(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024)

1 引 言

聲子晶體(PCs)作為一種新型功能材料[1]，由于其獨(dú)特的性能和重要的應(yīng)用潛質(zhì)，受到國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注，成為研究熱點(diǎn)。彈性波在PCs中傳播時(shí)，受其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的作用，在一定頻率范圍(帶隙)內(nèi)無(wú)法傳播，而在其他頻率范圍(通帶)可以無(wú)損耗地傳播。研究發(fā)現(xiàn)，聲子晶體帶隙產(chǎn)生的機(jī)理主要包括布拉格散射和局域共振2種。前者主要是周期性結(jié)構(gòu)的作用，當(dāng)入射彈性波的波長(zhǎng)與結(jié)構(gòu)的特征長(zhǎng)度(晶格常數(shù))相近時(shí)，將受到結(jié)構(gòu)強(qiáng)烈的散射[2]。后者主要是單個(gè)散射體的共振特性起主導(dǎo)作用[3]。PCs在設(shè)計(jì)新型聲學(xué)器件如濾聲器、聲波導(dǎo)和隔振器等方面具有很大的潛力[4-6]。傳統(tǒng)的聲子晶體存在特定的帶隙性質(zhì)和確定的工作頻率范圍[7]，且由其幾何構(gòu)型和材料性質(zhì)確定。但對(duì)于特殊的應(yīng)用環(huán)境，隨著環(huán)境的變化需要滿足在不同頻率下阻斷波的傳播的需求，需要聲子晶體具有帶隙頻率和位置的可調(diào)性。通過(guò)施加諸如電磁場(chǎng)[8]、拉伸變形[10]和變化的溫度場(chǎng)[11]等方式可實(shí)現(xiàn)帶隙可調(diào)控。研究建立可調(diào)帶隙聲子晶體的設(shè)計(jì)方法，研究并提出創(chuàng)新構(gòu)型，通過(guò)施加外部激勵(lì)，實(shí)現(xiàn)聲子晶體的帶隙可調(diào)，已經(jīng)成為重要的研究熱點(diǎn)。

本文目的基于帶隙產(chǎn)生的機(jī)制和影響參數(shù)分析，建立實(shí)現(xiàn)智能調(diào)控帶隙的方法，進(jìn)一步設(shè)計(jì)可調(diào)的PCs。

形狀記憶合金(SMA)作為一種超材料，其材料性質(zhì)和幾何構(gòu)型可以隨溫度和應(yīng)力發(fā)生變化[12]，這為聲子晶體帶隙可調(diào)的發(fā)展提供了一個(gè)嶄新的契機(jī)。目前研究者已經(jīng)開(kāi)展了一些基于形狀記憶合金的聲子晶體設(shè)計(jì)方面的工作。Ruzzene等[13]將SMA周期性放置在復(fù)合材料桿中，作為阻抗失配插入物，以控制縱波在復(fù)合材料桿中的傳播。當(dāng)SMA由馬氏體向奧氏體相變，其彈性模量可以發(fā)生變化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)帶隙可調(diào)。de Sousa等[14]基于諧振器的馬氏體相(低溫)和奧氏體相(高溫)彈性模量的差異，帶隙隨著溫度變化發(fā)生明顯移動(dòng)并對(duì)含SMA諧振器的局部共振梁進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Lü等[15]將SMA作為智能插入件，設(shè)計(jì)可以產(chǎn)生可調(diào)帶隙的結(jié)構(gòu)，利用集中質(zhì)量法在SMA梁上實(shí)現(xiàn)了帶隙可調(diào)，值得注意的是，采用的是單向形狀記憶的SMA，材料性質(zhì)發(fā)生改變，形狀沒(méi)有變化。Chuang等[16]設(shè)計(jì)了一種具有雙向SMA諧振腔的可調(diào)彈性超材料?？梢栽诰钟蚬舱駧逗筒祭裆⑸鋷恫煌膸稒C(jī)制之間相互切換，這是通過(guò)SMA形狀的變化和SMA諧振器剛度的變化實(shí)現(xiàn)了帶隙的可切換。然而，幾乎所有研究都主要集中在一維PCs上，而高維(2D或3D)聲子晶體具有更重要的應(yīng)用潛質(zhì)。本文提出一種基于形狀記憶合金相變的穿孔型帶隙可調(diào)2D聲子晶體結(jié)構(gòu)，通過(guò)合理布置縫隙與形狀記憶合金相材料的位置，實(shí)現(xiàn)聲子晶體帶隙性質(zhì)的可調(diào)設(shè)計(jì)?；谟邢拊椒ǎ⒖烧{(diào)聲子晶體的分析模型，分析形狀記憶合金填充分?jǐn)?shù)以及相變等對(duì)帶隙性能的影響規(guī)律。通過(guò)具體設(shè)計(jì)和性能分析，驗(yàn)證材料相變可實(shí)現(xiàn)帶隙位置和寬度的調(diào)節(jié)以及特定頻段內(nèi)帶隙的有無(wú)。

