胡明月,于雙和,李云云,閻 妍,趙 穎

(大連海事大學 船舶電氣工程學院,遼寧 大連 116026)

隨著科學技術的飛速發(fā)展,對海洋勘探、資源開發(fā)和運輸?shù)男枨蟛粩嘣黾?海洋水面船舶(Marine surface vessels,MSV)的控制問題受到了廣泛關注。軌跡跟蹤控制是MSV運動控制中的一種典型控制方法,它要求MSV跟蹤所需的時變參考軌跡。MSV的軌跡跟蹤控制問題在國內外一直是熱門的研究課題[1-3]。

MSV在航行過程中常常會受到如風、浪、流等外部海洋環(huán)境的干擾,這使得設計有效的控制器更具挑戰(zhàn)性。由于擾動觀測器的設計不依賴于控制器設計,且具有較高的估計精度,因此越來越受到人們的歡迎。文獻[4]提出了一種固定時間擴展狀態(tài)觀測器,它能夠精確觀測船舶速度以及由模型不確定性和外部干擾構成的復合擾動,并設計了基于終端滑模的軌跡跟蹤控制律。文獻[5]提出了基于指令濾波的軌跡跟蹤控制律,并設計了一種固定時間擾動觀測器來估計包括模型不確定性和外部干擾在內的復合干擾。文獻[6]提出了一種基于超螺旋算法的有限時間擾動觀測器,能夠在有限時間內精確估計外部時變干擾。但上述文獻沒有考慮MSV的輸出約束和狀態(tài)約束。輸出約束可以保證MSV的實際路徑嚴格限制在期望軌跡的兩側,狀態(tài)約束可以保證MSV不會因偏離航線而發(fā)生碰撞或超速導致設備故障,并保證瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差均在規(guī)定的小范圍內。障礙李雅普諾夫函數(shù)在約束問題中得到了廣泛的應用。文獻[7-9]利用障礙李雅普諾夫函數(shù)設計了帶有輸出約束的自適應神經(jīng)網(wǎng)絡軌跡跟蹤控制方案。文獻[10]首次采用障礙李雅普諾夫函數(shù)結合Moore-Penrose偽逆處理了MSV在全狀態(tài)約束下的軌跡跟蹤控制問題。文獻[11,12]利用障礙李雅普諾夫函數(shù)解決了帶有全狀態(tài)約束和輸入飽和的MSV軌跡跟蹤控制問題。文獻[13]利用雙曲正切函數(shù)和障礙李雅普諾夫函數(shù)解決了帶有誤差約束和輸入飽和的有限時間MSV軌跡跟蹤控制問題。文獻[14]提出了基于增加冪次積分的方法和障礙李雅普諾夫函數(shù)的固定時間MSV軌跡跟蹤控制律。文獻[15]首次采用障礙李雅普諾夫函數(shù)結合指令濾波處理具有全狀態(tài)約束的非線性系統(tǒng)軌跡跟蹤問題。上述文獻大多考慮的是具有漸進收斂性的MSV軌跡跟蹤控制,導致MSV在實際應用中無法及時準確跟蹤期望的軌跡。有限時間控制以其更快的收斂速度和更強的魯棒性被廣泛應用。文獻[16]提出了基于非奇異終端滑模的有限時間MSV自適應軌跡跟蹤控制策略。文獻[17]基于反步法設計了一種欠驅動MSV自適應模糊有限時間路徑跟蹤控制器。文獻[18]提出了一種基于有限時間微分器的有限時間路徑跟蹤控制方法。文獻[19]基于有限時間指令濾波提出了一類非線性系統(tǒng)的有限時間軌跡跟蹤控制方案。文獻[20]解決了考慮死區(qū)和全狀態(tài)約束的非線性系統(tǒng)的有限時間軌跡跟蹤控制問題。

在文獻[6,12,15]的啟發(fā)下,本文提出了一種基于指令濾波器的全狀態(tài)約束有限時間軌跡跟蹤控制方案。首先,構造基于超螺旋算法的有限時間擾動觀測器,精確觀測由外部未知時變干擾和模型不確定性構成的復合擾動。與文獻[11-13]相比,本文將障礙李雅普諾夫函數(shù)、有限時間指令濾波器和有限時間穩(wěn)定性理論相結合來處理具有全狀態(tài)約束的MSV有限時間軌跡跟蹤控制問題,并且通過使用指令濾波避免了對虛擬控制律求導產(chǎn)生的微分膨脹和奇異性問題,最終系統(tǒng)是有限時間穩(wěn)定的。

1 MSV系統(tǒng)建模

考慮帶有外部擾動的三自由度MSV的動力學模型

(1)

式中:η=[xyψ]T∈R3表示大地坐標系下的位置(x,y)和偏航角(ψ);υ=[uvr]T分別代表船舶在附體坐標系下前進速度u、橫漂速度v、偏航角速度r;M∈R3×3是包含附加質量的慣性矩陣;C0(υ)∈R3×3是科里奧利向心力矩陣;D0(υ)∈R3×3是非線性水動力阻尼矩陣;τ=[F1F2M3]T代表控制輸入,分別由前進方向控制力F1、橫漂方向控制力F2和偏航角方向控制力矩M3組成;d=[d1(t)d2(t)d3(t)]T分別代表前進方向、橫漂方向和偏航角方向的外部時變干擾,J(ψ)是大地坐標系和附體坐標系之間的旋轉矩陣,定義為如下形式

