尤哲夫,賀 偉,李 濤

(南京信息工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210044)

倒立擺(Inverted pendulum)系統(tǒng)通常被認(rèn)為是1個(gè)典型的非線性、強(qiáng)耦合、多變量、高階和絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng),是進(jìn)行控制理論教學(xué)和控制實(shí)驗(yàn)展開(kāi)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)[1-4]。其中旋轉(zhuǎn)倒立擺(Rotating inverted pendulum)的控制原理,就是通過(guò)搖桿的擺動(dòng)使擺桿可以盡快地到達(dá)平衡位置,并且只產(chǎn)生很小的振蕩和理想的角速度;當(dāng)擺桿達(dá)到期望的位置后,系統(tǒng)能克服外界因素而保持穩(wěn)定[5]。在旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制過(guò)程中,可以很好地反映出非線性、魯棒性、隨動(dòng)性、鎮(zhèn)定和跟蹤等問(wèn)題,常被用來(lái)測(cè)試新的控制算法和控制理論是否具有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問(wèn)題的能力[6,7]。與此同時(shí),旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的控制方法在機(jī)器人工業(yè)[8]和航空航天領(lǐng)域也有著廣泛用途,如機(jī)器人爬樓梯姿態(tài)控制和火箭發(fā)射中的垂直度控制等。

近年來(lái),研究人員提出了幾種魯棒控制器,用來(lái)處理旋轉(zhuǎn)倒立擺中遇到的擾動(dòng)和不確定性問(wèn)題,例如,反饋線性化和能量補(bǔ)償相結(jié)合的復(fù)合控制器[6],還有旋轉(zhuǎn)倒立擺的滑?？刂破鱗9]等。這些方法在某種程度上來(lái)說(shuō)是相似的,因?yàn)槎伎梢员徽J(rèn)為是提供了無(wú)功干擾衰減。實(shí)驗(yàn)證明,很少有設(shè)計(jì)能夠提供主動(dòng)的干擾衰減規(guī)律,并通過(guò)前饋通道消除內(nèi)部不確定性和外部擾動(dòng)帶來(lái)的不利影響。擾動(dòng)的不確定性估計(jì)和衰減與所謂的“非活躍”抗干擾不同,它可以為采用擾動(dòng)估計(jì)的系統(tǒng)提供較強(qiáng)的魯棒性,來(lái)構(gòu)造由反饋控制部分和前饋補(bǔ)償部分組成的復(fù)合控制律。

滑?？刂?Sliding mode control,SMC)作為一種處理不確定性、時(shí)變特性、非線性和有界外部擾動(dòng)的有效控制算法,常被用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制[10-12],其概念簡(jiǎn)單,特別是具有強(qiáng)大的抗擾動(dòng)能力和消除設(shè)備不確定性的能力。然而,由于開(kāi)關(guān)控制的存在,傳統(tǒng)SMC的控制輸出會(huì)產(chǎn)生不希望出現(xiàn)的抖振現(xiàn)象,從而對(duì)機(jī)械部件造成某些危害。近年來(lái),一些學(xué)者提出了一種用于SMC的擾動(dòng)觀測(cè)器(Disturbance observer,DOB),其思想是將SMC反饋直接與基于擾動(dòng)估計(jì)的前饋補(bǔ)償相結(jié)合來(lái)構(gòu)造控制律[13,14]。相比于傳統(tǒng)的SMC和積分滑?？刂?Integral sliding mode control,ISMC),基于DOB的SMC不僅控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,而且有2個(gè)顯著的特點(diǎn):首先,所提出的方法,僅需將控制律中高頻開(kāi)關(guān)增益設(shè)計(jì)為大于擾動(dòng)估計(jì)誤差界限,而不是大于擾動(dòng)估計(jì)界限,從而緩解了抖振問(wèn)題;其次,由于DOB就像基線控制器的補(bǔ)丁軟件一樣,在沒(méi)有不確定性的情況下,不會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生任何不利影響[13]。

受現(xiàn)有反饋控制框架的啟發(fā),本文針對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于DOB的SMC方法。旋轉(zhuǎn)倒立擺是著名的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),這就意味著驅(qū)動(dòng)量會(huì)小于系統(tǒng)的自由度。因此,第1步可以通過(guò)坐標(biāo)變換將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為級(jí)聯(lián)形式。在級(jí)聯(lián)形式中,系統(tǒng)中不可避免地存在匹配和不匹配擾動(dòng)。本文利用干擾觀測(cè)器來(lái)估計(jì)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)中出現(xiàn)的擾動(dòng),設(shè)計(jì)1個(gè)新的基于擾動(dòng)估計(jì)的滑動(dòng)面[4],即使存在不匹配的擾動(dòng),系統(tǒng)狀態(tài)也可以通過(guò)沿滑動(dòng)面的滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)漸近地驅(qū)動(dòng)到期望的平衡狀態(tài);然后,設(shè)計(jì)出具有高頻開(kāi)關(guān)增益的不連續(xù)控制律,使初始狀態(tài)達(dá)到設(shè)計(jì)的滑動(dòng)面,再利用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論,證明該控制器的穩(wěn)定性;通過(guò)在仿真軟件MATLAB上的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性;最后在Quanser公司的旋轉(zhuǎn)倒立擺實(shí)物仿真系統(tǒng)上對(duì)該方法和傳統(tǒng)比例-積分-微分(Proportional integral differential,PID)控制方法的抗干擾能力進(jìn)行比較、分析[6]。