2 可調(diào)帶隙聲子晶體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

如圖1所示，二維聲子晶體為環(huán)氧樹(shù)脂型基體平板內(nèi)鑲嵌相變材料(本文取相變材料為形狀記憶合金)，通過(guò)溫度調(diào)節(jié)使相變材料發(fā)生相變，從而改變其材料性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)聲子晶體帶隙性質(zhì)可調(diào)。本文所設(shè)計(jì)的可調(diào)帶隙聲子晶體的單胞結(jié)構(gòu)為正方形環(huán)氧樹(shù)脂平板中鑲嵌正方形形狀記憶合金散射體，其晶格常數(shù)為L(zhǎng)，如圖1(b)所示。為更大程度地實(shí)現(xiàn)更低更寬及更易調(diào)控的帶隙，在方形板的周圍設(shè)計(jì)了細(xì)窄的矩形縫隙，其長(zhǎng)和寬分別為a和b。散射體邊長(zhǎng)為c，其填充分?jǐn)?shù)可以表示為4c2/(L2-4ab)。形狀記憶合金有兩種形態(tài)，一種是低溫狀態(tài)下馬氏體相，另一種是高溫狀態(tài)下的奧氏體相。兩種狀態(tài)具有不同的材料性質(zhì)。通過(guò)溫度變化，實(shí)現(xiàn)形狀記憶合金狀態(tài)轉(zhuǎn)換。通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)換引起材料性質(zhì)的變化(散射體材料性質(zhì)變化)，實(shí)現(xiàn)帶隙性質(zhì)的變化。通過(guò)控制溫度，進(jìn)而控制相變轉(zhuǎn)化程度，從而控制散射體的材料性質(zhì)的變化，實(shí)現(xiàn)帶隙調(diào)控。本文設(shè)計(jì)采用NiTi形狀記憶合金，其密度為6000 kg/m3，馬氏體狀態(tài)的彈性模量為 20 GPa，泊松比為0.35；奧氏體狀態(tài)的彈性模量為80 GPa，泊松比0.3；環(huán)氧樹(shù)脂的彈性模量為 1 GPa，泊松比為0.43，密度為800 kg/m3。

圖1 聲子晶體 (灰色、深灰色和白色分別代表環(huán)氧樹(shù)脂、形狀記憶合金和真空)

3 分析模型

3.1 形狀記憶合金(SMA)的相變規(guī)律

SMA在外部刺激(如加熱和卸載)下可發(fā)生相變，實(shí)現(xiàn)材料性質(zhì)的變化。在自由應(yīng)力狀態(tài)，高溫下的形狀記憶合金材料以母相奧氏體結(jié)構(gòu)形式存在，當(dāng)溫度降低時(shí)，晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生相變，轉(zhuǎn)變?yōu)轳R氏體相。本文考慮由溫度誘發(fā)的低溫孿晶馬氏體相和高溫奧氏體相之間材料性質(zhì)的轉(zhuǎn)變。馬氏體的內(nèi)部狀態(tài)變量馬氏體體積分?jǐn)?shù)ξ，從初始階段ξ0到低溫T(Mf≤T≤Ms)的孿晶低溫馬氏體的過(guò)程可表示為

(1)

而在高溫條件下(As≤T≤Af)，從馬氏體相向奧氏體相的逆向轉(zhuǎn)變則可表示為

(2)