且滿足性質J(ψ)TJ(ψ)=I,‖J(ψ)‖=1,質量慣性矩陣定義為

式中

d11(υ)=-Xu-X|u|u|u|-Xuuuu2

d22(υ)=-Yv-Y|v|v|v|-Y|r|v|r|

d23(υ)=-Yr-Y|v|r|v|-Y|r|r|r|

d32(υ)=-Nv-N|v|v|v|-Y|r|v|r|

d33(υ)=-Nr-N|v|r|v|-Y|r|r|r|

考慮模型參數(shù)矩陣中的不確定性,C0(υ)=C(υ)+ΔC(υ),D0(υ)=D(υ)+ΔD(υ),C(υ)和D(υ)是名義上的模型參數(shù),ΔC(υ)和ΔD(υ)代表模型參數(shù)不確定的部分,令x1=η,x2=υ,式(1)重寫為

(2)

式中:dl=-ΔC(υ)υ-ΔD(υ)υ+d,表示由模型參數(shù)不確定性和未知時變外部干擾組成的復合干擾。bai>0,bci>0,i=1,2,3是預定義的常量約束。為了使船舶在有限時間內跟蹤上期望軌跡并且所有的狀態(tài)都被約束在|x1i|

引理1[19]對于1個連續(xù)正定李雅普諾夫函數(shù),給出如下有限時間穩(wěn)定性條件

(3)

引理2[6]基于一階Levant微分器的有限時間指令濾波器

(4)

引理3[20]對于任意常數(shù)kb∈R+,當變量|x|

(5)

引理4[19]對于所有xi∈R(i=1,2,…,n)并且0

(6)

2 擾動觀測器設計

為了估計未知復合干擾,首先引入輔助變量h1=[h11h12h13]T,h2=[h21h22h23]T

(7)

式中:λ1和λ2分別為速度x2和復合擾動dl的觀測值,基于超螺旋算法設計如下有限時間擾動觀測器

(8)

式中:β和k是正常數(shù)。

定理1考慮式(2)MSV模型,如果復合擾動滿足假設1,通過選擇合適的參數(shù)β和k,擾動觀測器式(8)可以在有限時間精確地估計未知的復合干擾dl。

證明結合式(2)、(7)和(8),對h1和h2求時間的導數(shù),可得觀測器估計誤差動力學公式

(9)

3 有限時間控制器設計及穩(wěn)定性分析

利用障礙李雅普諾夫函數(shù)、有限時間指令濾波和反步法設計船舶有限時間軌跡跟蹤控制律,在不違反全狀態(tài)約束的前提下,使船舶在有限時間內跟蹤期望的位置軌跡和速度軌跡。

(1)定義位置跟蹤誤差z1∈R3

z1=x1-xd

(10)

式中:xd表示期望的軌跡,設計如下虛擬控制律α′∈R3

(11)

式中

C1=diag{c11,c12,c13}是正定對角矩陣,s1,ρ1是正常數(shù),0<γ<1,b1=[b11b12b13]T是e1=[e11e12e13]T的約束標量,e1將在后文中定義。引入引理2中的有限時間指令濾波器,對虛擬控制律求導,可避免直接求導產(chǎn)生微分膨脹和奇異問題。

(12)

(13)

式中:狀態(tài)變量ξ2∈R3,ξ2將在后文中定義。

定義補償跟蹤誤差向量e1∈R3

e1=z1-ξ1

(14)

選擇e1的障礙李雅普諾夫函數(shù)

(15)

式中:當|e1i|

(16)

式中:Ji∈R3,i=1,2,3表示J的第i行元素,xdi表示xd第i個元素,ξ1i表示ξ1第i個元素。

(2)定義速度跟蹤誤差z2∈R3

z2=x2-α′c

(17)

引入文獻中的[6]濾波補償機制

(18)

式中:C2=diag{c21,c22,c23}是正定對角矩陣,狀態(tài)變量ξ2∈R3,ρ2是正常數(shù)。

定義補償跟蹤誤差e2∈R3

e2=z2-ξ2

(19)

根據(jù)式(11)、(17)和(19),重寫式(16)

(20)

根據(jù)楊氏不等式,得

(21)

式(20)最終可化為

(22)

根據(jù)式(2)、(17)～(19),可得

ρ2sign(ξ2)

(23)

根據(jù)Moore-Penrose逆,得

(24)

設計如下船舶軌跡跟蹤控制律

(25)

式中

k1i是正常數(shù),i=1,2,3;s2是正設計參數(shù);λ2是通過有限時間擾動觀測器觀測到的復合擾動。

定理2考慮存在外部未知干擾的MSV模型式(2),在假設1條件下,設計船舶軌跡跟蹤控制律式(25),有限時間指令濾波器式(12),有限時間濾波補償系統(tǒng)式(13)和式(18)。在跟蹤誤差初值滿足e1i(0)∈Ω01{|e1i|