1 旋轉(zhuǎn)倒立擺模型

如圖1所示,建立旋轉(zhuǎn)倒立擺控制原理的空間圖形,其中,搖桿位于水平面,擺桿位于垂直面。在外部擾動(dòng)的干預(yù)下,旋轉(zhuǎn)倒立擺通過(guò)擺動(dòng)搖桿使擺桿在垂直位置保持平衡。

I—搖桿慣性矩;l—搖桿長(zhǎng)度;θ—搖桿角位移; m—擺桿質(zhì)量;L—擺桿長(zhǎng)度;J—擺桿慣性矩; α—擺桿角位移;F,f—擾動(dòng);M—轉(zhuǎn)矩。圖1 旋轉(zhuǎn)倒立擺結(jié)構(gòu)圖

對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)倒立擺的歐拉-拉格朗日方程[15]

Δ(·)=(J+mL2)(I+mL2sin2α)+

Jml2+m2L2l2sin2α

(1)

將式(1)進(jìn)行線性化處理后[16],得到狀態(tài)方程

(2)

考慮到系統(tǒng)狀態(tài)方程中出現(xiàn)的匹配和不匹配擾動(dòng)項(xiàng),對(duì)方程組式(2)進(jìn)行求導(dǎo)得

(3)

2 控制器設(shè)計(jì)

DOB的設(shè)計(jì)思路是將外部干擾或模型參數(shù)變化造成的實(shí)際對(duì)象與模型之間的差異等效到控制輸入端,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的完全控制。本文考慮旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)式(3)中匹配和不匹配擾動(dòng)抑制問(wèn)題,通過(guò)以下2步提出了一種基于DOB的SMC:首先,利用觀測(cè)器估計(jì)匹配擾動(dòng)和不匹配擾動(dòng);然后,在此基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)出滑模面和控制律。該系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖2所示。

圖2 旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)控制框圖

2.1 DOB設(shè)計(jì)

為了便于參數(shù)處理,可以簡(jiǎn)單地將系統(tǒng)式(3)的形式化為

(4)

式中:x=[x1x2x3x4]T,f(x)=[x2x3x4f2(x)]T,g1(x)=[0 0 0b]T,g2(x)=diag{1,1,1,1},d(t)=[0d10d2]。

定理1采用DOB對(duì)系統(tǒng)中復(fù)合擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)來(lái)提高系統(tǒng)的魯棒性,在選擇合適的觀測(cè)器增益l后,擾動(dòng)估計(jì)誤差可以漸近收斂到0。DOB設(shè)計(jì)為

(5)

證明擾動(dòng)估計(jì)誤差可以定義為

(6)

誤差動(dòng)態(tài)可以推導(dǎo)為

l[f(x)+g1(x)u+g2(x)d(t)]

(7)

(8)

證畢。

針對(duì)系統(tǒng)式(3)中的匹配擾動(dòng)和不匹配擾動(dòng),再結(jié)合式(5)中給出的擾動(dòng)估計(jì),可以把滑模面設(shè)計(jì)為

(9)

2.2 穩(wěn)定性分析

定理2考慮到系統(tǒng)式(3)中的匹配擾動(dòng)和不匹配擾動(dòng),提出了滑模曲面式(9),控制律可以設(shè)計(jì)為

u=-b-1[cx2+ksgn(s)+x3+x4+f2(x)+

(10)

式中:k是要設(shè)計(jì)的開(kāi)關(guān)增益。

證明首先選取如下的李雅譜諾夫候選函數(shù)

(11)

對(duì)式(11)中的V進(jìn)行求導(dǎo)可以得到

s{x3+d1+x4-[cx2+ksgn(s)+x3+x4+f2(x)+

s[-ksgn(s)+ed1+ed2]<=

|s|(-k+ed1+ed2)

(12)

(13)

證畢。

備注2DOB一直以來(lái)對(duì)匹配的干擾和不匹配的干擾有著精確的估計(jì)。因?yàn)樗玫降墓烙?jì)誤差值遠(yuǎn)小于系統(tǒng)中的擾動(dòng)值,所以該方法的開(kāi)關(guān)增益可以設(shè)計(jì)得比傳統(tǒng)的SMC小得多。在保持SMC標(biāo)稱性能的情況下,該方法還可以在一定程度上緩解抖振問(wèn)題。