式中ξ0為相變初始狀態(tài)的馬氏體體積分?jǐn)?shù)。Ms和Mf為奧氏體向馬氏體轉(zhuǎn)變的開(kāi)始和結(jié)束溫度，As和Af為馬氏體到奧氏體相變的開(kāi)始和結(jié)束溫度。本文采用NiTi形狀記憶合金，其相變溫度分別為Ms=295 K，Mf=291 K，As=308 K，Af=318 K。

SMA的彈性模量與馬氏體分?jǐn)?shù)有關(guān)，可表示為

E=EA+ξ(EM-EA)

(3)

式中EM和EA分別為全馬氏體相和全奧氏體相的彈性模量。奧氏體的彈性模量EA大約是馬氏體彈性模量EM的3倍。改變SMA的溫度會(huì)改變其楊氏模量，并相應(yīng)地改變帶隙大小和位置。

3.2 聲子晶體的帶隙分析模型

二維彈性結(jié)構(gòu)的面內(nèi)模態(tài)的控制場(chǎng)方程可表示為

(4)

周期性彈性系統(tǒng)的位移場(chǎng)的形式為

u(r)=uk(r)exp(ik·r)

(5)

式中波矢量k=(kx,ky)為第一布里淵區(qū)(如圖1(c)所示)的Bloch函數(shù)，uk為與單胞具有相同周期性的周期向量函數(shù)。

根據(jù)Bloch定理，有如下形式的Floquet周期條件

u(r+a)=u(r)exp(ik·a)

(6)

式中a為聲子晶體的空間周期向量。

在單胞的邊界施加布里淵區(qū)的Floquet周期邊界條件，波矢k沿著M→Γ→X→M進(jìn)行掃描，并采用有限元法對(duì)單胞進(jìn)行離散，可獲得色散方程的有限元列式為

(K-ω2M)U=0

(7)

式中U為節(jié)點(diǎn)處位移，K和M分別為與波矢k相對(duì)應(yīng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。

本文基于商用軟件COMSOL建立有限元模型，并進(jìn)行色散關(guān)系計(jì)算。由于結(jié)構(gòu)的周期性，在計(jì)算中只需考慮一個(gè)單胞結(jié)構(gòu)。通過(guò)掃描第一不可約布里淵區(qū)中的波向量，可以計(jì)算出特征頻率，然后得到色散關(guān)系和本征模態(tài)。

4 結(jié)果與討論

取晶格常數(shù)為L(zhǎng)=0.03 m，矩形孔的長(zhǎng)為a=0.015 m，寬為b=0.001 m。利用有限元法計(jì)算頻率范圍在0 kHz～110 kHz單胞的能帶結(jié)構(gòu)。當(dāng)散射體邊長(zhǎng)為0.01 m時(shí)，聲子晶體結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)如圖2所示。當(dāng)溫度低于Ms時(shí)，散射體處于孿晶馬氏體的穩(wěn)定狀態(tài)，在這個(gè)狀態(tài)下打開(kāi)了兩條帶隙，第一條帶隙位于第12帶和第13帶之間，帶隙起始頻率在21.36 kHz～57.92 kHz內(nèi)變化，帶隙的寬度為36.56 kHz。第二條帶隙出現(xiàn)在第44帶和第45帶之間，帶隙起始頻率在87.99 kHz～93.92 kHz 內(nèi)變化，帶隙的寬度為5.93 kHz；當(dāng)升高溫度至As時(shí)，孿晶馬氏體不再處于穩(wěn)定的狀態(tài)，開(kāi)始向奧氏體轉(zhuǎn)變。當(dāng)溫度升高至Af時(shí)，形狀記憶合金完全發(fā)生相變，孿晶馬氏體完全轉(zhuǎn)變?yōu)閵W氏體。從馬氏體變成奧氏體，彈性模量大約增加了 3倍。此時(shí)，能帶圖出現(xiàn)了四條帶隙，如圖2(b)所示。第一條帶隙出現(xiàn)在第12帶和第13帶之間，帶隙起始頻率在21.96 kHz～66.35 kHz內(nèi)變化，帶隙的寬度為44.39 kHz。相比于散射體是馬氏體的情況，第一帶隙的上邊界向高頻偏移，下邊界向低頻偏移，帶隙的寬度增加17.5%，帶隙寬度明顯拓寬，證明通過(guò)合理布置SMA的位置，可以實(shí)現(xiàn)帶隙寬度的調(diào)控。第二條帶隙出現(xiàn)在第20帶和第21帶之間，帶隙起始頻率范圍為68.85 kHz～76.84 kHz，帶隙的寬度為7.99 kHz。對(duì)比圖2(a)，在這個(gè)頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生新的帶隙，引入SMA在特定頻率起到了開(kāi)關(guān)作用，可以有效控制彈性波的傳輸。第三條帶隙出現(xiàn)在第28帶和第29帶之間，帶隙起始頻率在81.56 kHz～103.28 kHz變化，帶隙的寬度為21.72 kHz，對(duì)比于散射體是馬氏體的第二條帶隙，帶隙寬度是其2.72倍。第四條帶隙出現(xiàn)在第32帶和第33帶之間，頻率范圍為104.14 kHz～107.56 kHz，帶隙的寬度為3.42 kHz，帶隙寬度較窄。在SMA從馬氏體向奧氏體相變后，帶隙的寬度明顯拓寬，而且在沒(méi)有帶隙的位置出現(xiàn)了新的帶隙，在特定頻率起到了開(kāi)關(guān)的作用，帶隙可調(diào)性是由于SMA在熱激活作用下的相變及其隨后的彈性模量變化造成的。驗(yàn)證了SMA的引入可實(shí)現(xiàn)聲子晶體的帶隙可調(diào)，為可調(diào)帶隙的發(fā)展提供了新的機(jī)會(huì)。

