淮北師范大學數學科學學院 (235000) 張 琳 張 昆

眾所周知，數學解題最終表達結果為環(huán)環(huán)緊扣的邏輯過程，在諸多操作程序中存在決定問題本質的關鍵性的一環(huán)或幾環(huán)，它或是某一程序，某種行動次序，某個正確銜接的操作方案，或者是某種程序.在組成問題解答答案的環(huán)節(jié)中，對于學生探究具體問題解決思路的某些疑難環(huán)節(jié)，稱之為數學解題的“關鍵環(huán)節(jié)”.數學教師在解題教學設計及其課堂實施時，無需對于解題思路的每一個環(huán)節(jié)都平均使力，重在研究某些關鍵環(huán)節(jié)的教學活動，變向學生提供答案為啟發(fā)或鼓勵學生發(fā)生認識的心理過程.

一、教師應依據數學解題過程選擇與確定“關鍵環(huán)節(jié)”

由上述的數學解題表達過程的“關鍵環(huán)節(jié)”概念內涵，能夠認識到，數學教師在選擇某道數學題進入課堂教學時，首先一定要通過自己獨立探究解題思路，比對學生發(fā)生認識的心理活動過程及其個性差異，然后確定問題具體關鍵環(huán)節(jié)與普通環(huán)節(jié).如此，在進行教學準備工作時，就會突出關鍵環(huán)節(jié)，做好設計工作.具體體現于：

數學解題的關鍵環(huán)節(jié)是決定題目能否獲得準確解答的關鍵所在，也往往是學生在探究數學問題解答思路時，依據經驗中的數學觀念不能輕易獲得的某種解答思路.只有真正突破數學解題的關鍵環(huán)節(jié)這一瓶頸，學生才能把握解決該類題型或掌握該種解法的真正要旨，領悟數學解題的奧秘.

由此可見，數學教師不能將數學解題的過程直接“奉獻”給學生，而要想辦法啟發(fā)學生生成數學解題的指令.這樣，解題的模式才能被納入解題主體的頭腦中，形成一種特定的操作問題信息的指令，成為一種解題模式，并比較容易地遷移到類似的探究數學解題思路活動中去.

二、數學解題關鍵環(huán)節(jié)處理示例

不少學生在探求數學解題關鍵環(huán)節(jié)處理途徑時，由于對解答數學問題邏輯過程的分析和認識不全面，往往難以調用已有的數學觀念，使之與相關的數學解題經驗建立聯系，從而經過多次嘗試依然無法正確求解.因此，教師在解題教學的課堂實施過程中，首先應幫助學生正確分析數學解題的關鍵環(huán)節(jié)，再利用啟發(fā)式(形成問題串)教學指導學生探索解題思路，萌生數學解題關鍵環(huán)節(jié)的處理途徑，突破解題關鍵環(huán)節(jié)的疑難點.為了說明數學教師如何在實際解題及其教學中處理好探究解題思路的關鍵環(huán)節(jié)，先從2021年江蘇省淮安市淮陰區(qū)數學高考模擬試題5的一道壓軸題說起.

例1 (2021年江蘇淮安淮陰區(qū)模擬題19)已知函數f(x)=ex|x2-a|(a≥0).

(1)當a=1時，求f(x)的單調減區(qū)間；

(2)若方程f(x)=m恰好有一個正根和一個負根，求實數m的最大值.

對于問題(2)，利用方程根的個數及其分布情況求參數范圍，是導數綜合應用中的一類典型問題.解答此類題型的首要任務是找準滿足方程根的個數與分布情況的充要條件，順藤摸瓜，逐步確定參數取值范圍；其次巧用數形結合，利用已知條件及相關推導過程作出函數圖象，以形助數，優(yōu)化解題途徑.現將解題的過程呈現如下：

圖1

i)當a=0時，

f(x)=ex·x2，

f′(x)=ex·x(x+2).

圖2

圖3

由上述問題(2)的解答過程，可以深刻體會到“數缺形時少直觀”，“數形結合百般好”.以“數”化“形”為問題的解答提供了快捷通道，將抽象的數學問題直觀化，將復雜的數學問題簡單化！然而，如何“以形助數”，突破解題疑難點，獲取解答思路，于許多學生而言仍力有未逮，因此構成了解答本題的關鍵環(huán)節(jié).下面展示對于這一關鍵環(huán)節(jié)進行相應的教學設計及其課堂實施：

生1：由于是關于函數的問題，圖象直觀對發(fā)現問題的思維應該具有較好的幫助.

師：可以畫出當a=0時的函數圖象嗎？

師：沒錯，請同學們繼續(xù)討論a>0時的情況，并嘗試畫出函數f(x)的大致圖象.

生4：據此，我畫出函數f(x)的大致圖象如圖2所示.