證明

定義障礙李雅普諾夫函數(shù)

(26)

式中:b2=[b21b22b23]T是e2=[e21e22e23]T的約束標量,對式(26)關于時間求導,并代入式(23)和(25),可得

(27)

由楊氏不等式得

(28)

根據(jù)引理3和引理4,式(28)可進一步化成

(29)

式中

(30)

(31)

對式(31)求關于時間的導數(shù),得

(32)

由引理2可知,在有限時間tf內,0<‖α′c-α′‖≤?1,f=‖J‖‖α′-α′c‖,式(32)最終可化為

(33)

式中

注釋R表示實數(shù)集合;R+表示正實數(shù)集;‖·‖表示歐式范數(shù);對于a∈Rn,ai是向量a的第i個元素,其中i=1,2,…,n,|a|=[|a1| |a2| … |an|]T;λmin(·)表示矩陣的最小特征值;λmax(·)表示矩陣的最大特征值;定義x∈Rn,0<β<1,sβ(x)=[sβ(x1)sβ(x2) …sβ(xn)]T,sβ(xi)=sign(xi)|xi|β,i=1,2,…,n。

4 數(shù)值仿真

通過MATLAB仿真驗證所提出的有限時間軌跡跟蹤控制律的有效性。選擇Cybership Ⅱ作為船模型,模型參數(shù)參考文獻[12]。船舶的位置初始條件為η(0)=[0.8 1 -0.5]T;速度初始條件為υ(0)=[1 0.5 -0.5]T;有限時間擾動觀測器參數(shù)為k=14,β=5;有限時間指令濾波器參數(shù)分別選為l1=20,l2=40;濾波誤差補償機制參數(shù)選擇為C1=diag{5,5,5},C2=diag{5,5,5},ρ1=ρ2=1;控制器的參數(shù)選為K1=diag{10,10,10},s1=4,s2=9;誤差約束的界選為b1=[1.2 0.9 1.2]T,b2=[1.7 1 1]T;時變未知擾動選為

d(t)=[d1(t)d2(t)d3(t)]T=

期望位置軌跡選擇為

仿真結果如圖1～9所示。由圖1和圖2可知,在本文FCTC方法下實際位置和速度軌跡能在有限時間內精確地跟蹤上期望的位置和速度軌跡。圖3和圖4是ACTC方法下實際位置和速度軌跡跟蹤期望的位置和速度軌跡,通過對比可知,本文FCTC方法跟蹤效果優(yōu)于ACTC方法。圖5對比了FCTC和ACTC方法的位置跟蹤誤差,圖6對比了兩者的速度跟蹤誤差?？梢钥闯?本文FCTC方法可保證位置和速度跟蹤誤差不超過預定的約束,FCTC方法比ACTC方法具有更快的瞬態(tài)響應,并且FCTC方法下的穩(wěn)態(tài)誤差比ACTC小。圖7是本文FCTC方法的控制輸入。圖8是ACTC方法的控制輸入。對比可知,本文FCTC方法的控制輸入在初始階段比ACTC控制輸入大,這是因為本文控制器在開始后較短時間內驅動船跟蹤上期望軌跡。圖9是復合干擾及其觀測值的圖像,可以看出本文擾動觀測器可以在有限時間內精確觀測到復合擾動,這保證了MSV系統(tǒng)精確的干擾補償和強魯棒性。

圖1 FCTC方法下MSV位置軌跡圖

圖2 FCTC方法下MSV速度軌跡圖

圖3 ACTC方法下MSV位置軌跡圖

圖4 ACTC方法下MSV速度軌跡圖

圖5 MSV的位置跟蹤誤差對比圖

圖6 MSV的速度跟蹤誤差對比圖

圖7 FCTC方法的控制輸入曲線圖

圖8 ACTC方法的控制輸入曲線圖

圖9 復合干擾及其觀測值曲線圖

5 結束語

本文研究了由外部時變干擾和模型不確定性構成的復合擾動作用下,具有全狀態(tài)約束的MSV的有限時間軌跡跟蹤控制問題。首先,設計了1個有限時間擾動觀測器,用來估計由模型不確定性和外部擾動構成的復合擾動。利用障礙李雅普諾夫函數(shù)結合反步法構造有限時間全狀態(tài)約束的軌跡跟蹤控制律。此外,為了消除傳統(tǒng)反步法對虛擬控制律求導造成“復雜性爆炸”的問題和奇異問題,引入有限時間指令濾波來對虛擬控制求導,然后采用有限時間濾波補償機制處理濾波產(chǎn)生的誤差,進一步減小跟蹤誤差,通過有限時間穩(wěn)定性理論分析了本文控制策略,證實了其有效性。但本文沒有考慮執(zhí)行器飽和,在實際應用中,當發(fā)生執(zhí)行器飽和時,船舶無法準確跟蹤所需的軌跡。因此,后續(xù)研究工作將考慮輸入飽和及時變外部干擾下的全狀態(tài)約束有限時間船舶軌跡跟蹤及編隊控制。