為了清楚理解上述帶隙產(chǎn)生的機(jī)制，本文列出圖2能帶結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的帶隙上下邊界的特征模態(tài)位移場(chǎng)(圖3和圖4)。散射體是馬氏體的單胞的帶隙上下邊界的特征模態(tài)如圖3所示，第一條帶隙的下邊界是周圍的基體材料繞著中心散射體做順時(shí)針旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，帶隙上邊界是連接四個(gè)質(zhì)量塊的韌帶在做剪切運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)方向不同，致使豎向穿孔中間部分拉伸，橫向穿孔中間部分壓縮；第二條帶隙的下邊界是橫向穿孔的周圍材料做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其他地方未有明顯位移，帶隙的上邊界是基體材料沿著對(duì)角線方向運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)對(duì)角線對(duì)稱的位移場(chǎng)。

圖2 能帶結(jié)構(gòu)

圖3 散射體是馬氏體時(shí)帶隙上下邊界處單胞的振動(dòng)特征模態(tài)

散射體是奧氏體單胞的帶隙上下邊界特征模態(tài)位移場(chǎng)如圖4所示，第一條帶隙的下邊界是周圍材料繞著中心散射體做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，與散射體是馬氏體的第一條帶隙的下邊界振動(dòng)模式相同，上邊界是連接四個(gè)質(zhì)量塊的韌帶做剪切運(yùn)動(dòng)，不同的是豎向連接韌帶剪切位移明顯，橫向連接韌帶位移較小，這與散射體是馬氏體的振動(dòng)模式不同，與中間散射體的剛度增大有關(guān)；第二條帶隙的下邊界是連接韌帶做剪切運(yùn)動(dòng)，豎向穿孔和橫向穿孔的中間部分同時(shí)受壓縮，帶隙上邊界橫向穿孔和豎向穿孔中間的材料做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；第三條帶隙下邊界與第二條帶隙上邊界的振動(dòng)模式相同，帶隙上邊界橫向穿孔周圍的材料做剪切運(yùn)動(dòng)。

圖4 散射體是奧氏體時(shí)帶隙上下邊界處單胞的振動(dòng)特征模態(tài)

