毛晨濤 張翔 祖洪飛

摘要： 傳統(tǒng)校準(zhǔn)方法只能辨識(shí)空載工況下機(jī)器人桿件及關(guān)節(jié)誤差，當(dāng)機(jī)器人在大負(fù)載工況下由于變形會(huì)導(dǎo)致末端精度顯著下降。提出了大負(fù)載機(jī)器人在重載條件下關(guān)節(jié)變形的模型，通過(guò)激光跟蹤儀測(cè)量辨識(shí)機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度系數(shù)，并優(yōu)化控制律設(shè)計(jì)。該方法基于指數(shù)積（POE）模型和微分誤差模型，在空載工況下計(jì)算出結(jié)構(gòu)參數(shù)，零位誤差，將補(bǔ)償結(jié)果寫(xiě)回機(jī)器人控制器;在滿載條件下基于之前的坐標(biāo)準(zhǔn)直，辨識(shí)機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度系數(shù)，完成校準(zhǔn)過(guò)程。本算法在新松、埃斯頓等多家機(jī)器人公司的產(chǎn)品上進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：該校準(zhǔn)方法能夠使大負(fù)載機(jī)器人在重載工況下的絕對(duì)定位精度與空載工況下接近。

關(guān)鍵詞： 工業(yè)機(jī)器人; 剛度辨識(shí); 關(guān)節(jié)變形; 重載; 指數(shù)積

引 ?言

工業(yè)機(jī)器人的零部件在加工裝配過(guò)程中不可避免地會(huì)引入桿長(zhǎng)、零位等結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，通常的解決方法是通過(guò)測(cè)量機(jī)器人末端的定位誤差來(lái)辨識(shí)其結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過(guò)結(jié)構(gòu)參數(shù)校準(zhǔn)能夠極大地提升機(jī)器人性能，其絕對(duì)定位精度指標(biāo)通常能夠達(dá)到1 mm以內(nèi)[1?4]。然而通過(guò)大量試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，機(jī)器人在大負(fù)載工況下，由于關(guān)節(jié)的變形，只通過(guò)結(jié)構(gòu)參數(shù)校準(zhǔn)并不能很好地提升機(jī)器人精度。通過(guò)辨識(shí)各關(guān)節(jié)的剛度系數(shù)，補(bǔ)償由于變形導(dǎo)致的關(guān)節(jié)角度偏差，可以有效提升機(jī)器人在重載條件下的絕對(duì)定位精度。通常焊接、激光切割和噴涂等機(jī)器人末端都會(huì)加載大負(fù)載工裝，同時(shí)這些操作對(duì)機(jī)器人的絕對(duì)精度要求比較嚴(yán)格，所以對(duì)大負(fù)載機(jī)器人的關(guān)節(jié)剛度系數(shù)辨識(shí)是很必要的。對(duì)于工業(yè)機(jī)器人的剛度校準(zhǔn)，國(guó)內(nèi)外提出了很多理論和方法，如通過(guò)機(jī)器人三維模型進(jìn)行有限元分析得到末端的變形量[5];對(duì)電機(jī)?減速器?連桿的變形?力矩關(guān)系建立了數(shù)學(xué)傳遞模型[6];基于CCT理論將機(jī)器人末端所受力?力矩分解到各個(gè)關(guān)節(jié)上，分析變形?力矩關(guān)系[7?10];包含平衡缸的機(jī)器人剛度校準(zhǔn)等[11]。但是先前研究大部分都是基于理論計(jì)算得到機(jī)器人各關(guān)節(jié)克服末端及自身重力所要提供的力矩，而這部分力矩沒(méi)有考慮克服減速器齒輪之間的摩擦力所要提供的力矩，使得最后計(jì)算得到的剛度系數(shù)偏小;而且之前的研究大部分都基于機(jī)器人的DH模型，當(dāng)前后兩關(guān)節(jié)平行時(shí)DH模型會(huì)存在奇異的問(wèn)題。

