223 張衛(wèi)紅2

(1.西北工業(yè)大學 航宇材料結構一體化設計與增材制造裝備技術國際聯(lián)合研究中心，西安 710000；2.西北工業(yè)大學 金屬高性能增材制造與創(chuàng)新設計工信部重點實驗室，西安 710000；3.西北工業(yè)大學 無人系統(tǒng)技術研究院-智能材料與結構研究所，西安 710000；4.中國工程物理研究院 激光聚變研究中心，綿陽 621900)

1 引 言

形狀記憶合金SMA(Shape Memory Alloy)是一種先進的智能材料，其在不同的熱力載荷下會呈現(xiàn)出兩種不同的獨特性能,(1) 形狀記憶效應SME(Shape Memory Alloy)，在外載荷單次加卸載作用下SMA材料產(chǎn)生塑性殘余變形，通過升高材料溫度，殘余變形可以完全恢復；(2) 偽彈性性能PE(Pseudoelasticity)，SMA材料在受到外載荷作用時，可以發(fā)生高達6%～8%的顯著應變而不進入屈服狀態(tài)，卸除外載后結構形狀完全恢復，并在這個過程耗散大量的能量[1]。幾十年來，相關學者提出了眾多關于SMA材料的微觀、微觀-宏觀以及宏觀本構模型[2]。微觀模型主要是描述晶格或晶粒尺度上的結構特征，如晶核生長、界面運動和馬氏體孿晶生長等。微觀-宏觀模型通過微觀力學來描述微觀或介觀尺度上的材料行為，再通過尺度轉換獲取宏觀尺度上的本構方程。宏觀模型基于唯象學、簡化的微觀-宏觀熱力學或直接的實驗數(shù)據(jù)擬合來描述材料行為。其中，宏觀模型具有參數(shù)少和容易實驗標定的特點，適合在結構尺度上對材料的力學響應進行分析。

SMA由于其優(yōu)良的力學特性而在工程應用中獲得了廣泛關注，并形成了一系列具有變革性的創(chuàng)新應用，如智能變形機翼[3]、矯正裝置[4]和減震阻尼元件[5]等。為了簡化設計和制造過程，SMA材料往往以絲材、棒材和板材等簡單形式在結構中使用，限制了SMA結構性能的進一步提升。隨著增材制造技術的發(fā)展，研發(fā)出具有良好形狀記憶效應和偽彈性性能的復雜SMA結構[6,7]，意味著SMA結構的設計將獲得更多自由度。因此，擴展面向SMA結構的設計方法，以充分利用SMA材料獨特的力學性能，是一個有前景的研究方向。

結構優(yōu)化技術是一種先進的設計方法，廣泛應用在航空航天、汽車、船舶和裝備制造等工程領域[8,9]。在Bends?e等[10]提出均勻化方法之后，拓撲優(yōu)化技術得到了迅猛發(fā)展。在均勻化的基礎上，Bends?e[11]又提出了基于密度變量法的固體各向同性材料插值模型(SIMP)，進一步完善了拓撲優(yōu)化方法。為了避免棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性[12]，文獻[13，14]分別在SIMP變密度方法中引入了靈敏度過濾技術和密度過濾技術，但這也在最終結果中導致了大量的中間密度單元。通過對過濾密度進一步投影，形成三密度場[15](設計密度場、過濾密度場和物理投影密度場)，可以獲得清晰的結構。目前，SMA的結構設計往往基于啟發(fā)式思想，關于SMA結構優(yōu)化設計的研究并不多見。Hartl等[16]在SMA驅動的可變形結構研究中，采用一種新的本構模型對整體可變形結構進行了參數(shù)優(yōu)化，得到滿足剛度、驅動偏轉角度和應力水平等約束的最小質量設計方案。馬彥等[17]采用遺傳算法對SMA管接頭進行了優(yōu)化設計，提升了管接頭的連接性能。Gu等[18]在SMA自支撐支架的設計中，考慮SMA的疲勞性能，通過參數(shù)優(yōu)化將最大疲勞因子降低了25%，顯著提升了結構抗疲勞性能。Langelaar等[19]利用SMA的偽彈性，使用基于鎳鈦基形狀記憶合金R相變的簡化本構模型，開展了SMA作動器的拓撲優(yōu)化設計，獲得了多種作動器結構的拓撲形式。

