浙江省杭州外國語學校 (310023) 張傳鵬

高中數(shù)學新課標中要求教師在教學中要提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，即引導學生能夠能從數(shù)學的角度看問題,有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達的意識與能力.學生在數(shù)學學習過程中進行感悟思想、經(jīng)驗積累，通過思考內化為自己的東西，所養(yǎng)成的自己獨有的思考和表達問題的一種習慣，就是數(shù)學核心素養(yǎng).本文結合導數(shù)章節(jié)的教學，談如何利用構造思想去解導數(shù)綜合題，在知識解決的同時，如何落實高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)，從而實現(xiàn)了從關注知識本身到關注學生思維方式的轉變，最終達到學科育人.

一、常規(guī)多次構造函數(shù)意識

評注：導數(shù)是研究函數(shù)性質的一個重要工具，在解決不等式證明等問題時，通常需要構造函數(shù)，有時候甚至需要多次構造函數(shù).要清楚多次構造函數(shù)的目的是什么，不要盲目的進行多次構造.

二、構造利用導數(shù)幾何意義的意識

圖1 圖2

三、構造函數(shù)解決不等式證明問題的意識

例2 設函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數(shù)．

(1)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)設n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明．

四、構造零點設而不求的意識

例3 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，若不等式f(x)≥1恒成立，求實數(shù)a的范圍.

評注：在一些涉及到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的問題時，若要求函數(shù)的極值點時需要解一些超越方程，但有時是無法解出這些方程的解，此時可以巧妙的借用方程的等價條件，采用設而不求的策略，使得問題得到解決.

五、逆向分析的構造意識

解決函數(shù)單調性問題時，有時需要借助構造新函數(shù)，結合函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系來解決，那么怎樣合理的構造新函數(shù)就是問題的關鍵.在解題過程學會如何進行分析與思考，如何從題目要解決的結論出發(fā)，通過逆向分析，結合題目已知條件，找到破解問題的思路.

例4 設x∈[0,π],y∈[0,1],試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin[(1-y)x]的最小值.

解：首先，當x∈[0,π],y∈[0,1]時，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x

總之，在學習導數(shù)章節(jié)時，應關注以上五個意識.其中意識一：多次構造函數(shù)的意識，還是強調數(shù)學知識本身，因為導數(shù)知識最大的作用就是其在解決問題中的工具性，主要體現(xiàn)在利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，前提條件就是構造恰當?shù)暮瘮?shù).意識二：利用導數(shù)的幾何意義的思想，導數(shù)值就是函數(shù)圖像切線的斜率，如果再去研究切線斜率的單調性，即是去研究導函數(shù)的導數(shù)值的正負，其本質上就是研究函數(shù)的凹凸性.意識三：構造函數(shù)解決不等式問題的意識，則側重于強調知識的應用性，利用導數(shù)求解出函數(shù)的最值，從中提煉出不等式并進行應用.意識四：構造零點設而不求的意識，是直面超越方程不能求解的問題，充分利用方程的等價條件解決問題.意識五：逆向分析的構造意識，是由題目要解決的結論出發(fā)，尋找結論與已知的聯(lián)系.強調以導數(shù)知識為載體，對人的思維方式產(chǎn)生的影響，這就是我們所說的學科育人.可以發(fā)現(xiàn)，本文中強調的五個意識之間是相輔相成、層層遞進的關系，其過程是從知識本身到知識的升華、知識的應用，最后達到學科育人的目的.