機(jī)器人建模理論方面，Denavit?Hartenberg首先提出了DH模型，該模型能夠使用最小參數(shù)集表示各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系。Hayati通過(guò)引入繞y軸旋轉(zhuǎn)的冗余參數(shù)消除DH模型中的奇異性問(wèn)題，提出了MDH模型[12]。之后，Brockett提出基于指數(shù)積（POE）的機(jī)器人模型也很好地解決了DH模型中存在的奇異性問(wèn)題[13]，而且更直觀地描述了關(guān)節(jié)角度和末端位姿變化的關(guān)系。Li等基于POE模型對(duì)SCARA機(jī)器人誤差進(jìn)行了辨識(shí)[14]。之前還沒(méi)有學(xué)者使用POE模型對(duì)機(jī)器人剛度參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

通過(guò)上述分析，本文基于POE模型，考慮機(jī)器人空載下幾何構(gòu)型誤差及重載下的關(guān)節(jié)變形誤差，建立機(jī)器人的誤差微分模型、測(cè)量并分析點(diǎn)位數(shù)據(jù)、辨識(shí)出相關(guān)誤差量并對(duì)控制器參數(shù)補(bǔ)償以提升機(jī)器人絕對(duì)定位精度性能。本文提出的算法通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了剛度系數(shù)辨識(shí)和變形補(bǔ)償方法的有效性。

1 機(jī)器人校準(zhǔn)問(wèn)題描述

1.1 機(jī)器人-傳感器系統(tǒng)

機(jī)器人測(cè)量系統(tǒng)搭建如圖1所示，其中機(jī)器人末端實(shí)到位置通過(guò)激光跟蹤儀測(cè)量安裝在機(jī)器人末端的靶標(biāo)球得到。本試驗(yàn)所采用的測(cè)量設(shè)備是Faro Vantage激光跟蹤儀（精度為10 μm+2.5 μm/m），試驗(yàn)對(duì)象是新松的重載機(jī)器人SR210（最大負(fù)載為210 kg）。大負(fù)載機(jī)器人通常使用RV減速器進(jìn)行減速增矩，其傳動(dòng)齒輪表面通常進(jìn)行修形或硬化處理。通過(guò)大量試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)機(jī)器人負(fù)載較小時(shí)，減速器扭轉(zhuǎn)變形可以忽略不計(jì)。而在大負(fù)載工況運(yùn)動(dòng)時(shí)，減速器變形處于近似線性的區(qū)域。

基于以上分析，分兩步分別對(duì)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)和剛度系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，其測(cè)試流程如圖2所示?？蛰d結(jié)構(gòu)參數(shù)校準(zhǔn)時(shí)，機(jī)器人末端依次運(yùn)動(dòng)到笛卡爾空間的任意50個(gè)位型，測(cè)量并記錄下其位置數(shù)據(jù)及相應(yīng)的關(guān)節(jié)角度值，辨識(shí)得到測(cè)量坐標(biāo)到基坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，機(jī)器人桿長(zhǎng)零位等結(jié)構(gòu)參數(shù)值和工具中心點(diǎn)坐標(biāo)值。將機(jī)器人在空載條件下辨識(shí)得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)補(bǔ)償回機(jī)器人控制器，然后在機(jī)器人末端加上210 kg質(zhì)量塊;同樣地，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到之前的50個(gè)位型，記錄各個(gè)位型對(duì)應(yīng)的末端位置信息、關(guān)節(jié)角度值和各關(guān)節(jié)的電流值，辨識(shí)得到各關(guān)節(jié)由于負(fù)載變形的剛度系數(shù)。

由于測(cè)量坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是未知的，需要辨識(shí)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行坐標(biāo)對(duì)齊。本文將空載結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)得到的坐標(biāo)準(zhǔn)直作為后續(xù)性能測(cè)量與剛度校準(zhǔn)的基準(zhǔn)，用于對(duì)比驗(yàn)證校準(zhǔn)前后的精度提升情況。

1.2 機(jī)器人前向運(yùn)動(dòng)學(xué)