SMA結構在實際應用中往往會產(chǎn)生較大變形，且會發(fā)生馬氏體與奧氏體之間的相互轉變，因此需要考慮幾何非線性和材料非線性。而在考慮非線性效應的變密度拓撲優(yōu)化方法中，由低密度單元引起的非線性分析數(shù)值不穩(wěn)定問題是優(yōu)化過程中的一個主要障礙。為了解決這個問題，相關學者提出了多種方法。Bruns等[20]提出了一種單元去除和重新引入的策略。Wang等[21]提出了能量插值法，對實體單元區(qū)域和低密度單元區(qū)域的分析分別應用非線性列式和線性列式來改善分析的收斂性。Luo等[22]提出了擴展的移動等值面閾值法MIST(moving iso-surface threshold)。Hou等[23]基于超單元法，將低密度單元凝聚成超單元以避免單元的過度扭曲?？紤]到計算效率，同時為了利用商業(yè)軟件完成有限元分析，本文使用超單元法來改善非線性效應引起的數(shù)值問題。

本文提出了一種適用于形狀記憶合金結構的變密度拓撲優(yōu)化方法。采用ZM宏觀唯像本構模型，并同時考慮材料非線性和結構的幾何非線性。使用SIMP模型對SMA材料進行插值，以建立密度設計變量和材料性能之間的映射關系。采用三密度場法來避免優(yōu)化結果中出現(xiàn)的棋盤格現(xiàn)象、網(wǎng)格依賴性以及大量中間密度單元；采用超單元法來改善優(yōu)化過程的數(shù)值不穩(wěn)定問題；使用伴隨法準確獲取優(yōu)化模型中響應函數(shù)的靈敏度。最后，通過兩組算例驗證本文提出的SMA結構拓撲優(yōu)化設計方法的有效性。

2 形狀記憶合金材料模型和有限元分析

2.1 ZM本構模型

本文使用的形狀記憶合金本構模型是Zaki等[24]提出的ZM宏觀唯象本構模型。ZM模型采用六個狀態(tài)變量描述SMA的力學行為，分別是宏觀應變張量ε、局部奧氏體應變張量εA、局部馬氏體應變張量εM、馬氏體體積分數(shù)z、馬氏體取向應變張量εtr以及溫度T。

通過上述變量，定義Helmholtz自由能和上述變量的內約束，構造拉格朗日函數(shù)，定義狀態(tài)方程[24]，可得到應力應變關系如下，

σ=K∶(ε-zεtr)

(1)

式中K為SMA的等效彈性張量，可以表示為

(2)

式中KA為奧氏體彈性張量，KM為馬氏體彈性張量。

ZM模型中定義偽耗散勢為

(3)

式中a，b以及Y為材料參數(shù)。

在廣義標準材料體系下，偽耗散勢的次梯度是耗散變量的驅動力，

(4，5)

(6)

(7)

(8)

最終，由式(6～8)可得到流動法則如下，

(9)

(10)

(11)

2.2 非線性有限元分析

在有限元分析中，非線性有限元問題可以表示為殘量的形式，

R=Fint-F=0

(12)

(13)

(14)

式中B為幾何矩陣，N為形狀函數(shù)矩陣，F(xiàn)int為內力，F(xiàn)為外力，其包含體力b以及面力t。

整體的有限元分析采用NR迭代法，在NR迭代中需要使用到的切向剛度矩陣定義為

KT=-?R/?u

(15)

3 拓撲優(yōu)化模型

3.1 材料插值模型

在經(jīng)典變密度拓撲優(yōu)化算法中，設計域首先要離散為一定數(shù)目的有限單元，并用單元賦予的密度變量xe來表示第e個單元上材料的有無(xe=1表示此處存在材料，xe=0表示此處無材料)。為了使問題能夠基于梯度的優(yōu)化算法解決，需要拓展原始的離散狀態(tài)問題，建立密度變量與材料屬性之間的連續(xù)映射關系。本文采用的SIMP模型是一種廣泛應用于拓撲優(yōu)化的材料插值模型，其基本思想是使用懲罰后的密度變量對材料的力學性能進行插值，繼而通過優(yōu)化算法實現(xiàn)材料分布的優(yōu)化設計。