為進(jìn)一步分析SMA對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響，分析了散射體的填充分?jǐn)?shù)對(duì)第一帶隙的具體影響。如圖5所示，隨著散射體填充分?jǐn)?shù)的增加，散射體是奧氏體和散射體是馬氏體的帶隙上下邊界的變化趨勢(shì)是相同的，帶隙上邊界先增加后減小。帶隙下邊界先減小后增大。但是，散射體是奧氏體的帶隙上邊界明顯高于散射體是馬氏體的帶隙上邊界的位置，下邊界兩者的位置比較接近。圖5(b)是帶隙寬度隨著散射體填充分?jǐn)?shù)增加的變化情況。散射體是奧氏體(黑色曲線)和散射體是馬氏體(灰色曲線)的帶隙寬度隨著填充分?jǐn)?shù)的增加，帶隙寬度均呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)。特別注意，散射體是奧氏體的帶隙寬度比散射體是馬氏體更晚到達(dá)峰值。同時(shí)，散射體是奧氏體的帶隙寬度明顯高于散射體是馬氏體的帶隙寬度，進(jìn)一步說(shuō)明，引入SMA可以調(diào)控帶隙的位置和寬度。

圖5 帶隙上下邊界和寬度隨著填充分?jǐn)?shù)的變化

為了解彈性波在超材料板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，對(duì) 10×2個(gè)散射體為0.01 m的單胞組成的PCs進(jìn)行了頻域攝動(dòng)分析，計(jì)算其透射譜，可由式(8)求得

T=20log|Aout|/|Ain|

(8)

式中Ain和Aout為輸入和輸出加速度信號(hào)。在上下邊緣具有連續(xù)的周期性邊界條件，周圍設(shè)置完美匹配層以保證開(kāi)放邊界條件。另外，所設(shè)計(jì)的聲子晶體具有XY方向的各向同性性質(zhì)，兩個(gè)方向的傳播特性是相同的。聲子晶體薄板內(nèi)振動(dòng)衰減非常明顯，對(duì)應(yīng)帶隙頻率段的波無(wú)法在薄板中通過(guò)，這個(gè)頻率范圍與帶隙范圍誤差很小，可見(jiàn)聲子晶體薄板在帶隙范圍內(nèi)減振效果顯著，其他頻率段內(nèi)的波都可以通過(guò)。散射體是馬氏體如圖6(a)所示，波衰減的頻率范圍與圖2(a)帶隙的位置吻合，散射體是奧氏體如圖6(b)所示，有著更寬的衰減范圍，同帶隙頻率段衰減更加明顯，與圖2(b)也是吻合的。為了進(jìn)一步研究波在聲子晶體薄板的傳播行為，分別在薄板的左端施加68 kHz,50 kHz和 85 kHz 的激勵(lì)。對(duì)于散射體是馬氏體的情況如 圖7(a，c，d)所示，68 kHz和85 kHz屬于帶隙外的頻率，波可以在板中通過(guò)，50 kHz是屬于帶隙內(nèi)的頻率，波無(wú)法通過(guò)薄板；對(duì)于散射體是奧氏體的情況如圖7(b，d，f)所示， 68 kHz屬于帶隙外的頻率，波可以在板中通過(guò)，50 kHz和85 kHz屬于帶隙內(nèi)的頻率，波無(wú)法通過(guò)薄板。圖7(e，f)中，波在板內(nèi)傳播的對(duì)比進(jìn)一步證明了在聲子晶體中引入SMA起到了開(kāi)關(guān)的作用。

圖7 聲子晶體薄板透射譜的衰減

5 結(jié) 論

通過(guò)溫度誘導(dǎo)SMA相變，SMA在低溫孿晶馬氏體和高溫奧氏體相互轉(zhuǎn)變，改變了材料的彈性模量大小。利用SMA這種材料特殊的性質(zhì)，設(shè)計(jì)了一種SMA與傳統(tǒng)材料環(huán)氧樹(shù)脂結(jié)合的2D穿孔智能結(jié)構(gòu)。通過(guò)合理布置縫隙與形狀記憶合金相材料的位置，實(shí)現(xiàn)聲子晶體帶隙性質(zhì)的可調(diào)設(shè)計(jì)。采用有限元法與Bloch理論計(jì)算微結(jié)構(gòu)的特征頻率的面內(nèi)色散關(guān)系，該結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了帶隙寬度可調(diào)控和在其他頻率范圍打開(kāi)新的帶隙。同時(shí)，研究表明第一帶隙隨著散射體(SMA)填充分?jǐn)?shù)的增加，帶隙寬度先增大后減小，奧氏體的帶隙上邊界明顯高于馬氏體的帶隙上邊界，但下邊界兩者比較接近。

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