王朝華 吳鳳和② 郭保蘇②

(①燕山大學，河北 秦皇島 066004；②河北省重型智能制造裝備工程技術研究中心, 河北 秦皇島066004)

承載結構的高剛度、高強度、低重量設計是結構工程師長期追求的目標，特別是航天、航空及汽車等領域[1]，結構承載性能的評價與優(yōu)化成為輕量化設計過程中的一個關鍵問題。結構優(yōu)化方法因能在概念設計階段提供輕質、高效的結構形式，在詳細設計階段提供最佳尺寸參數(shù)，受到各行業(yè)學者的廣泛關注[2-3]，包括拓撲優(yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，通過建立嚴密的數(shù)學模型，多次迭代搜索得到優(yōu)化方案，其優(yōu)化的本質屬于黑箱模型優(yōu)化，是基于數(shù)值分析不斷迭代搜索得到的結果，無法給出優(yōu)化結果的原因及力學解釋[4]。

傳力路徑[5]是指力在結構中的傳遞路線，始于力的作用點，到對應的平衡反力處終止，其作為1種新的設計理念，近年來受到學者們的廣泛關注，文獻[6]認為力總是沿著結構剛度最大的通道傳遞，提出了一種基于相對剛度的傳力路徑可視化法，在汽車等結構的傳力性能評價中得到應用[7]，但該方法目前的評價準則主要依賴于理想結構的傳力路徑與實際傳力路徑的差值分析，而不同結構的形狀輪廓往往與理想傳力路徑存在較大區(qū)別，另外，該方法未給出詳細的承載性能優(yōu)化思路，其適用性有待提升。

本文給出傳力路徑計算基本思路，提出結構承載性能評價及優(yōu)化方法，進一步提出將材料沿傳力路徑布置以最大限度發(fā)揮結構承載性能的設計思路，實現(xiàn)承載結構的高剛度設計。

1 傳力路徑可視化

對于任意彈性結構，都可以將其簡化為圖1a所示模型，包括受力點A、支撐點B和任意點C，三點之間可近似為彈簧連接，用來表示任意兩點之間的相對剛度。

根據(jù)相對剛度[8]的定義，3點間的力-位移關系如式(1)所示。

(1)

式中：Kij(i,j=A,B,C)表示相對剛度矩陣，pi(i=A,B,C)和di(i=A,B,C)表示載荷向量和位移向量。

其次，在點A處施加力PA，產生位移dA，根據(jù)式(1)及應變能公式，計算總應變能U為

(2)

然后，將結構中任意點C固定，如圖1b所示，在點A處施加力PA，使受力點A產生相同的位移dA，此時結構的應變能U′為：

(3)

引入應變能系數(shù)U*，計算公式為

(4)

可知，U*是KAC的函數(shù)表達式，其物理意義是指受力點A和任意點C之間的剛度關系。最后，將具有相同U*值的節(jié)點連接形成一簇等值線，從受力點出發(fā)，沿等值線的脊線形成一條傳遞通道，定義為結構的主傳力路徑，如圖2所示。

2 承載性能評價與優(yōu)化

傳力路徑是力在結構中傳遞規(guī)律的集中體現(xiàn)，其軌跡主要受結構外形輪廓的影響，通常越靠近傳力路徑的區(qū)域對結構整體剛度的貢獻度越大，因此，研究傳力路徑及結構外形輪廓上應變能系數(shù)的變化規(guī)律，建立承載性能評價方法，可找到結構的薄弱環(huán)節(jié)，為優(yōu)化提供指導。