考慮一個(gè)n自由度的串聯(lián)機(jī)器人，其末端點(diǎn)在笛卡爾空間中可以描述為非線性映射關(guān)系

式中 ?映射f（）描述了關(guān)節(jié)角度值θ，待辨識(shí)參數(shù)x到機(jī)器人末端位置P的關(guān)系。由Brockett提出的應(yīng)用于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)POE模型，基于旋量理論和線性代數(shù)將每個(gè)關(guān)節(jié)軸以旋量的形式表達(dá)在空間中。由于POE模型從幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)微分空間到模型參數(shù)微分空間是連續(xù)映射關(guān)系，能夠避免DH模型存在奇異的問(wèn)題，同時(shí)也更直觀地描述末端誤差與關(guān)節(jié)角度誤差的關(guān)系，所以本文基于POE模型對(duì)機(jī)器人進(jìn)行建模。根據(jù)POE參數(shù)模型的定義，在測(cè)量坐標(biāo)系下表示的機(jī)器人末端坐標(biāo)為

式中 ?M為從測(cè)量坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換，，為機(jī)器人各軸關(guān)節(jié)角，為各關(guān)節(jié)的旋量表示，為在零初始條件下從機(jī)器人基坐標(biāo)到末端坐標(biāo)的齊次變換。

1.3 校準(zhǔn)問(wèn)題描述

機(jī)器人校準(zhǔn)問(wèn)題可視為以末端絕對(duì)定位誤差為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，不斷搜索得到使定位誤差減小的結(jié)構(gòu)參數(shù)解。將多組測(cè)量并計(jì)算得到的定位誤差描述為最小二乘誤差形式，則目標(biāo)函數(shù)可寫(xiě)為

式中 ?向量r為m組位型對(duì)應(yīng)的機(jī)器人末端定位誤差序列，為第j組位型對(duì)應(yīng)的機(jī)器人末端位置測(cè)量值。對(duì)于結(jié)構(gòu)參數(shù)校準(zhǔn)問(wèn)題，待辨識(shí)參數(shù)x表現(xiàn)為機(jī)器人桿長(zhǎng)零位等參數(shù);對(duì)于剛度系數(shù)校準(zhǔn)問(wèn)題，待辨識(shí)參數(shù)x表現(xiàn)為各個(gè)關(guān)節(jié)的剛度系數(shù)。

2 校準(zhǔn)問(wèn)題的求解

通過(guò)上一部分對(duì)機(jī)器人校準(zhǔn)問(wèn)題的分析，將其抽象為一個(gè)最小化優(yōu)化問(wèn)題。下面結(jié)合機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)理論，對(duì)上述校準(zhǔn)問(wèn)題進(jìn)行求解。

2.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)校準(zhǔn)

高斯?牛頓法使用泰勒展式近似代替非線性回歸模型公式，不斷迭代使待辨識(shí)參數(shù)逼近非線性回歸模型的真實(shí)值。其迭代過(guò)程可以表示為

2.2 剛度系數(shù)校準(zhǔn)

通過(guò)先前學(xué)者的研究，發(fā)現(xiàn)機(jī)器人桿件剛度系數(shù)遠(yuǎn)大于機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度。同時(shí)，由于機(jī)器人控制的實(shí)時(shí)性需要，補(bǔ)償關(guān)節(jié)角度變形更容易實(shí)現(xiàn)。所以，只考慮機(jī)器人電機(jī)?減速器?連桿重載變形中減速器的變形。直流伺服電機(jī)的電磁特性公式為

式中 ?為電機(jī)的輸出力矩，為電機(jī)電勢(shì)常數(shù)，為磁通量，I為電機(jī)的控制電流，其可以直接從機(jī)器人的控制器中讀取。將減速器作為研究對(duì)象，作用在各關(guān)節(jié)的力矩關(guān)系如下式所示