生5：我畫出的函數f(x)的大致圖象如圖3.

師：同學們認為函數f(x)的圖象應該是哪一個？這兩個函數圖象，不同點在哪里？

師：同學們能通過計算判斷兩個極大值孰大孰小嗎？

生：……(表示學生思維的暫時中斷，下同).

師：我們發(fā)現，以計算的方式直接比較兩個極值的大小存在一定困難.而圖象是對函數f(x)變化趨勢的直觀反映，實際上也必然滿足題目條件與結論的設定.因而，不妨從圖象出發(fā)，從題目條件和所求結論入手，對兩個函數圖象進行分析判斷.

師：很好！依據同樣的思路請同學們快速判斷圖3是否滿足題意，并據此列出m應滿足的條件.

至此，題目的解答思路已相當明晰，參數m取值應滿足的條件也已列出，后續(xù)的解答環(huán)節(jié)學生可以輕松應對，迎刃而解，花點時間不難得到題目答案.

對于本題，可以使用換元法，設所求代數式中的兩個分式分母分別為m,n，利用m,n反解出x,y，根據題目對x,y大小的限制條件確定m,n的范圍，最后將m,n代入原式，突出結構特點，利用基本不等式求得最值.這里，巧用數值“1”轉換題目的條件不等式，“化動為定”生成常數，并利用常數代換法求解.現將解題的過程呈現如下：

由上述的解答過程，不難發(fā)現，使用常數代換法較之于換元法對于本題的解答更加便捷高效.然而，條件x+y≤2對于本題的解答具有相當的迷惑性，如何隱蔽地啟發(fā)學生萌生轉換這一條件不等式為“常數1”，并利用常數代換法求解本題是解答本題的要緊之處.下面展示處理這一關鍵環(huán)節(jié)的教學設計：

生1：我發(fā)現所求分式的分子都是常數，分母比較復雜，都含有x和y,但形式不同,也不能將兩個分式直接相乘得到定值，或者相乘后得到簡化并求值……

師：我們猜想，生1很可能聯想到了利用基本不等式求解最值時要滿足的三個關鍵條件“一正、二定、三相等”.他希望通過兩個代數式乘積為定值的形式，得到所求代數式和的最小值，這是一個很好的解題思路.但就目前來看，從所求代數式出發(fā)，難以得到一個乘積為定值的形式.同學們能否設想一種方法，構造出一個與所求代數式乘積為定值的式子？

師：通過生2的方法確實能得到我們所要的乘積為定值的形式.請同學們進一步思考，這樣做對我們求代數式的最小值有影響嗎？能求出所求代數式的最小值嗎？

師：說得很好！那么，如何能保證引入的代數式與所求代數式相乘并且使不等號保持方向一致呢？

生4：根據不等式的基本性質，當不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數,不等號的方向不變.

師：生5的思維可真敏捷！按照這樣的思路，請同學們繼續(xù)后續(xù)的解題吧.

對于本題關鍵環(huán)節(jié)的處理，已經通過問題串的形式展現得淋漓盡致.由于后續(xù)的解題環(huán)節(jié)不構成本題解答的關鍵環(huán)節(jié)，這里不再贅述.至此可見，學生數學解題的過程并不是一蹴而就，一帆風順的.如在本題的解答過程中，學生經歷了對題目所求代數式形式特點的考察與條件不等式的使用探索，方能從“二定”這一解答的基本思路中突破疑點，獲得正確的解答思路.

三、結語

數學解題是數學學習的必經途徑.要想充分發(fā)揮數學解題的有效性，教師就必須做好數學解題關鍵環(huán)節(jié)課堂實施的精心設計.如在探求2021年江蘇省淮安市淮陰區(qū)數學高考模擬試題5中的19題第二小問時，要得到a>0時函數f(x)的圖象，就要考察兩個極大值孰大孰小，而這兩個數值大小的比較難以通過計算直接得到.因此在教學中，教師就要設法引導學生發(fā)現解析式與圖象的對應關系，并以題目條件與結論為判別依據，確定符合題意的函數圖象，再據此推導參數m取值應滿足的條件.在探求14題時，轉化條件不等式，“化動為定”，生成常數，并確定使用常數代換法解答題目是解題此題的關鍵.對于這一關鍵解題環(huán)節(jié)的處理，要求教師從一般化的解題思路出發(fā)，比對已知條件與所求代數式形式，引導學生發(fā)現欠缺的解題條件并萌生構造代數式及轉化題目條件的解題思路，從而逐步向答案求解的方向靠近.總而言之，把握數學解題關鍵環(huán)節(jié)的教學設計需要教師投入足夠的心力，精準發(fā)現學生數學解題的疑難困惑，做教學的有心人.唯有如此，才能最大限度地發(fā)揮數學解題對于學生數學學習的效能.