(16)

式中EA 0，EM 0，σm s 0，σm f 0，σa s 0和σa f 0分別為實體單元的奧氏體彈性模量、馬氏體彈性模量以及四個相變轉變應力，Emin=1×10-9，σmin=1×10-9，P是懲罰因子。

使用上述材料插值模型得到的不同密度變量下材料的偽彈性本構曲線如圖1所示。可以看出，在P=1的情況下，材料的彈性模量和轉變應力隨著密度變量的減小而線性減小。應力應變曲線圍成的滯回環(huán)面積代表了發(fā)生完全相變的SMA材料所耗散的能量密度。密度變量為1.0， 0.5和0.1的材料對應的耗散能量密度分別為4.56×106J/m3，2.28×106J/m3和4.56×105J/m3，與密度變量呈線性關系。

圖1 不同密度材料對應的SMA偽彈性本構曲線

3.2 三密度場法

(17)

式中vj為單元j的體積，we j為加權函數(shù)值，其計算方法如下，

(18)

式中Xe為單元e的中心坐標。

(19)

3.3 超單元方法

本文采用超單元法[23]對低密度材料區(qū)域的有限元節(jié)點自由度進行凝聚，以改善弱材料單元導致的數(shù)值不穩(wěn)定問題，如圖2所示。

圖2 超單元的定義

(20)

式(20)左邊的剛度矩陣均基于線彈性理論，不需要考慮幾何非線性效應。由式(20)可得

(21)

(22)

式中

(23)

當分析實體單元區(qū)域時，采用增量形式的NR迭代求解平衡狀態(tài)，對于第N個載荷步的第t+1次迭代，區(qū)域p1內位移與載荷的關系可以表示為

(24)

考慮實體單元區(qū)域與弱單元區(qū)域邊界自由度的影響，平衡方程改寫為

(25)

3.4 優(yōu)化模型數(shù)學表述

本文通過對偽彈性條件下的SMA結構進行剛度優(yōu)化來驗證優(yōu)化方法的有效性。為了得到合理的結構，還需要施加材料用量的約束。因此，該拓撲優(yōu)化問題可以定義為在滿足最大體積分數(shù)約束的情況下，最小化SMA結構的平衡狀態(tài)柔順度Cend。用數(shù)學公式可表示為

minCend

0

(26)

式中ve為對應單元的體積，V為設計域的總體積，Vf為體積分數(shù)約束的數(shù)值，ne l e為設計域的總單元數(shù)，xmin=1×10-3。

最終狀態(tài)柔順度Cend為

(27)

式中Fmax為加載結束時的外力，umax為對應的位移。

4 靈敏度分析

在優(yōu)化過程中，需要計算出響應函數(shù)對設計變量的靈敏度以不斷更新結構。直接法和伴隨法是兩種常見的計算方法。在拓撲優(yōu)化問題中，設計變量數(shù)通常遠大于目標和約束數(shù)，因此，伴隨法在靈敏度分析中更有效率。本文使用伴隨法對平衡狀態(tài)柔順度的靈敏度進行推導。

平衡狀態(tài)柔順度Cend關于設計變量的靈敏度可表示為

(28)

(29)

式中Rend為加載過程中最后一個增量步的殘量。由于結構處于平衡狀態(tài)時Rend=0，因此改寫之后的目標函數(shù)值在平衡狀態(tài)不發(fā)生變化。

(30)

式中

?Rend/?umax=-KT,end

(31)

式中KT,end為加載過程中最后一步的切線剛度矩陣。

(32)

記第N步和第N-1步的位移分別為uN和uN - 1。假設在一個小的增量步中力-位移關系是線性的，則力在第N-1步至第N步的增量可以近似地表示為

KT,end(uN-uN - 1)=Fmax/N

(33)

(34)

綜上，最終狀態(tài)柔順度關于設計變量的靈敏度可表示為

(35)

因外力Fmax與設計變量x無關，結合式(12，35)，可將最終狀態(tài)柔順度關于設計變量的靈敏度簡化為

(36)