以某異形板為例，如圖5a所示，將其左端固定，右端施加力F，計算得到的主傳力路徑用黑色箭頭表示，傳力路徑上U*變化如圖5b，載荷在傳遞到區(qū)域1的M點時U*發(fā)生突變，隨后在MN段快速下降，經過N點后再次發(fā)生突變，開始緩慢下降至支撐點。因此可知，力在區(qū)域1傳遞過程中，U*值衰減較快，該區(qū)域屬于薄弱區(qū)域，需要通過增加材料以提高相對剛度。此外，理論上U*在傳力路徑方向連續(xù)變小，而圖6a區(qū)域2的U*由大變小再變大，表明該區(qū)域存在材料冗余，阻礙了載荷的傳遞，可以通過減少材料來提高載荷傳遞的順暢度。

為了改善結構的整體承載性能，本文提出力流導向的結構設計方法，以傳力路徑理論為基礎，結合承載性能評價結果及優(yōu)化建議，將材料沿傳力路徑布置，并增加相應的減重孔及相關特征，實現(xiàn)結構承載性能的優(yōu)化，具體設計思路如圖6所示。

3 算例：控制臂

3.1 控制臂結構介紹

控制臂在汽車的安裝位置如圖7a所示，具體結構及邊界條件如圖7b所示，材料為鋁合金A356.1，彈性模量為72.4 GPa，泊松比為0.33，密度為2 680 kg/m3，控制臂的右側兩圓柱孔B、C與汽車車架直接相連，在分析時可以等效為固定約束，左側圓柱孔A與轉向節(jié)連接，可以等效為銷軸載荷。本文以汽車車輪側撞到馬路沿時控制臂的受載情況為例進行傳力路徑分析，此時圓柱孔A受到沿x方向的載荷3 062.36 N。

3.2 承載性能分析

由于控制臂的載荷傳遞路徑受兩支腿形狀的影響較大，為了提高計算效率，提取控制臂橫截面作為研究對象，計算得到主傳力路徑如圖8所示，可知，載荷從左側圓柱孔出發(fā)，在支腿內側逐漸傳遞到支腿外側，到右側圓柱孔終止，傳遞方向變化較大的區(qū)域位于支腿拐角處，即區(qū)域2。

通常更關注力在結構外輪廓的傳遞規(guī)律，本文進一步分析控制臂支腿內側(圖8路徑1)和外側(圖8路徑2)的承載性能，得到兩條路徑的U*變化圖如圖9所示。

在AO段，路徑1上的U*明顯大于路徑2，而在OB段U*則小于路徑2，表明載荷傳遞到O點之前控制臂內側承擔的剛度大于外側，而O點之后外側剛度貢獻度更大。在路徑1上，U*始終以一定的速率均勻下降，經過K點(對應圖8區(qū)域2)后，下降速率明顯降低，表明區(qū)域2左側材料承擔的載荷大于右側，因此區(qū)域2左側的應力值高于右側，這主要是由于區(qū)域2的拐角阻礙了力流的傳遞，進而導致力流向控制臂支腿外側方向傳遞；而在路徑2上，U*先以一定的速率均勻下降，在到達M點后，開始緩慢上升，隨后再次下降，表明力流傳遞到M點時受到了控制臂外側拐角的影響，導致力流傳遞速率明顯降低，而經過M點后，由于外側拐角和內側力流的綜合影響，使路徑2上的U*逐漸變大，直至N點后開始均勻下降，理想的傳力路徑認為U*始終均勻下降，因此，MN段U*的上升表明區(qū)域3(圖8)存在冗余材料，影響了力流的正常傳遞，在結構設計過程中應該考慮去除。

綜上分析可知，控制臂支腿內外側的力流傳遞不均勻，主要是由于控制臂支腿拐角處結構設計不合理導致載荷在傳遞到拐角處時方向發(fā)生了突變，建議將支腿外側材料向內側偏移，且減小拐角曲線的曲率。

3.3 結構優(yōu)化設計

為了改善控制臂的承載性能，依據(jù)第2節(jié)圖6思路建立控制臂包絡體模型，將控制臂的受載區(qū)域和約束區(qū)域保留，將其他區(qū)域填充為規(guī)則的矩形結構，并在圓柱孔B、C之間留出阻尼器的活動空間，得到的包絡體模型如圖10所示。

