箱函數(shù)作為量子理論的最簡單、最重要模型之一，在實(shí)際生活中非常重要，是學(xué)習(xí)量子理論的基礎(chǔ)和入門?；跀?shù)學(xué)物理思想和量子理論體系，本文運(yùn)用分離變量和數(shù)值仿真相結(jié)合的方法，推導(dǎo)了量子理論中二維勢箱函數(shù)波函數(shù)及其幾率密度、能級的公式，并運(yùn)用MATLAB軟件仿真得到了其相關(guān)特性的可視化結(jié)果。結(jié)果表明：二維勢箱函數(shù)的能級能量是不連續(xù)的、量子化的，且隨著量子數(shù)的增加和勢箱的長度、寬度減小而增加；二維正方勢箱函數(shù)粒子的簡并度為n+n-1，其峰值的個(gè)數(shù)為n?n，且波函數(shù)與=0平面的交線數(shù)也為n?n；幾率密度分布的極大值個(gè)數(shù)也為n?n。另外，我們發(fā)現(xiàn)在軸與軸組成的二維平面內(nèi)，波函數(shù)圖形和幾率密度圖形具有穩(wěn)定的對稱性，且成軸對稱和中心對稱。本文這種可視化思路和方法解決了勢箱函數(shù)教學(xué)和科學(xué)研究的難題，并為用MATLAB數(shù)值計(jì)算解決同類問題提供借鑒。這對于抽象性概念的理解具有重要意義。

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VISUALIZATION RESEARCH OF TWO-DIMENSIONAL POTENTIAL BOX FUNCTIONS

XIE Kai-qiang, LIU Kai, WU Kun, WANG Mao-long, LI Yu-jie,*ZHENG Xing-rong

(College of Electrical Engineering, Longdong University, Qingyang, Gansu 745000, China)

Using the separated variable method and numerical simulation, the theoretical and visual results of the wave function and related properties of two-dimensional potential box function in quantum theory are obtained. The results show that the energy of particles is quantized in two-dimensional potential box. The energy increases with the quantum number, while decreases with the potential box length and width. For the square potential box function in two dimensions, the degeneracy of wave function isn+n-1, and the number of peaks isn?, and the intersection number of wave function and a plane of=0 isn?n. The number of maximum of the probability density distribution also isn?n, too. The results of the derivation and visualization in this paper are completely consistent with the theoretical results. The visualization results solve the difficult problems in teaching and scientific research of potential box function, and provide reference for solving similar problems with the numerical calculation MATLAB software. It is very significant for abstract concept to understand.

two-dimensional potential box function; separated variable method; numerical simulation; wave function; probability density; energy

A

10.3669/j.issn.1674-8085.2021.03.003

1674-8085（2021）03-0012-04

2020-12-11；

2021-02-06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11565018）；甘肅省青年科技基金項(xiàng)目（20JR10RA135）；甘肅省教育廳高等學(xué)校創(chuàng)新能力項(xiàng)目（2019A-112）

謝凱強(qiáng)(1998-)，男，甘肅天水人，隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院物理系電氣工程及其自動(dòng)化信息專業(yè)2018級本科生（E-mail: xkq0814edu@163.com）；

劉 鍇(2001-)，女，甘肅天水人，隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院物理系物理學(xué)專業(yè)2019級本科生（E-mail:2229678351@qq.com）；

吳 坤(2000-)，女，甘肅敦煌人，隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院物理系物理學(xué)專業(yè)2018級本科生（E-mail: 925799196@qq.com）；

王茂隆(1999-)，男，山西忻州人，隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院物理系電氣工程及其自動(dòng)化信息專業(yè)2018級本科生（E-mail: 1764483843@qq.com）；

李玉潔(2001-)，女，甘肅慶陽人，隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院物理系物理專業(yè)2019級本科生（E-mail: 2328686922@qq.com）；

*鄭興榮(1986-)，男，甘肅天水人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事凝聚態(tài)理論物理與材料計(jì)算、仿真的研究（E-mail:zhengxingrong2006@163.com）.