5 數(shù)值算例

采用一些數(shù)值算例來驗證提出的形狀記憶合金拓撲優(yōu)化設計方法的有效性。材料參數(shù)列入 表1。利用商業(yè)有限元軟件Abaqus完成有限元分析，SMA材料在用戶材料子程序UMAT (user material subroutine)中定義。采用GCMMA(Glo -bally Convergent Method of Moving Asymptotes)[25]算法來求解優(yōu)化問題。

表1 優(yōu)化計算時的材料參數(shù)

5.1 SMA懸臂梁結構優(yōu)化設計問題

算例1考慮SMA懸臂梁結構的拓撲優(yōu)化設計問題，其初始的幾何形狀與尺寸如圖3所示，厚度為1 mm。結構左側固定，在右下角寬為5 mm的區(qū)域內施加3300 N的載荷。設計域離散為 50×100個單元，單元在平面內的尺寸為 1 mm×1 mm。體積分數(shù)設置為Vf=0.5。過濾半徑取單元尺寸的3倍。懲罰因子P在優(yōu)化的初始階段為1，最大值設置為3，每10個迭代步增加 0.16。Heaviside投影的參數(shù)β0在第1個迭代步等于1，之后每20個迭代步增大1.4倍，直至其等于24。

圖3 懸臂梁設計域

圖4展示了SMA懸臂梁結構的材料分布演變過程。經(jīng)過248步迭代，拓撲優(yōu)化算法得到一個清晰的優(yōu)化解。最終設計方案的位移云圖、 Mises 應力云圖以及馬氏體體積分數(shù)云圖如圖5所示，平衡狀態(tài)柔順度由初始的52.69 J降低至44.95 J，減少約15%。優(yōu)化過程平穩(wěn)收斂，優(yōu)化的迭代歷史如圖6所示。在0至100步之間存在明顯的階躍臺階，這是由懲罰因子P的增加所引起的中間密度材料剛度懲罰加劇導致。平衡狀態(tài)柔順度的數(shù)值在100步至200步之間偶爾出現(xiàn)震蕩，這是因為在優(yōu)化過程中結構的局部區(qū)域會因剛度較弱而發(fā)生非線性屈曲。但隨著優(yōu)化的繼續(xù)進行，這些區(qū)域的剛度得到加強，柔順度數(shù)值趨于穩(wěn)定。

圖4 SMA懸臂梁剛度優(yōu)化設計歷史

如圖5(a)所示，最終的優(yōu)化結構在外力載荷的作用下發(fā)生了較大的變形，最大位移達到 16.25 mm，是結構豎直方向尺寸的30%，可以證明本文的方法在處理大變形的拓撲優(yōu)化設計問題時仍具有較好的穩(wěn)健性。從圖5(b，c)可以看出，在懸臂梁的根部和加載區(qū)域應力數(shù)值較大，相應地，這些區(qū)域的馬氏體體積分數(shù)z=1，發(fā)生了完全馬氏體相變，材料的總應變ε由奧氏體應變εA、馬氏體取向應變εtr以及定向馬氏體應變εM組成；結構中部區(qū)域發(fā)生了部分馬氏體相變，此時有0

圖5 SMA懸臂梁優(yōu)化結構的力學響應

圖6 SMA懸臂梁優(yōu)化迭代歷史

為了進一步說明本優(yōu)化方法的有效性，圖7分別列出了設計載荷為900 N和2100 N的情況下懸臂梁的剛度優(yōu)化結果，并與圖4設計載荷為3300 N的優(yōu)化結果進行對比?？梢钥闯?，隨著載荷的增加，結構形式發(fā)生較大變化，加載位置出現(xiàn)短梁直接承受拉力。圖8給出了優(yōu)化結構在相應的設計載荷下的位移云圖、Mises應力云圖以及馬氏體相變云圖。其中，在設計載荷為900 N的情況下，相應的優(yōu)化結構變形較小，且基本不會發(fā)生馬氏體相變，優(yōu)化受非線性效應影響不大，與線彈性材料的拓撲優(yōu)化結果類似。