施加與圖7相同的載荷和約束，建立包絡體有限元模型，計算得到兩條主傳力路徑如圖11所示，將材料沿傳力路徑布置，考慮到加工工藝，將截面設計成矩形，并添加與原結構相同的減重槽，得到新模型如圖12所示，其質量由1.01 kg下降到0.92 kg。

3.4 結果對比分析

計算控制臂新模型的U*分布，如圖13所示，其主傳力路徑更靠近支腿內外兩側的中間通道，表明新模型的整體承載性能優(yōu)于原始模型。

為了說明優(yōu)化模型的承載性能優(yōu)勢，將優(yōu)化前后控制臂支腿內側和外側承載性能進行綜合分析，如圖14所示。

由圖可知，優(yōu)化后控制臂路徑1和路徑2上的U*變化趨勢相似，都是在AO段路徑1的U*大于路徑2，在OB段小于路徑2，不同的是優(yōu)化后O點的位置更靠近支撐點B，且OB段兩條路徑上的U*差別很小，表明優(yōu)化后控制臂支腿的內側和外側的承載性能更加均勻，通過優(yōu)化，剛度貢獻度從點A到點B由內側大于外側(AO段)逐步轉變?yōu)閮蓚?OB段)一致。

從路徑1可看出，優(yōu)化前后初始點的U*一致，但優(yōu)化后路徑前50%(AL段)的U*小于優(yōu)化前，而后50%大于優(yōu)化前的路徑，說明優(yōu)化后控制臂支腿內側的承載性能更加均勻，區(qū)域2力流的傳遞更加順暢；由路徑2可知，優(yōu)化后初始點的U*遠遠小于優(yōu)化前，這主要是優(yōu)化前控制臂路徑2的初始點位于受載圓柱孔與支腿交接處，導致力流傳遞至此產生了聚集，而優(yōu)化后力流在該位置的傳遞相對順暢，此外，優(yōu)化后路徑上的U*值始終均勻下降，與優(yōu)化前模型相比，在支腿拐角處不存在冗余材料對力流的阻滯，改善了區(qū)域3力流傳遞的順暢度。綜上分析可知，優(yōu)化后控制臂的承載性能明顯優(yōu)于優(yōu)化前。

為了進一步驗證優(yōu)化的合理性，對優(yōu)化前后控制臂極限工況進行靜態(tài)特性分析，建立控制臂有限元模型，施加圖7所示的載荷和邊界條件，得到其最大位移和應力見表1。

表1 優(yōu)化前后控制臂力學性能對比

由表可知，優(yōu)化前控制臂的最大位移為0.061 mm，最大應力為17.42 MPa，優(yōu)化后控制臂的最大位移為0.015 mm，比原模型小了0.046 mm，最大應力為15.92 MPa，比原模型小了1.5 MPa，可知采用傳力路徑設計的控制臂結構承載性能更優(yōu)，其剛度、強度分別提高了75.41%、8.61%，質量減輕8.91%。

4 結語

本文基于傳力路徑理論，提出結構承載性能評價及優(yōu)化方法，不僅可以給出承載結構局部區(qū)域的傳力規(guī)律，還能評價結構各區(qū)域的承載性能，進一步提出將材料沿傳力路徑布置以最大限度地發(fā)揮結構承載性能的設計思路，可實現(xiàn)承載結構的高剛度設計。以某型號控制臂為例進行優(yōu)化設計，結果表明：優(yōu)化后控制臂的承載性能得到改善，極限工況下的剛度、強度分別提高了75.41%、8.61%，而質量由1.01 kg減輕到0.92 kg。本文方法同樣適用于汽車車身等承載結構的性能評價與優(yōu)化設計中，其優(yōu)勢在于不需要建立復雜的數(shù)學模型進行多次迭代搜索。