曹相波

（大理州實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)組 云南大理 671099）

一、問(wèn)題引入

在解三角形中，我們經(jīng)常會(huì)碰到已知對(duì)邊對(duì)角求關(guān)于另兩邊的關(guān)系式的最值或取值范圍問(wèn)題，比如求面積或周長(zhǎng)的取值范圍。對(duì)于這類(lèi)題，一般結(jié)合基本不等式可以解決，但利用不等式只能解決最大值問(wèn)題，而最小值方向就需要其它知識(shí)解決，另外，如果當(dāng)另兩邊前的系數(shù)不相等時(shí)的線性關(guān)系式求最值就不能簡(jiǎn)單解決。

又△ABC中，a+c＞b=2 ∴2＜a+c≤4 ∴l(xiāng)=b+a+c=2+a+c∈（4，6］

從上例的解法，能看出基本不等式在求最大值方向問(wèn)題不大，但對(duì)于求最小值方向就存在麻煩，需要結(jié)合其它隱含條件，比如，在求周長(zhǎng)最小值方向時(shí)，需要考慮在三角形中兩邊之和大于第三邊這一隱含條件。那有沒(méi)有能直接求出最大和最小兩個(gè)方向的值呢？

二、問(wèn)題探究

當(dāng)然，在解三角形中，很多同學(xué)是正弦定理或余弦定理輪換使用來(lái)尋求解題方法，下面我們就用正弦定理嘗試一下。

解：由正弦定理可得：

【注：三角函數(shù)中利用公式化簡(jiǎn)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，中間過(guò)程就留給讀者自行解決，以下也是如此】

從以上方法中可以看出，用正弦定理轉(zhuǎn)化到用角表示邊長(zhǎng)之后，求三角形面積或周長(zhǎng)問(wèn)題就化歸到三角函數(shù)求最值問(wèn)題上來(lái)，并且最大和最小方向的值都可以直接算出來(lái)。

三、問(wèn)題變式

當(dāng)然，有些時(shí)候題目條件可能會(huì)加強(qiáng)。比如在其它條件不變的情況下，將△ABC限定為銳角三角形時(shí)，求其面積S和周長(zhǎng)l的取值范圍。銳角三角形這一條件的運(yùn)用往往考慮最大角是銳角。

四、問(wèn)題變式反思

那么，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC的面積S和周長(zhǎng)l取得最值？

借助于圓的對(duì)稱(chēng)性，可知當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，△ABC的面積S和周長(zhǎng)l取得最大值；當(dāng)點(diǎn)B無(wú)限接近于點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，△ABC的面積S和周長(zhǎng)l趨近于最小值（為保證△ABC的存在，點(diǎn)B不能與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合，故用趨近于一詞）。

在其它條件不變的情況下，將△ABC限定為銳角三角形時(shí)，則點(diǎn)B只能在點(diǎn)D和點(diǎn)E之間（點(diǎn)B不能和點(diǎn)D或點(diǎn)E重合）運(yùn)動(dòng)（AD和CE為直徑，∠CAE和∠ACD為直角）。

綜上，可以得到一個(gè)結(jié)果，△ABC的面積S和周長(zhǎng)l都是在垂直平分于邊AC的直徑的端點(diǎn)M點(diǎn)處取得最大值。

五、方法推廣

從上面的數(shù)形結(jié)合分析能夠讓我們更加形象地理解題目的內(nèi)涵。基于對(duì)原題的深入理解我們就可以更好地利用這些思想方法去破解對(duì)應(yīng)的變式題。下面就對(duì)變式題型進(jìn)行研究。

（一）已知角非60度

該題只對(duì)已知角大小做出改變，方法不變，用余弦定理結(jié)合基本不等式或者正弦定理用某個(gè)角表示未知邊轉(zhuǎn)化到三角函數(shù)求最值這兩個(gè)方法都可以（具體過(guò)程請(qǐng)讀者自行完成）。

另外，我們結(jié)合外接圓來(lái)研究一下。如圖2。

設(shè)兩腰長(zhǎng)為x，則由余弦定理可得

（二）求解另兩邊的一次關(guān)系式（xa+yc）的最值

解：由正弦定理得a,c與第二部分問(wèn)題探究相同（故省略）

（三）已知非對(duì)邊對(duì)角

例題3：（2019年全國(guó)三卷第18題）

（1）求B； （2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

解：（1）過(guò)程略可得B=60°.

由于△ABC為銳角三角形，故 0°＜A＜90°，0°＜C=120°-A<90°，所以30°＜C＜90°，

下面我們借助于圖形研究一下第二小題。

如圖3.由于△ABC為銳角三角形，則需考慮最大角為銳角即可。

當(dāng)∠B=60°為最大角時(shí)，△ABC只能為等邊三角形，即為圖3中的△ABM。

當(dāng)∠A為最大角時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)M與點(diǎn)E之間運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)E和點(diǎn)M）。

當(dāng)∠C為最大角時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)M與點(diǎn)D之間運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)D和點(diǎn)M）。

綜上，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)D與點(diǎn)E之間運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)D和點(diǎn)E）。

由圖可得：S△ABD＜S△ABC＜S△ABE。

六、方法總結(jié)反思

從本文分析可以看出，相對(duì)于利用不等式求最值，利用正弦定理用角表示邊長(zhǎng)從而轉(zhuǎn)化到三角函數(shù)求最值的方法更具有優(yōu)勢(shì)，更具有普遍適用性，可以稱(chēng)作是解三角形求范圍問(wèn)題的通法，當(dāng)然結(jié)合外接圓來(lái)分析此類(lèi)題目，讓我們更加形象地理解其內(nèi)涵。