圖7 不同載荷下懸臂梁剛度優(yōu)化結果

圖8 不同設計載荷下優(yōu)化構型的力學響應

圖9繪制了設計載荷分別為900 N，2100 N和3300 N的優(yōu)化結構在加載-卸載過程中的力-位移曲線。當實際載荷在900 N左右時，圖7(a)的結構剛度明顯較好；當實際載荷在2100 N左右時，圖7(b)的結構在這三種結構中剛度最好；當實際載荷達到3300 N時，圖4結構的剛度明顯優(yōu)于其他兩種結構。觀察圖9曲線可以看出，結構的剛度整體呈先減小后增大的趨勢。在載荷較大的情況下，如達到3300 N時，盡管部分材料已經(jīng)完全轉變?yōu)轳R氏體(圖5(c))，但考慮SMA材料特性的結構拓撲設計方案可以很好地抵消材料相變導致的結構剛度損失。

圖9 不同設計載荷下優(yōu)化構型的力-位移曲線

5.2 SMA三維橋梁優(yōu)化設計問題

算例2考慮一個三維SMA橋梁結構的拓撲優(yōu)化問題，其初始幾何形狀和尺寸如圖10所示。在上表面均勻施加133.88 MPa的壓力，載荷施加面下方3 mm厚的區(qū)域設置為非設計域，設計域及非設計域均為SMA材料。設計域下方凸墩的下表面固定。因結構的對稱性，只取1/4結構進行優(yōu)化設計。設計域離散為18000個1 mm×1 mm×1 mm 的六面體實體單元。體積分數(shù)設置為Vf=0.2。過濾半徑取單元尺寸的3倍。懲罰因子P在優(yōu)化的初始階段為1，之后每10個迭代步增加 0.2，直到P=3。Heaviside投影的參數(shù)β0在第1個迭代步等于1，之后每20個迭代步增大1.5倍，直至其等于16。

圖10 三維橋梁設計域

經(jīng)過196步，拓撲優(yōu)化算法尋找到一個清晰的優(yōu)化解，設計結果如圖11所示。最終設計方案的位移云圖、Mises應力云圖以及馬氏體相變云圖如圖12所示，平衡狀態(tài)柔順度由初始的38.30 J降低至23.91 J，減少約38%。優(yōu)化的迭代歷史如 圖13 所示，整體優(yōu)化過程收斂平穩(wěn)，平衡狀態(tài)柔順度僅在懲罰因子P發(fā)生改變的迭代步之后幾步發(fā)生一些跳動。

圖11 三維橋梁剛度優(yōu)化結果

如圖12(a)所示，最大位移發(fā)生在橋面中心以及兩端的局部區(qū)域內，這是因為優(yōu)化目標是整體結構的平衡狀態(tài)柔順度最大，結構的局部剛度可能出現(xiàn)過弱的情況。從圖12(b)可以看出，由于拓撲優(yōu)化算法只是為了尋找一個剛度最優(yōu)的結構，所以也會導致局部應力較為集中。除了橋面局部剛度較弱的區(qū)域因大變形而導致較大應力外，凸墩上方區(qū)域也因傳力集中而產(chǎn)生了較大應力。相應地，這些區(qū)域的材料在外力的作用下發(fā)生了完全馬氏體相變，而其他區(qū)域未發(fā)生相變或僅發(fā)生了局部相變，如圖12(c)所示。

圖12 三維SMA橋梁優(yōu)化結構的力學響應

圖13 三維SMA橋梁優(yōu)化迭代歷史

6 結 論

本文提出了一種基于SIMP模型的SMA結構拓撲優(yōu)化設計方法，使用ZM宏觀唯象本構模型以獲得準確的力學響應，并對馬氏體和奧氏體彈性模量以及四個轉變應力進行插值以建立起密度設計變量和材料屬性之間的映射關系。除了材料非線性效應外，還考慮了大變形引起的幾何非線性效應，并通過超單元法改善了非線性有限元分析中的數(shù)值不穩(wěn)定問題。響應函數(shù)的靈敏度通過伴隨法求出。分別通過二維和三維的SMA結構優(yōu)化數(shù)值算例表明本文方法可以有效地對預期性能的SMA結構進行優(yōu)化設計。本文工作搭建了一個面向SMA結構的拓撲優(yōu)化框架，能夠作為進一步開展SMA智能變體結構、緩沖吸能結構和阻尼結構等優(yōu)化設計的基礎。

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