3 仿真和實(shí)驗(yàn)研究

3.1 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證所提出的基于DOB的SMC方法對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的有效控制,通過(guò)MATLAB軟件對(duì)該方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),設(shè)置步長(zhǎng)為0.001 s,連續(xù)變量采用ode45,仿真時(shí)間為10 s。設(shè)定系統(tǒng)式(3)的初始狀態(tài)為x(0)=[0 0 0 0]T,c=15,k=8,階躍擾動(dòng)為

仿真結(jié)果如圖3所示。系統(tǒng)的參數(shù)值如表1所示。

圖3 旋轉(zhuǎn)倒立擺仿真曲線圖

表1 旋轉(zhuǎn)倒立擺參數(shù)表

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)獲取的實(shí)時(shí)變化曲線可以看出,在系統(tǒng)同時(shí)存在匹配和不匹配擾動(dòng)的情況下,所提出的基于DOB的SMC方法表現(xiàn)出了很好的抗干擾能力和很短的穩(wěn)定時(shí)間。當(dāng)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)中加入外部干擾時(shí),DOB能迅速產(chǎn)生擾動(dòng)估計(jì)來(lái)抵消該干擾,使系統(tǒng)在保持標(biāo)稱性能的情況下,用很短的時(shí)間恢復(fù)穩(wěn)定。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證基于DOB的SMC方法對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺的有效控制,設(shè)計(jì)了旋轉(zhuǎn)倒立擺半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證該控制方法的可行性?？紤]到測(cè)試的效率,所有的控制方法都會(huì)在Simulink/Quarc環(huán)境里實(shí)現(xiàn)。旋轉(zhuǎn)倒立擺半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示,其中,水平搖桿連接在直流電機(jī)軸上,為方便測(cè)量搖桿和垂直擺桿的角位置,直流電機(jī)末端和搖桿的末端分別帶有1個(gè)編碼器。

圖4 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)物圖

旋轉(zhuǎn)倒立擺的半實(shí)物仿真控制框圖如圖5所示,在仿真環(huán)境中進(jìn)行控制器優(yōu)化后,將原本的旋轉(zhuǎn)倒立擺數(shù)學(xué)模型替換成實(shí)際的被控對(duì)象,然后進(jìn)行編譯并運(yùn)行程序。首先將旋轉(zhuǎn)倒立擺的擺桿位置穩(wěn)定在平衡點(diǎn),再進(jìn)行系統(tǒng)的抗擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)。為了顯示本文所提出的基于DOB的SMC方法的優(yōu)勢(shì),這里和傳統(tǒng)的PID控制器的抗干擾能力進(jìn)行了對(duì)比研究。在系統(tǒng)的輸入端加入1個(gè)值恒為30的擾動(dòng)信號(hào),圖6為輸入擾動(dòng)時(shí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的搖桿和擺桿輸出曲線。

圖5 旋轉(zhuǎn)倒立擺實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)圖

圖6 旋轉(zhuǎn)倒立擺仿真曲線圖

通過(guò)系統(tǒng)的控制框圖和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,當(dāng)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)受到外加擾動(dòng)時(shí),基于DOB的SMC方法和傳統(tǒng)的PID控制方法都能使系統(tǒng)恢復(fù)平衡。在同等條件下,傳統(tǒng)的PID控制方法雖然讓旋轉(zhuǎn)倒立擺的搖桿在1.5 s左右恢復(fù)了穩(wěn)定,搖桿已經(jīng)偏離了原來(lái)的平衡位置,擺桿也出現(xiàn)了大幅度的晃動(dòng),這說(shuō)明傳統(tǒng)PID控制方法的抗干擾能力不強(qiáng)。在基于DOB的SMC方法作用下,旋轉(zhuǎn)倒立擺的搖桿在經(jīng)過(guò)1 s的小幅度轉(zhuǎn)動(dòng)后又穩(wěn)定在了平衡位置,擺桿也在小幅度振蕩后保持平衡,這也驗(yàn)證了該方法具有更好的穩(wěn)定性和抗干擾能力。

4 結(jié)束語(yǔ)

旋轉(zhuǎn)倒立擺存在的一些典型問(wèn)題一直都是控制領(lǐng)域要解決的難點(diǎn)。本文根據(jù)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)非線性閉環(huán)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),針對(duì)系統(tǒng)中遇到的匹配和不匹配擾動(dòng),設(shè)計(jì)了一種基于DOB的SMC方法。本文的主要工作如下:

(1)提出了一種非線性DOB,通過(guò)該觀測(cè)器給出的擾動(dòng)估計(jì),設(shè)計(jì)了滑模面和控制律;

(2)結(jié)合穩(wěn)定性證明,研究在DOB作用下的閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征;

(3)結(jié)合仿真實(shí)驗(yàn)和半實(shí)物仿真控制實(shí)驗(yàn)分析該控制方法的優(yōu)越性。

仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:基于DOB的SMC方法不但可以有效解決旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)中遇到的不匹配/匹配不確定性擾動(dòng)問(wèn)題,而且相比于傳統(tǒng)的PID控制算法,也表現(xiàn)出穩(wěn)定性、抗干擾能力強(qiáng),調(diào)節(jié)時(shí)間短等特點(diǎn)。