從上式可以看到各關(guān)節(jié)的輸入力矩不僅要克服自身的等效重力矩，還要克服減速器之間的摩擦力矩和加載在末端的力?力矩等效在各關(guān)節(jié)上的力矩。由于在靜止條件下進(jìn)行測(cè)試，所以不存在科氏離心力矩和。先前的研究對(duì)關(guān)節(jié)剛度系數(shù)辨識(shí)時(shí)只考慮了自重力矩和外力矩，而忽略了存在非線性的摩擦力矩，導(dǎo)致計(jì)算理論力矩時(shí)存在誤差。注意到電機(jī)的輸出力矩等于減速器的輸入力矩，直接讀取伺服電機(jī)的電流值計(jì)算減速器克服外力矩的等效力矩，可以更精確地辨識(shí)剛度系數(shù)。

將減速器近似為線性扭簧模型，桿件近似為剛體，則減速器的角度變形量與輸入力矩成正比。減速器的輸入力矩與變形量存在以下關(guān)系。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)解耦

對(duì)于六轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)機(jī)器人，結(jié)構(gòu)如圖3所示。

3.2 剛度系數(shù)辨識(shí)與補(bǔ)償

如圖4所示，通過(guò)在機(jī)器人末端加載力?力矩，使機(jī)器人的關(guān)節(jié)產(chǎn)生變形。使用跟蹤儀測(cè)量機(jī)器人末端的定位誤差，通過(guò)控制器讀取各關(guān)節(jié)電流值及相應(yīng)的關(guān)節(jié)角度，可以辨識(shí)出柔度系數(shù)向量。

3.3 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及結(jié)果

機(jī)器人空載校準(zhǔn)結(jié)果如表1所示，結(jié)構(gòu)參數(shù)校準(zhǔn)前后的精度如圖6所示，可以看到經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)參數(shù)的校準(zhǔn)，機(jī)器人的絕對(duì)定位精度從2.36 mm提升到0.82 mm，精度提升了65.25%。

機(jī)器人滿載校準(zhǔn)結(jié)果如表2所示，剛度系數(shù)校準(zhǔn)前后的精度如圖7所示。經(jīng)過(guò)剛度系數(shù)校準(zhǔn)，機(jī)器人的絕對(duì)定位精度從10.09 mm提升到2.42 mm，精度相對(duì)于結(jié)構(gòu)參數(shù)校準(zhǔn)的結(jié)果提升了76.01%。

有一點(diǎn)需要說(shuō)明，由于本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的過(guò)程中只加載了重力負(fù)載，重力方向與機(jī)器人第一轉(zhuǎn)軸的方向一致，根據(jù)機(jī)器人靜力學(xué)的理論可知，重力分解到第一轉(zhuǎn)軸的力矩為0，從實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)上也可以驗(yàn)證第一軸的電機(jī)控制電流很小。由于第一軸減速器輸出力矩幾乎為0，所以不對(duì)第一軸的柔度系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。同樣地，從圖1可以看到，末端加載的質(zhì)量負(fù)載是中心對(duì)稱的，所以第六軸的輸出力矩也幾乎為0，所以也不對(duì)第六軸的柔度系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證剛度校準(zhǔn)的效果，根據(jù)GB12642對(duì)機(jī)器人選定工作立方體中的5個(gè)點(diǎn)進(jìn)行性能測(cè)量驗(yàn)證，驗(yàn)證的結(jié)果如圖8和表3所示。剛度校準(zhǔn)能夠極大地提升重載時(shí)機(jī)器人末端的絕對(duì)定位精度，但精度還是略低于空載結(jié)構(gòu)參數(shù)校準(zhǔn)后的數(shù)據(jù);在空載狀態(tài)下對(duì)剛度參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，絕對(duì)定位精度的結(jié)果卻下降了，原因可能是在空載狀態(tài)下減速器的齒輪變形不明顯，還處于硬化區(qū)域，在重載辨識(shí)的剛度系數(shù)并不適用于空載的情況。

對(duì)圖8中空載減速器齒輪變形處于硬化區(qū)域進(jìn)行進(jìn)一步研究，驗(yàn)證不同負(fù)載率條件下辨識(shí)的剛度系數(shù)的適用情況。不同負(fù)載率條件下補(bǔ)償?shù)膭偠认禂?shù)均是在機(jī)器人滿載情況下辨識(shí)得到的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示，可以看出當(dāng)負(fù)載率達(dá)到25%以上，對(duì)關(guān)節(jié)變形補(bǔ)償后，機(jī)器人末端的位置準(zhǔn)確度與距離準(zhǔn)確度都有明顯提升，滿載時(shí)補(bǔ)償效果最好。

4 結(jié) ?論

本文通過(guò)建立基于POE理論的微分運(yùn)動(dòng)誤差模型，對(duì)空載工況下的機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，得到坐標(biāo)準(zhǔn)直和工具TCP信息，在滿載工況下對(duì)機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的剛度系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，補(bǔ)償回機(jī)器人控制器，進(jìn)而提高機(jī)器人的絕對(duì)定位精度。該算法有以下優(yōu)勢(shì)：

（1）基于機(jī)器人POE模型，從幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)微分空間到模型參數(shù)微分空間是連續(xù)映射關(guān)系，避免了DH模型位型奇異性的問(wèn)題;

（2）先前學(xué)者研究基于POE模型的校準(zhǔn)只修正旋量的誤差，而旋量誤差不能與機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)應(yīng)補(bǔ)償回控制器，本文引入解耦矩陣B分離各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，使得校準(zhǔn)結(jié)果能夠直接提升機(jī)器人性能;

（3）激光跟蹤儀能夠方便采集機(jī)器人末端位置，對(duì)于機(jī)器人廠家而言，固定機(jī)型的機(jī)器人跑兩遍50個(gè)點(diǎn)的位置，就能完成結(jié)構(gòu)參數(shù)與剛度參數(shù)的校準(zhǔn)，整體校準(zhǔn)時(shí)間可以縮減至20 min，極大地提高生產(chǎn)效率，節(jié)約人力成本;

（4）本算法極大地提升了機(jī)器人重載工況下的絕對(duì)定位精度，使得機(jī)器人即使在較大負(fù)載情況下（如汽車制造業(yè)）也能滿足生產(chǎn)需求。

該算法沒(méi)有考慮機(jī)器人桿件變形對(duì)末端絕對(duì)定位精度的影響，絕對(duì)定位精度還有進(jìn)一步提高的空間。

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A joint deformation compensation method for heavy-load industrial robots

MAO Chen?tao1， ZHANG Xiang2，4， ZU Hong?fei3， CHEN Zhang?wei1

（1.State Key Laboratory of Fluid Power and Mechatronic Systems， Zhejiang University， Hangzhou 310027， China; 2.Computer and Softwere School， Hangzhou Dianzi University， Hangzhou 310018， China; 3.School of Mechanical Engineering & Automation， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China; 4.Zhejiang Premax Technologies， Ningbo 315000， China）

Abstract： The traditional robot calibration method can only identify the errors of geometric parameters under no-load conditions. When the robot is deformed under heavy load conditions， the positioning accuracy is significantly reduced. This paper proposes a model of joint deformation for robots under heavy load conditions， the robot joint stiffness matrix is identified by the laser tracker and the control law design is optimized. Based on the POE model and the differential error model， the structural parameters are calculated under no-load conditions， and the result is written back to the robot controller. Under the heavy load conditions， the robot stiffness matrix is identified based on the previous transformation. The algorithm has been verified on the products of many robot companies. The results show that the calibration method can improve the absolute positioning accuracy of large load robots under heavy load conditions.

Key words： industrial robot; stiffness identification; joint deformation; heavy load; product of exponentials （POE）

作者簡(jiǎn)介： 毛晨濤（1993-），男，博士研究生。電話：13606629086; E-mail： mct@zju.edu.cn

通訊作者： 陳章位（1965-），男，教授，博士生導(dǎo)師。電話：13805793651; E-mail： chenzw@zju.edu.cn